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Appunti Analisi matematica I - Completi

Appunti di Analisi matematica I basati su appunti personali del publisher presi alle lezioni del prof. Uderzo dell’università degli Studi di Milano Bicocca - Unimib, facoltà di Scienze statistiche, Corso di laurea in scienze statistiche ed economiche. Scarica il file in formato PDF!

Esame di Analisi matematica I docente Prof. A. Uderzo

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PROPRIETA’ GLOBALI DELLE FUNZIONI CONTINUE

Una funzione è continua in [a, b] se essa è continua x (a, b).

∀ ∈

DEFINIZIONE DI ZERO

Data un equazione f(x) = 0 un elemento x tale che f(x ) = 0 è detto zero di f.

∈ ℝ

0 0

TEOREMA DEGLI ZERI

Sia f: (a, b) con a, b , si supponga che:

 ℝ ∈ ℝ

i) f sia continua in [a, b]

ii) f(a) * f(b) < 0

Allora ꓱ c (a, b) tale che f(c) = 0; e se f è strettamente monotona ꓱ! c (a, b) tale che f(c) = 0 .

∈ ∈

DIMOSTRAZIONE CON METODO DI BISEZIONE

Supponiamo di avere una funzione continua, f(a) positiva , f(b) negativa (come suggeriscono le condizioni

del teorema degli zeri). Allora consideriamo il punto medio = c :

● se f(c) = 0 ho trovato lo zero

● se f(c) ≠ 0 , prendo un nuovo intervallo (che deve avere le stesse condizioni dell’inizio)

(c, b) se f(c) > 0 e rifaccio il punto medio = d

 (a, c) se f(c) < 0 e rifaccio il punto medio = d

Se f(d) = 0 mi fermo, se no continuo a fare lo stesso procedimento finchè non trovo lo 0.

CONTINUO LA DIMOSTRAZIONE UTILIZZANDO LE SUCCESSIONI

Dimostro però che man mano che trovo i nuovi estremi, questi estremi convergono a 0.

Si costruiscano due successioni {a } e {b } con le seguenti caratteristiche:

n n

● a = estremo di sinistra dell’intervallo = a

0

b = estremo di destra dell’intervallo = b

0

● {a } monotona non decrescente (crescente) a ≤ a n

∀ ∈ ℕ

n n n+1

{b } monotona non crescente (decrescente) b ≥ b n

∀ ∈ ℕ

n n n+1

Sono due successioni monotone e limitate (come per il teorema di monotonia dei limiti di successioni).

● b - a = lunghezza dell’intervallo =

n n

● f(b ) f(a ) < 0 per le ipotesi del teorema, quindi devo scegliere un nuovo intervallo che replichi le ipotesi

n n

Si sceglie c = se f(c) = 0 ho finito la ricerca

 se f(c) > 0 prendo intervallo [c, b]

 se f(c) < 0 prendo intervallo [a, c]

● Per il teorema di monotonia ꓱ = ed ꓱ =

lim


PAGINE

44

PESO

2.32 MB

PUBBLICATO

5 mesi fa


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in scienze statistiche ed economiche
SSD:
Docente: Uderzo Amos
A.A.: 2018-2019

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher aina.belloni di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Analisi matematica I e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Milano Bicocca - Unimib o del prof Uderzo Amos.

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