Orale di matematica
mercoledì 26 gennaio 2022 16:55
L’insieme dei reali
L’introduzione
L’introduzione
dell’insieme
dell’insieme
dei
dei
reali
reali
nasce
nasce
dall’esigenza
dall’esigenza
di di
ampliare
ampliare
l’insieme
l’insieme
dei
dei
razionali.
razionali.
Viene indicato con il simbolo R
È la struttura algebrica dell’insieme dei reali, o campo
È l’insieme dei reali positivi (0 escluso)
È l’insieme dei reali negativi (0 escluso)
È l’insieme dei reali non negativi (0 incluso)
È l’insieme dei reali non positivi (0 incluso)
Il concetto di valore assoluto: si
: si
può
può
definire
definire
|x|
|x|
come
come
la la
distanza
distanza
dall’origine
dall’origine
di di
un
un
punto
punto
nell’asse.
nell’asse.
Il teorema
Il teorema
dice
dice
che
che
sono
sono
uguali
uguali
le le
distanze
distanze
dall’origine
dall’origine
di di
un
un
punto
punto
e del
e del
suo
suo
simmetrico
simmetrico
rispetto
rispetto
all’origine.
all’origine.
|x|=
|x|=
1 ammette
1 ammette
come
come
soluzioni
soluzioni
quei
quei
punti
punti
che
che
hanno
hanno
come
come
distanza
distanza
1 dall’origine,
1 dall’origine,
infatti,
infatti,
la la
soluzione
soluzione
è {
è {-1,1}
|x|= 0 ha come unica soluzione {0}
|x|> 3 ha come soluzioni tutti i valori x<-3 V x>3
|x|≤ 3 ammette
3 ammette
come
come
soluzioni
soluzioni
tutti
tutti
i valori
i valori
che
che
hanno
hanno
distanza
distanza
dall’origine
dall’origine
pari
pari
o minore
o minore
di di
3: 3: -3 x 3
≤ ≤
|x|< -3 non ammette soluzioni reali
|x|> -3 è valida per tutti i valori reali
Le equazioni di secondo grado
! !
Si riconoscono con la forma con con e è positivo
è positivo esso è risolvibile
# + %# + & = 0 ), %, & ∈ , )≠0 % − 4)&
4)&
attraverso la classica formula.
Attenzione!
L’insieme dei numeri complessi (programma avanzato)
L’insieme dei numeri complessi (programma avanzato) !
L’unità immaginaria definisce quei numeri tali che vale la regola
/ / = −1
"#$% "
È una sequenza periodica 4, infatti si può rappresentare con / = / &12 2 2
< <
4, 4,
4∈
4∈5
Esso
Esso
è particolarmente
è particolarmente
utile
utile
per
per
i calcoli
i calcoli
con
con
un
un
esponente
esponente
particolarmente
particolarmente
elevato.
elevato.
&'& &$(#) )
/ = / = / = −/
L’insieme dei numeri complessi si indica con C ed
ed
è una
è una
sorta
sorta
di di
estensione
estensione
dei
dei
numeri
numeri
reali.
reali.
Si riconoscono con z = a+bi in cui si distingue a come parte reale, e b una
una
parte
parte
immaginaria.
immaginaria.
Vengono
Vengono
rappresentati
rappresentati
nel
nel
piano
piano
di di
Gauss,
Gauss,
in in
cui
cui
l’ascissa
l’ascissa
rappresenta
rappresenta
la la
parte
parte
reale
reale
e l’ordinata
e l’ordinata
la la
parte
parte
immaginaria.
Intervalli in R
Maggiorante e minorante
Ipotesi
Tesi
Ipotesi
Tesi di tutti gli elementi di X. In questo caso l’insieme X è superiormente limitato.
Tesi
• Dato un insieme X non vuoto di numeri reali, si dice maggiorante di X, un
, un
numero
numero
che
che
è è maggiore
o uguale di di
tutti
tutti
gli
gli
elementi
elementi
di di
X. X.
In In
questo
questo
caso
caso
l’insieme
l’insieme
X è
X superiormente
è superiormente
limitato.
limitato.
• Dato un insieme X non vuoto di numeri reali, si dice minorante di X, un
, un
numero
numero
che
che
è è minore o
uguale di di
tutti
tutti
gli
gli
elementi
elementi
di di
X. X.
In In
questo
questo
caso
caso
l’insieme
l’insieme
è inferiormente
è inferiormente
limitato.
limitato.
• Un insieme si dice limitato, se
, se
è limitato
è limitato
sia
sia
superiormente
superiormente
che
che
inferiormente.
inferiormente.
• Un insieme si dice illimitato se non ammette
ammette
né
né
maggiorante
maggiorante
né
né
minorante.
minorante.
Massimi e minimi
Ipotesi
Tesi
Ipotesi
Tesi
Dato un insieme X non vuoto di numeri reali, un numero reale x* si dice massimo di di
X quando:
X quando:
x* appartiene ad X
- x* è un maggiorante di X
-
Dato un insieme X non vuoto di numeri reali, un numero reale x si dice minimo di di
X quando:
X quando:
x appartiene ad X
- x è un minorante di X
-
Estremo superiore e inferiore
Sia
Sia
X un
X un
sottoinsieme
sottoinsieme
proprio
proprio
non
non
vuoto
vuoto
di di
R,
R,
indichiamo
indichiamo
con
con
X*
X*
l’insieme
l’insieme
di di
tutti
tutti
i maggioranti
i maggioranti
di di
X, X,
il il
minimo di X* si chiama estremo superiore di X e si indica con supX.
Se X possiede un massimo, questo coincide con l’estremo superiore di X.
Sia
Sia
X un
X un
sottoinsieme
sottoinsieme
proprio
proprio
di di
R,
R,
indiciamo
indiciamo
con
con
X l’insieme
X l’insieme
di di
tutti
tutti
i minoranti
i minoranti
di di
X, X,
il massimo
il massimo
di di
X si
X si
chiama estremo inferiore di X e si indica con infX.
Se X possiede un minimo, questo coincide con l’estremo inferiore di X.
Per
Per
convenzione,
convenzione,
se
se
un
un
insieme
insieme
X è
X illimitato
è illimitato
superiormente
superiormente
si si
dice
dice
supX
supX
= +∞,
= +∞,
se
se
è illimitato
è illimitato
inferiormente infX = -∞
Assioma: ogni
: ogni
insieme
insieme
non
non
vuoto
vuoto
dei
dei
reali
reali
possiede
possiede
un
un
estremo
estremo
inferiore
inferiore
e un
e un
estremo
estremo
superiore
superiore
Gli insiemi
Due insiemi con si dicono:
6, 7∈, 6, 7≠∅
• Separati, se
, se
ogni
ogni
elemento
elemento
di di
A A
è un
è un
numero
numero
reale
reale
minore
minore
di di
ogni
ogni
elemento
elemento
di di
B B
• Contigui, se il supA coincide con l’infB, ma non viceversa
Posso
Posso
trovare
trovare
due
due
punti
punti
tali
tali
che
che
la la
loro
loro
distanza
distanza
sia
sia
arbitrariamente
arbitrariamente
piccola.
piccola.
Se
Se
A A
e B
e sono
B sono
separati,
separati,
allora
allora
esiste
esiste
almeno
almeno
un
un
elemento
elemento
separatore
separatore
e può
e può
essere
essere
uno
uno
o più
o più
di di
uno.
uno.
Se A e B sono contigui, allora l’elemento separatore, se esiste, è unico.
Lo spazio metrico
Definizione: dato l’insieme X si definisce distanza una funzione d: X X -> R
> che
R che
rispetta
rispetta
i seguenti
i seguenti
Definizione: dato l’insieme X si definisce distanza una funzione d: X X -> R
> che
R che
rispetta
rispetta
i seguenti
i seguenti
requisiti:
1. d (x,y)
2. d (x,y)
3. d (x,y) = d (x,y)
4. d (x,y)
Se
Se
esistono
esistono
questi
questi
requisit
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