Appunti Analisi matematica I - Completi

INSIEMI NUMERICI

CONCETTI FONDAMENTALI

Insieme = collezione di elementi

Elemento = oggetto per cui è ben definito un criterio di appartenenza a un insieme dato non ambiguo.

“per ogni”

∀

ꓱ “esiste almeno un” QUANTIFICATORI LOGICI

ꓱ! “esiste un unico (solo)” esistenza e unicità

“insieme vuoto”

∅

a A “ l’elemento a appartiene all’insieme A”

∈

A B “A è un sottoinsieme di B” se ꓯ a A , a B

⊆ ∈ ∈

A A sempre INCLUSIONE

⊆

A B “ A è un sottoinsieme di B se esiste un elemento b che appartiene a B ma non ad A” DI INSIEMI

⊂ A B , ꓱ b B : b A inclusione propria



⊆ ∈ ∉

Se A B ma A ≠ B

 ⊆

A = B “A è uguale a B” se A B e B A

⊆ ⊆

Se ꓯ a A , a B e ꓯ b B , b A UGUAGLIANZA TRA INSIEMI

∈ ∈ ∈ ∈

A ≠ B “non è vero che A = B”

ꓯx∈A (p(x) q(x)) per ogni x appartenente ad A, se soddisfatta la proprietà p, è soddisfatta la proprietà q

 IMPLICAZIONE UNIVERSALE

NEGAZIONE

Se uso la negazione con i quantificatori, potrebbero invertirsi i quantificatori: ꓯ e ꓱ

Doppia negazione è come non negare.

non è vero “non appartiene”



∉ ∈

ꓱ x A è soddisfatta la proprietà P ꓯ x A per cui non è soddisfatta la proprietà P.

 

∈ ∈

ꓯ x A è soddisfatta la proprietà P ꓱ x A per cui non è soddisfatta la proprietà P.

 

∈ ∈

Vale la proprietà P e vale la proprietà Q Non vale la proprietà P oppure non vale la proprietà Q.

 

Vale la proprietà P oppure vale la proprietà Q Non vale la proprietà P e non vale la proprietà Q.

 

ꓯ x A (p(x) q(x)) ꓱ x A (p(x) e non q(x))

 

∈ ∈

A B A B oppure A = B

 

⊂ ⊆/

INSIEMI NUMERICI

NUMERI NATURALI = { 0,1,2,3,4 ..}

ℕ NUMERI INTERI = {-3,-2,-1, 0, 1, 2 ..}

ℤ NUMERI RAZIONALI = { - ⅔, - ⅓, ⅙, ⅞ ..} n,m m ≠ 0

ℚ ∈ ℤ

NUMERI REALI = {√2, π ...} cifre dopo la virgola illimitate e aperiodiche

ℝ

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ

Per passare da un decimale periodico ad una frazione: (es. 34,652 )



A numeratore la differenza tra l’intero numero senza virgola e la parte che non sta sotto il periodo



A denominatore Tanti 9 quante le cifre del periodo seguiti da tanti 0 quante e cifre dell’antiperiodo



TEOREMA NON E’ UN NUMERO RAZIONALE : DIMOSTRAZIONE LOGICA

 √ 2

TESI q : q = 2



∉ ℚ ∄ ∈ ℚ

√2 2

OSSERVAZIONI se n è dispari n è dispari



2

se n è pari n è pari

 ꓱ 2

DIMOSTRAZIONE (per assurdo) Negando la tesi q : q = 2 (esiste almeno 1 q che al quadrato = 2)

 ∈ ℚ

q = n,m n, m primi tra loro

∈ ℤ

2 2 2

q = = 2 n = 2 m



2

n quindi divisibile per 2 pari anche n è pari n = 2k

 

2 2 2 2 2 2

(2k) = 2 m 4 k = 2 m 2 k = m

 

2

m è quindi anch’esso divisibile per 2 pari anche m è pari

 

CONTRADDIZIONE se n e m sono pari, entrambi divisibili per 2, hanno 2 come fattore comune, quindi non

2

sono due numeri primi tra loro q : q = 2

 

∄ ∈ ℚ ∉ ℚ

√2

OPERAZIONI TRA INSIEMI dati due insiemi A e B

∩ INTERSEZIONE A ∩ B = {x : x A e x B} elementi che stanno in entrambi gli insiemi

 ∈ ∈

U UNIONE A U B = {x : x A oppure x B} sia gli elementi di A che di B

 ∈ ∈

\ DIFFERENZA A \ B = {x : x A e x B} solo elementi di A che non stanno in B

 ∈ ∉

X PRODOTTO CARTESIANO A X B = { (a,b) : a A e b B } coppie ordinate di elementi di A e di B

 ∈ ∈

2

X = = {(x , x ) : x e x Ogni punto sul piano cartesiano è rappresentato da una coppia

ℝ ℝ ℝ ∈ ℝ ∈ ℝ}

1 2 1 2 ordinata di numeri reali.

Operazioni con l’insieme vuoto e l’insieme universo X:

A ∩ = A ∩ X = A A U = A A U X = X

∅ ∅ ∅

SOMMATORIA Esprime in forma compatta una somma n termini q – p + 1 = n° addendi



= (i = indice)

∑ + +. . + +

TEOREMA : ꓯ q si ha = Per q = 1 la somma di quella formula per n volte è n,

∑

∈ ℝ\{1}

quindi non utilizzo quella formula.

n+1

DIMOSTRAZIONE = ( 1-q ) = 1 – q



∑ ∑

( 1-q ) = – q = 1 + - pongo k = i + 1 quando i = 0 k = 1

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

n+1 n+1

= 1 + - = 1 + – ( + q ) = 1 – q

∑ ∑ ∑ ∑

Proprietà:

- = c

∑ ∑

( ∗ )

- = c * n = c * (numero di addendi della sommatoria)

∑

- + =

∑ ∑ ∑

( + )

- = +

∑ ∑ ∑

- =

∑ ∑

- = =

∑ ∑ ∑

FATTORIALE n! = 1*2*3*4 .. *n fattoriale di n n ∈ ℕ

0! = 1

Proprietà n! = (n-1)! n

 ! ( )! ( )…

0 < k < n = = (n-k+1) (n-k +2) … n

 ( )! ( )!

COEFFICIENTE BINOMIALE n, k 0 ≤ k ≤ n

∈ ℕ

! ! !

= 1 = 1

n su k = = = =

(

! )! ! ! ! !

Sono tutte le possibili combinazioni di n oggetti presi a gruppi di k n

FORMULA DEL BINOMIO DI NEWTON - per elevare un binomio alla potenza n (a + b)

n

(a + b) = con n+1 addendi

∑

TRIANGOLO DI TARTAGLIA Inizio sempre con 1, finisco sempre con 1

k=0 k=1 k=2 k=3 k=4 k=5

n=0 1 Gli altri sommo quello che sta sopra e sopra a sinistra.

n=1 1 1 k si muove orizzontalmente, n si muove verticalmente

n=2 1 2 1

n=3 1 3 3 1 Es. = 1 ; = 3 ; = 3 ; = 1

n=4 1 4 6 4 1

n=5 1 5 10 10 5 1 ( )!

( )! ( )! ( )! ( )

+ = + =

+ = DIMOSTRAZIONE

 ( )! ( )! ( )! ( )!

( )! ! ( )! ! ( )

( )! ( )! ( )! ( )!

( )! ( ) ( ) ( )

= + = =

( )! ( )! ( )! ( )!

! ! ! !

( )! !

= = =

( )! ( )!

! !

SOMMA DEI COEFFICIENTI BINOMIALI n n

= = formula di Newton = (1+1) = 2

∑ ∑ 1 1 2 2

Es. n= 1 1 a + 1 b 1 + 1 = 2 n = 2 1 a + 2 ab + 1 b 1 + 2 + 1 = 4

 

n n

Es. = = (2 + 1) = 3

∑ ∑

2 2 1

PROPRIETA’ DEI NUMERI REALI

Somma a,b a + b

 ∈ ℝ ∈ ℝ

Prodotto a,b a*b e a*(1/b) con b ≠ 0

 ∈ ℝ ∈ ℝ ∈ ℝ

Proprietà riflessiva ꓯ r r ≤ r

 ∈ ℝ,

Proprietà antisimmetrica ꓯ a,b a ≤ b e b ≤ a a = b

 

∈ ℝ,

Proprietà transitiva ꓯ a,b,c a ≤ b e b ≤ c a ≤ c

 

∈ ℝ,

Proprietà tricotomica ꓯ a,b a ≤ b oppure b ≤ a si possono sempre mettere in relazione due

 

∈ ℝ, numeri reali, e non c’è altra possibilità.

ESTREMI di un sottoinsieme di sottoinsieme non vuoto

E

ℝ ℝ

⊆

Definizioni è detto limitato superiormente se : x ≤ M ,

E ꓱ M ꓯ x E

 ℝ ℝ

⊆ ⊆ ∈

è detto limitato inferiormente se : x ≥ m ,

E ꓱ m ꓯ x E

 ℝ ℝ

⊆ ⊆ ∈

è detto limitato se è limitato superiormente e limitato inferiormente m ≤ x ≤ M ,

E ꓯ x E

 ℝ

⊆ ∈

x ∈

è detto massimo di E se

 ℝ

x ∈ ꓯ

≤ , x ∈ E

x ∈

è detto minimo di E

 ℝ

x ∈ ꓯ

≥ , x ∈ E

è detto maggiorante di E se x ≤ k ,

k ꓯ x E

 ℝ ℝ

∈ ⊆ ∈

è detto minorante di E se x ≥ k ,

k ꓯ x E

 ℝ ℝ

∈ ⊆ ∈

si chiama estremo superiore di E (sup E) il minore dei maggioranti di E

 x ≤ sup E , ꓯ x E deve essere magggiorante

∈

sup E ≤ k , ꓯ k maggiorante di E

si chiama estremo inferiore di E (inf E) il maggiore dei minoranti di E

 x ≥ inf E , ꓯ x E deve essere minorante

∈

inf E ≥ k , ꓯ k minorante di E

Proprietà dell’estremo superiore: assioma della continuità

non vuoto e limitato superiormente ammette estremo superiore.

Ogni insieme E ℝ

⊆ non vuoto e limitato inferiormente ammette estremo inferiore.

Ogni insieme E ℝ

⊆

E ≠ (inferiormente/superiormente limitato) ꓱ inf E, ꓱ sup E



ꓯ E ℝ, ∅

⊆

Es.

E = ℝ

ℕ ⊆

Non è limitato superiormente perché se fisso un qualsiasi valore M grande a piacere, esiste sempre un

numero naturale più grande di quel reale M. E’ limitato inferiormente, m = 0 (minimo), ꓯ n n ≥ 0.

∈ ℕ

E = { x = : n }

∈ ℕ\{0}

E’ superiormente limitato da M = 1 (massimo), è inferiormente limitato da m = 0 ma non è minimo perché

non appartiene all’insieme.

E = { x = : n } ℝ

∈ℕ ⊆

Il denominatore è maggiore del numeratore < 1 è superiormente limitato da 1, 1 è un suo

 

maggiorante ma non è il massimo perché non appartiene all’insieme.

Ma di maggioranti ce ne sono tanti, come sapere se è il minimo dei maggioranti? Prendo ε numero piccolo

a piacere = 1 – ε = 1 - ε > 0 1 – ε < 1 - ε >

 2

E E = { x x > 0, x < 2}

⊆ ℚ ∈ ℚ,

0 < x < √2 E’ superiormente limitato, ad esempio 2 è un maggiorante, 1,42 o 1,415 o 1,4143

√2 non è razionale quindi x non può assumere questo valore non esiste estremo superiore.



DOMINIO : è il più ampio sottoinsieme di R che può essere preso, costituito da tutti i valori per i quali esiste

l’espressione analitica che definisce la funzione

R – le C.E. che pongo su x

 Funzioni razionali intere: R

 Funzioni razionali fratte: denominatore ≠ 0

 Irrazionali : se n dispari, dominio di f(x)

= ()

se n pari, f(x) 0

≥

 Logaritmo y = log (f(x)) : f(x) > 0; a > 0; a ≠ 1

a

 f(x)

Esponenziali y = a : a > 0; a ≠ 1, studio f(x)

f(x)

y = g(x) : sistema : dominio g(x) ^ f(x) > 0

 a

Potenza y = f(x) : se a negativo, f(x) ≠ o

se a razionale, dominio funzioni irrazionali

se a irrazionale positiva, f(x) 0

≥

 Funzioni goniometriche

Sen x, cos x : R Arcsen x, arcos x : [ -1 ; 1]

o o

Tg x : R – { π/2 + kπ } Arctg x, arccotg x : R

o o

Cotg x : R – { kπ }

o

CODOMINIO

 Ricavo x x = f(y)



 Pongo C.E. su y, dominio per x = f (y)

 Funzioni goniometriche Sen x, cos x : [ -1 ; 1] Tg x, cotg x : R

x

ESPONENZIALI a

x/y - x x 0

a = a = (1/a) a = 1

√

x y x + y x y x – y x x x

a a = a a /a = a a b = (a*b)

f(x) g(x)

Y = a a >0 Y = f(x) esiste g(x) se f(x) > 0

x

Equazioni a = b b > 0; a ≠ 1

  È indeterminata se a,b = 1

È impossibile se b 0 ; a = 1, b ≠ 1

≤

t z

Disequazioni se a >1 a > a t > z

  t z

se a tra 0 e 1 a > a t < z

 

LOGARITMO log b = x

a log a b

Log 1 = 0 Log a = 1 a = b Log x = 0 x = 1



a a a n

log b + log c = log (b*c) log b - log c = log (b/c) log b = n * log b

a a a a a a a a

Cambio base: log b = log b / log a

a c c

Equazioni Log f(x) = Log g(x) f(x) = g(x), con f(x) e g(x) > 0

 

a a

Disequazioni se a >1 log t > log z t > z

  a a

se a tra 0 e 1 log t > log z t < z

  a a

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI

> >0 > √

|A| > B A > 0; A < 0

  

> >

√

< − > < − √

|A| = B A = B

 ± FUNZIONI

Dati due insiemi A e B (non vuoti), una funzione f di dominio A a (assume) valori B è una qualsiasi legge

che ad ogni elemento di A associa uno ed un solo elemento di B:

f: A B , ꓯ a A ꓱ! b B : b = f(a)

 ∈ ∈

f (x) valore che f associa a x.

Y = f (x) a = x variabile indipendente, DOMINIO

 b = y variabile dipendente, CODOMINIO, insieme delle immagini



x A f(x) valori di f in x immagine di x attraverso f

∈

f(A) = insieme = { b B ꓱ a A : b = f(a) } f(x) = f(a) = elemento dell’insieme

∈ ∈

B = insieme delle immagini = codominio

f(A) B quindi può essere anche f(A) B, ogni elemento a ha un immagine, ma può esserci elemento b

⊆ ⊂

che non è immagine di a.

Le funzioni che tratteremo noi: f : D -> D Successioni: f : ->

ℝ ℝ

⊆ ℝ ℕ ℕ ⊆ ℝ

DEFINIZIONI

Una funzione f: A -> B è detta:

- INIETTIVA se a ≠ a , a ,a A f(a ) ≠ f(a )



∈

1 2 1 2 1 2

elementi distinti hanno immagini distinte

per un valore di y corrisponde un solo valore di x, o nessuno.

- SURIETTIVA se ꓯ b B ꓱ a A : b = f(a)

∈ ∈

ogni elemento dell’insieme d’arrivo è immagine di un elemento di partenza

per un valore di y corrisponde uno o più valori di x

- BIETTIVA se ꓯ b B ꓱ! a A : b = f(a)

∈ ∈

sse è sia iniettiva che suriettiva

Es. 2

f(x) = x f: 

ℝ ℝ

Non è iniettiva :

perché ad un valore di y possono corrispondere due valori di x x = 1 , y = 1 e x = - 1 , y = 1 stessa img



Non è suriettiva : 2 2

perché i numeri negativi non possono essere immagini di un elemento di tale che sia x x ≠ -1 quindi



ℝ

non posso calcolare la radice quadrata di y per y negativi.

2

f(x) = x f: [0; +∞)



ℝ

Non è iniettiva (motivo sopra).

E’ suriettiva: perché nell’insieme di arrivo non ho più i numeri negativi, quindi ogni elemento può essere

2

immagine di x , quindi posso calcolare la radice quadrata di y.

2

f(x) = x f: [0; +∞) [0; +∞)



E’ iniettiva: Perché ho cambiato l’insieme di partenza e non considera i valori di x negativi.

E’ suriettiva (motivo sopra).

NUMEROSITA’ DEGLI INSIEMI

E’ il numero di elementi che possiede un insieme e si misura con la cardinalità card. Es. Card{re di Roma}=7

Due insiemi A e B si dicono equipotenti, cioè hanno la stessa cardinalità se ꓱ φ : A B (funzione biettiva),



se posso creare una funzione che ad ogni valore di A venga associato un solo valore di B.

Ma se il numero di elementi di un insieme non è finito ci sono diverse forme di infinità:

- CARDINALITA’ DEL NUMERABILE card (ℕ) = card (ℤ) = card (ℚ) = (alef zero)

ℵ

Si dice numerabile ogni insieme che ha la stessa cardinalità di ℕ

- CARDINALITA’ DEL CONTINUO card (ℝ) = C

Non è numerabile, è molto più infinito

Dimostrazione che ci sono più numeri reali compresi tra 0 e 1 che razionali.

[0;1] = { x 0 ≤ x ≤ 1}

∈ ℝ 0 1

Card (ℝ\ ) =

ℚ C

I numeri irrazionali hanno la stessa cardinalità di quelli reali. = U (ℝ\ )

ℝ ℚ ℚ

La proprietà che collega razionali a irrazionali:

ꓯ q ,q , q < q ꓱ r : q < r < q



∈ ℚ ∈ ℝ\ ℚ

1 2 1 2 1 2

ꓯ r ,r , r < r ꓱ q : r < q < r



∈ ℝ\ ℚ ∈ ℚ

1 2 1 2 1 2

[a, b] = { x a ≤ x ≤ b} a < b

 ∈ ℝ

VALORE ASSOLUTO – MODULO

se a ≥ 0

a |a|= Per definizione |x|≥ 0 ꓯ x

∈ ℝ ∈ ℝ

− se a < 0

Disequazioni: x≤α

 ꓯ α ≥ 0 |x|≤ α

  −α ≤ x ≤ α

x≥− α

 ꓯ α < 0 |x|< α impossibile, x

  ∄

 ꓯ β ≥ 0 |x|≥ β U

  x ≥ β x ≤ − β

 ꓯ β > 0 |x|> β sempre, ꓯ x

 

Proprietà:

 -|x| ≤ x ≤ |x| ꓯ x -|y| ≤ y ≤ |y| ꓯ y -(|x|+|y|) ≤ x + y ≤ |x|+|y|



∈ ℝ ∈ ℝ

 |x| + |y| ≥ |x + y| ꓯ x,y disuguaglianza triangolare

∈ ℝ

 |α*β| = |α|*|β|

 |α\β| = |α|\|β| con β ≠ 0

 |0| = 0

 |-x| = |x| ꓯ x ∈ ℝ

 x |x| è un funzione

⟼ C

COMPOSIZIONE DI FUNZIONI B

A D

g

f

f: A B g: C D con f(A) C

  ⊆

(g◦f)(x) = g(f(x)) al posto di x nella funzione g, metto la funzione f(x

Es. f: f(x) = g: [0 ,+∞) g(y) = richiesta f(ℝ) [0, +∞) per (g◦f)



ℝ ℝ ⊆

2

f(ℝ) è la totalità dei valori per x a tutto verifico che f(ℝ) ≥ 0 x n° sempre positivo f(ℝ) [0, +∞)

 

∈ ℝ, ⊆

f(ℝ) in particolare è tra 0 e 1 (0, 1] [0, +∞) (g◦f) f composto g =

 ⊆

Richiesta g([0, +∞)) per (f◦g) (f◦g) g composto f = = f(



⊆ ℝ )

INTERVALLI

Dati a,b a ≤ b ; si chiama intervallo di estremi a e b ciascuno dei seguenti sottoinsiemi di

∈ ℝ ℝ:

 [a, b] = { x a ≤ x ≤ b} intervallo chiuso

∈ ℝ,

 [a, b)