Appunti Analisi matematica I - Completi

I I I

 ℝ ⊆ ℝ ∈ ℝ.

intervallo che può essere limitato, illimitato, chiuso o aperto; c può essere interno o uno dei suoi esterni.

I

Prendiamo una successione di punti x nell’intervallo e diversi da c, che tenda a c, per .

I → +∞

n

Il valore c ha la proprietà ꓯ ε > 0 [ (c- ε ; c + ε)] ≠

I



∩ ∅

Se qualunque sia la successione scelta, si ha che f(x ) tende al limite finito o infinito, si dice che il limite di

ℓ

n

f(x) per x che tende a c è =



ℓ ()

→

Può succedere che c I :

∉

c = + la proprietà diventa ꓯ a > 0 [ [a, +∞) ] ≠

I

 ∞ ∩ ∅

c = - la proprietà diventa ꓯ b > 0 [ (- b] ] ≠

I

 ∞ ∩ ∞, ∅

Definizione successionale di limite:

Data una funzione f : e c U {±∞} con la proprietà se ꓯ {x } tale che x , x c.

I I\{c}

 ℝ ∈ ℝ ∈ ⎯⎯⎯

n n n →

Se ha f(x ) U {±∞} si dice che = .

⎯⎯⎯ ∈ ℝ ()

n → →

Una funzione che tende a si dice INFINITA. Una funzione che tende a 0 si dice INFINITESIMA.

±∞

c sta sull’asse x, sta sull’asse y.

ℓ

Definizione topologica di limite:

Data una funzione f : e c U {±∞} con la proprietà se ꓯ (intorno di U {±∞} )

I  ℝ ∈ ℝ ℓ ∈ ℝ

ℓ

esiste un intorno V di c , tale che: ꓯ x (I V ) \{c} , f(x) si dice che =

∈ ∩ ∈ ()

c c ℓ →

Definizione di intorni, l’intorno di c è un insieme:

V = (c- δ ; c + δ) δ > 0 se c ------(---|---)------

∈ ℝ

c

V = (k ; + se c ------(------------->

∞) = +∞

c

V = (- ; k) se c <-------------)------

∞ = −∞

c

Limite finito al finito c , =

∈ ℝ ℓ ∈ ℝ ()

→

ꓯ ε > 0 ꓱ δ > 0 : ꓯ x \{c} (c- δ ; c + δ ) (ꓯ x ≠ c) , |x – c| < δ |f(x) - < ε

I 

∈ ∩ ℓ|

ε ε ε ε

sta sull’asse y - ε < f(x) < + ε ; c sta sull’asse x c - δ < x < c + δ

 

ℓ ℓ ℓ ε ε

Limite infinito al finito c , =

∈ ℝ ℓ = +∞ () +∞

→

ꓯ K > 0 ꓱ δ > 0 : ꓯ x ≠ c , |x – c| < δ f(x) > K f(x) (K, +∞)

 ∈

k k

Limite finito all’infinito c , =

= +∞ ℓ ∈ ℝ ()

→

ꓯ ε > 0 ꓱ K > 0 : ꓯ x x > K |f(x) - < ε

I, 

∈ ℓ|

ε ε

Limite infinito all’infinito c , =

= +∞ ℓ = +∞ () +∞

→

ꓯ K > 0 ꓱ H > 0 : ꓯ x x > H f(x) > K

I, 

∈

k k

Definizione di limite destro e limite sinistro:

Data una funzione f : e c con la proprietà se ꓯ {x } tale che x , x > c, x c

I I\{c}

 ℝ ∈ ℝ ∈ ⎯⎯⎯

n n n n →

Si ha f(x ) U {±∞} allora = LIMITE DESTRO

 

⎯⎯⎯ ∈ ℝ ()

n → →

Data una funzione f : e c con la proprietà se ꓯ {x } tale che x , x < c, x c

I I\{c}

 ℝ ∈ ℝ ∈ ⎯⎯⎯

n n n n →

Si ha f(x ) U {±∞} allora = LIMITE SINISTRO

 

⎯⎯⎯ ∈ ℝ ()

n → →

Osservazione: condizione necessaria e sufficiente

ꓱ = SSE (se e soltanto se) ꓱ e =

() lim (), lim () () ()

→ → →

→ →

Se esistono i due limiti, ma sono diversi o esiste solo uno dei due, allora il limite per non esiste.

⎯

→

Es. f(x) = C.E. x ≠ 0

= + ∞ = - ∞

lim () lim ()

→

→

Quindi non esiste il limite lim ()

→ ASINTOTI

ASINTOTO ORIZZONTALE

f : , c = con la proprietà (escluso dal dominio)

I  ℝ ±∞

f ha asintoto orizzontale per x di equazione y = , se ꓱ =

 ± ∞ () ∈ ℝ

→ ±

ASINTOTO VERTICALE

f : , c con la proprietà (escluso dal dominio)

I  ℝ ∈ ℝ

f ha asintoto verticale per x c di equazione x = c , se ꓱ =

 () ± ∞

→

+ -

(Può essere asintoto verticale destro o sinistro in base a c o c )

ASINTOTO OBLIQUO

f : , c = con la proprietà (escluso dal dominio)

I  ℝ ±∞

f ha asintoto obliquo per x di equazione y = m x + q , se ꓱ = 0

 ± ∞ [() − ( + )]

→ ±

utilizzo questa formula dopo, per verificare se effettivamente y = mx + q è asintoto.



Proposizione:

f : , c = con la proprietà

I  ℝ ±∞ .

f ammette asintoto obliquo per x di equazione y = m x + q , sse valgono le due condizioni:

 ± ∞

()

- ꓱ = m

∈ ℝ\{0}

→ ±

- ꓱ = q

(() − ) ∈ ℝ

→ ± CONTINUITA’

Definizione:

Sia f : , c , f è continua in c se ꓱ = f (c) . f è continua in se è continua in ogni x .

I I I I

 ℝ ∈ () ∈

→

Teorema sulla continuità di funzioni elementari:

Le seguenti funzioni sono continue in tutti i punti del campo di esistenza:

α

- f(x) = x potenze ad esponente intero, razionale o reale

x

- f(x) = a funzioni esponenziali

- f(x) = funzioni logaritmiche

- f(x) = sinx, cosx, tgx funzioni trigonometriche

Es. f(x) = C.E. x ≠ 0 continua nel suo campo perché 0 non fa parte del dominio

Teorema algebra delle funzioni continue:

Siano f e g due funzioni definite in un intorno di x e continue in x , allora:

0 0

- f g è continua in x

± 0

- f * g è continua in x 0

- f / g è continua in x purchè g(x ) ≠ 0

0 0

- h◦g è continua in x , se h è definita almeno in un intorno di t = g(x ) e continua in t , e g definita

0 o 0 o

in un intorno di x e continua in x ,

0 0

Esempi di funzioni discontinue:

- Funzione di Dirichlet

∈ ℚ

f(x) = f : ꓯ q ,q , q < q ꓱ r : q < r < q

 

ℝ ℝ ∈ ℚ ∈ ℝ\ ℚ

1 2 1 2 1 2

∈ ℝ\ℚ

Funzione discontinua in tutto

 ℝ

- Funzione parte intera

f(x) = = max { z z ≤ x}

⟦⟧ ⟦⟧ ∈ ℤ,

Es. f (π) = = 3 ; f (e) = = 2

⟦π⟧ ⟦e⟧

Funzione discontinua in continua in

 ℝ, ℝ\ ℤ

Punti di discontinuità:

+ + + -

se ꓱ = (f ), = (f ) e f = f = f(x ) la funzione è continua in x .

 lim f(x) lim f(x) 0 0

→

→

 PRIMA SPECIE Quando il limite destro e il limite sinistro sono diversi

+ - + -

ꓱ f , f ma f ≠ f

 SECONDA SPECIE Quando almeno uno dei due limiti è infinito o non esiste. (ASINTOTI)

+ -

f , f

∄

 TERZA SPECIE Quando esiste limite di f(x) per x -> x0, ma f non è definita in x0, o se lo è f(x0) ≠ l

+ - + -

ꓱ f , f f = f ≠ f(x )

0 PROPRIETA’ DEI LIMITI

TEOREMA DEL CONFRONTO

Siano f, g, h tre funzioni per cui abbia senso calcolarne il limite , c U {±∞} , se:

, , ∈ ℝ

→

- ꓱ = U {±∞}

() ∈ ℝ

→

- ꓱ = U {±∞} Allora ꓱ =



() ∈ ℝ ()

→ →

- ꓱ intorno V di c tale che f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) , ꓯ x V \{c}

∈

c c

COROLLARIO:

Se ꓱ , ꓱ intorno V di c, e k > 0 tali che: |g(x)| ≤ k ꓯ x V \{c} (anche se non c’è limite di g(x))

lim f(x)=0 ∈

c c

→

Allora ꓱ = 0 anche g(x) tende a 0



()()

→

Es. = f(x) = tende a 0, g(x) = sinx funzione compresa tra -1 e 1 |sin x| ≤ 1



lim lim

→ →

= 0

 lim

→

TEOREMA DELLA PERMANENZA DEL SEGNO

Sia f : e c con la proprietà allora:

I  ℝ ∈ ℝ ,

- Se = , > 0 ꓱ intorno V di c tale che f(x) > 0 per x c, ꓯ x (I V ) \{c}

lim f(x) ℓ ⟹ → ∈ ∩

c c

→

- Se = e f(x) ≥ 0 per x c ≥ 0

lim f(x) ℓ → ⟹

→

- Se f è continua in c, e f(c) > 0 ꓱ intorno V di c tale che f(x) > 0 per x c, ꓯ x (I V ) \{c}

⟹ → ∈ ∩

c c

TEOREMA DELL’ALGEBRA DEI LIMITI (finiti)

Siano f e g due funzioni per cui abbia senso e c U {±∞} e si supponga che

lim f, g ∈ ℝ

→

= ; = , allora:

lim f(x) ℓ ∈ ℝ lim g(x) ℓ ∈ ℝ

→ →

- f(x) g(x)

± ⎯ ℓ ± ℓ

→

- f(x) * g(x) *

⎯ ℓ ℓ

→

- f(x) / g(x) / purchè g(x) ≠ 0 e ≠ 0, ꓯ x V \{c}

⎯ ℓ ℓ ℓ ∈ c

→

ARITMETIZZAZIONE PARZIALE DI ∞

= = = 0 = ?

ℓ ± ∞ ±∞ ℓ ∗ (±∞) ±∞ ℓ/(±∞)

+ + = + * = / = ? = ?

∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞

+ - = ? 0 * = ? 0 / 0 = ? = ?

∞ ∞ ∞

TEOREMA DELLA GERARCHIA DEGLI INFINITI ( )

 ∞ α x x

= 0 = 0 ꓯ a > 1; ꓯ α > 0 log x < x < a < x! < x



lim lim a

→ →

STIME ASINTOTICHE

f e g sono funzioni infinitesime per x c (tendono a 0).

→ ()

Si dice che f è asintotico a g per x c se : = 1 e si scrive f g per x c

→ ∼ →

()

→

2 ε(x) α

Sinε(x)