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Definizione di limite di una funzione

R*dovedovex xè unè unpuntopuntodi diaccumulazioneaccumulazioneperperD,D,l’operazionel’operazionedi dilimitelimitedescrive il comportamento di f nelle ‘vicinanze’ di xDefinizione: l è limite di f per x che tende a x se:Per x = x il valore f(x) è arbitrariamente ‘vicino’ a l ( ( ), ),a condizionea condizionechechex siax sia- sufficientemente ‘vicino’ a x ( ).Se f(x) = l con l finito si dice che f è convergente a l per x che tende a xSe f(x) = ∞ si dice che f è divergente a ∞ per x che tende a xDefinizione di limite destro e limite sinistro di una funzioneSia f: X, X R, x punto di accumulazione per X, x R*, l R*SeAllora f(x) = l si dice limite destro della funzioneSeAllora f(x) = l si dice limite sinistro della funzioneNota beneCondizione necessaria e sufficiente affinché esista il limite di una funzione per x->x>xè: è:Limite di f(x) per x che tende a x esiste

ed è uguale ad l sesee soloe soloseseesistonoesistonoi limitii limitidestrodestroe sinistroe sinistrouguali a lLimiti per eccesso e per difettoData f: D -> R, D R, x punto di accumulazione di D, x R, l R*Sia:Sia:Sia:Teorema dell'unicità del limiteIl limite di una funzione per x -> x se esiste, è unico.Ipotesif: X -> R, X R, x R è un punto di accumulazione di X, f ammette limite per x -> x> ,xl , l RTesiIl limite l è unico.Teorema della permanenza del segnoIpotesiTesiDimostrazioneLimiti di successioniLaLafunzionefunzionedi dilimitelimiteintrodottaintrodottaperperfunzionifunzionirealirealidi diunaunavariabilevariabilerealerealepuòpuòessereessereapplicataapplicataancheanchea afunzioni di una variabile naturale, ossia, ossiaalleallesuccessioni.successioni.In Intaltalcasocasol'unicol'unicopuntopuntodi diaccumulazioneaccumulazionedeldeldominio è +∞ quindi si considera solo il limite pern->+∞.Gli asintoti

Algebra dei limiti (e forme di indecisione)

f,g : X -> R, X R, x R punto di accumulazione per X, se esistono finiti i limiti:

Allora vale:

Attenzione

Se f, g = +∞ (-∞) per x -> x , allora (f+g)(x) = +∞ (-∞)

Se f = +∞ e g = m per x -> x , allora (f+g)(x) = +∞

Se f = +∞ e g = -∞ per x -> x , allora (f+g)(x) = ?

Se f = +∞ e g = +∞ per x -> x , allora (f-g)(x) = ?

Se f = +∞ e g = +∞ per x -> x , allora (f-g)(x) = ?

Se f = +∞ e g = m>0 per x -> x , allora (f*g)(x) = +∞

Se f = +∞ e g = m<0 per x -> x , allora (f*g)(x) = -∞

Se f = +∞ (-∞) e g = +∞ (-∞) per x -> x , allora (f*g)(x) = +∞ se sono concordi, -∞∞ se sono discordi

Se f = 0 e g = +∞ (-∞) per x -> x , allora (f*g)(x) = ?

Definizione di limiti di funzioni minoranti e maggioranti

Sia f, g : D -> R, D R, x punto di accumulazione per D, se esistono finiti i limiti:

confronto Siano f, g, h : D -> R, D ⊆ R, x ∈ D punto di accumulazione per D Se f(x) è minorante di g(x) e g(x) è maggiorante di f(x), allora: Teorema del confronto f(x) e g(x) hanno lo stesso limite per x che tende a un punto di accumulazione per D. Continuità di funzioni Sia f : X -> R, X ⊆ R, x ∈ X (a,b) se f(x) è continua in (a,b) => f(x) è continua in (a,b) [a,b] se f(x) è continua in [a,b] => f(x) è continua in [a,b] Discontinuità 1. Punti di frontiera del dominio (quelli che escludo con il campo di esistenza) 2. Punti in cui cambia la definizione di f(x) (funzione a tratti) Se il limite sinistro e/o il limite destro sono ∞, la funzione non è continua Se il limite sinistro è diverso dal limite destro (entrambi finiti), la funzione non è continua Se il limite sinistro e il limite destro sono uguali, ma diversi da f(x), la funzione non è continua Teorema di Weierstrass f : X -> R, X ⊆ R, f(x) continua in [a,b] => f(x) ammette un massimo e un minimo globali in [a,b]

Darbouxf : X -> R, X R, f(x) continua [a,b] => almeno un punto x assume un valore in [Miny,Maxy] oppure

Teorema degli zeri: X -> R, X R, f continua in [a,b], e se a e b sono discordi (+ e -), esiste almeno un punto f(x) tale per cui la funzione vale 0.

Concetto di derivata

Lo scopo della derivata è quello di calcolare l'equazione della retta tangente nel punto di ascissa x.

In particolare, interessa trovare il coefficiente angolare dell'equazione della retta.

Regole di derivazione

Quando il limite sinistro e il limite destro sono continui e finiti, essi possono essere derivati.

Attenzione: il fatto che una funzione sia continua, non è sempre detto che sia anche derivabile.

Casi di non derivabilità:

funzione continua ma non derivabile

Teorema de l'Hospital

Siano f,g : I -> R, x I R, I intervallo aperto

Siano f,g derivabili I, x = xE g’(x) = 0 I, x = x

Teorema sulla monotonia

Teorema di Fermat

Dimostrazione (programma avanzato)

Teorema di Rolle

Questo vuole dire che la funzione ha almeno un massimo o un minimo (tranne nel caso in cui la f(x) è costante, ossia orizzontale)

Teorema di Lagrange

Vuol dire che esiste un punto c tale che la derivata in quel punto è pari alla pendenza della secante di f(a,b) (ossia parallela)

Derivate di ordine n

Sia f : (a,b)-> R, > R, se f è derivabile in (a,b), allora esiste una funzione derivata f’ (a,b)->R.

Se la funzione può essere derivata in f’ (a,b), f’

(a,b), allora è derivabile una seconda volta. La derivata seconda si dice derivata seconda di f o derivata di ordine 2. Concavità / convessità e derivata seconda f CONVESSA se f CONCAVA se f STRETTAMENTE CONVESSA se f STRETTAMENTE CONCAVA se f PUNTO DI FLESSO se Procedimento per ricavare un grafico:
  1. Determinazione del Dominio
  2. Determinazione del segno f(x) = 0 si vede dove la funzione esiste nei quadranti
  3. Determinazione dei limiti e continuità (lim sx = lim dx = f(x)) per trovare eventuali discontinuità
  4. Studio dei punti stazionari f’(x) = 0 si trovano i punti in cui la derivata è nulla e quindi i punti di massimo o minimo (cfr. Rolle)
  5. Studio dei punti di flesso f’’(x) = 0 si trovano i punti di flesso e si capisce la loro concavità
La concavità e la convexità sono proprietà di una funzione che possono essere determinate attraverso il calcolo dei massimi e minimi locali. Sia f : (a,b) -> R una funzione derivabile n volte in x (a,b). Se la derivata n-esima è pari, il punto è un minimo locale se f(x) > 0 e un massimo locale se f(x) < 0. Se la derivata n-esima è dispari, il punto è un punto di flesso con tangente orizzontale. Osservazione: Se f(x) > R, x (a,b), allora preso un h I(0), x + h (a,b), si ha che: Differenziabilità: Sia f(x) : (a,b) -> R, x (a,b), se tale che preso un h I(0), x + h (a,b), si ha che: Allora f è differenziabile. La retta y = f(x) + h è la migliore approssimazione di primo grado della funzione f(x) in un intorno di x. In sostanza, questo significa che il differenziale è la migliore approssimazione di primo grado della funzione f(x) in un intorno di x.differenzialeserveservepertrovaretrovarel'equazionel'equazionedelladellarettarettapassanterettapassanteperperduepunti,calcolandoladifferenzadifferenzadellacoordinatayneiduepunti.Notabene:unafunzioneèdifferenziabiledifferenziabileinunpuntoxseesolo
Dettagli
Publisher
MurielGinevra
A.A. 2021-2022
38 pagine
SSD Scienze matematiche e informatiche MAT/05 Analisi matematica
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher MurielGinevra di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Elementi di matematica e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Università degli Studi di Bergamo o del prof Torri Gabriele.