Appunti Analisi Matematica 2 completi

LIMITI E CONTINUITÀ PER FUNZIONI DI PIÙ V.

LIMITE DI SUCCESSIONE: SUCCESSIONE CONVERGENTE

Data una successione _k di punti di ℝ^m e un p. x₀ ∈ ℝ^m si dice che:

INTORNO SFERICO

Dato x₀ ∈ ℝ^m, t > 0 definiamo l'intorno sferico di raggio t centrato in x₀ e lo denotiamo con:

LIMITE SEQUENZIALE: DEFINIZIONE SUCCESSIONALE DI LIMITE DI FUNZIONE

Sia F: ℝ^m → ℝ definita in almeno un intorno di x₀ ∈ ℝ^m (tranne al più nel punto x₀), diciamo che:

se ∀ {x_k}_{k ∈ N} successione di ℝ^m convergente ad x₀ vale che

PROPRIETÀ DEL LIMITE CHE CONTINUANO A VALERE

• SOMMA, DIFFERENZA
• MOLTIPLICAZIONE, RAPPORTO (quando ha senso)
• DEFINIZIONE DI FUNZIONE CONTINUA E SUE CONSEGUENZE (somma di f. continue è continua, ...)

CONTINUITÀ DI F

F: ℝ^m → ℝ è continua nel punto x₀ ∈ ℝ^m se:

Più precisamente F è continua in x₀ ∈ ℝ^m se ∀ {x_k}_{k ∈ N} successione di punti di ℝ^m con x_k → x₀ si ha:

TEOREMA DELLA PERMANENZA DEL SEGNO

Sia F: ℝ^m → ℝ definita in almeno un intorno sferico di x_o ∈ ℝ^m, se F continua in x_o e F(x_o) > 0 allora ∃ un intorno sferico di x_o t.c. F(x) > 0 su tale intorno.

CURVA E CALCOLO LIMITI

Una curva è una funzione f: ℝ → ℝ^k

• se tracciamo due curve diverse f̅=ĝ tali che: lim_x→x₀ F(x̅) ≠ f
• utilizzo coordinate polari per dimostrare l'esistenza del limite.

x = ρ cos θ

y = ρ sen θ

TOPOLOGIA IN ℝ^m

PUNTO INTERNO, ESTERNO, DI FRONTIERA

Dato E ⊆ ℝ^m, diciamo che x_o ∈ ℝ^m è:

interno a E, se ∃ un intorno sferico contenuto in x_o e contenuto in E (x_o ∈ E)

esterno a E, se ∃ un intorno sferico contenuto in x_o e contenuto in E^c = (ℝ^m∖E) ⇒ (x_o ∉ E)

di frontiera per E, se ∀ intorno sferico contenuto in x_o, interseca sia E che E^c complementare.

• A interno
• B esterno
• C di frontiera

CALCOLO DIFFERENZIALE _{IN PIÙ VARIABILI}

DERIVATA PARZIALE

Dati F : A ⊆ R^m → R con A aperto, x̅₀ ∈ A, definiamo derivata parziale di F rispetto alla i-esima componente con i ∈ {1, ..., m} e la denotiamo con:

∂F/∂x;_i (x̅₀) o con F_xi(x̅₀) il seguente limite, se è finitolim_h→0 [F(x̅₀ + h e̅_i) - F(x̅₀)]/h dove e̅_i è il i-esimo vettore della base canonica di R^m

cioè ∂F/∂x;_i (x̅₀) = lim_h→0 [F(x̅₀₁, ..., x_i + h, ..., x_m) - F(x₀₁, ..., x_m)]/h

dove x̅₀ = (x₀₁, ..., x₀m) e e̅_i = (0, ..., 1, ..., 0) ∈ R^mi-esima posizione

Caso bidimensionale

F : R² → R(x, y) ↦ F(x, y)

∂F/∂x (x₀, y₀) = lim_h→0 [F(x₀ + h, y₀) - F(x₀, y₀)]/h

∂F/∂y (x₀, y₀) = lim_k→0 [F(x₀, y₀ + k) - F(x₀, y₀)]/k

DERIVABILITÀ^* E GRADIENTE

Data F : A ⊆ R^m → R con A aperto, x̅₀ ∈ A, diciamo che F è derivabile in x̅₀ se esiste finita la:∂F/∂x;_i (x̅₀) derivata parziale, ∀ i ∈ {1, ..., m}

In tal caso chiamiamo gradiente di F in x̅₀ il vettore delle derivate parziali e lo indichiamo con:∇F(x̅₀) = (∂F/∂x₁ (x̅₀), ..., ∂F/∂x_m (x̅₀)) ∈ R^m

IPERPIANO tangente al grafico

Data F : A ⊆ R^m → R, differenziabile in x̄₀ ∈ A ,

A aperto, definiamo l'iperpiano tangente al grafico di F in (x̄₀, F(x̄₀)) come il piano di equazione:

z = F(x̄₀) + ∇F(x̄₀)(x̄₀ - x̄₀)

∑ (dF/dx_i) (x₀) (x_i - x̄_0i)

Proposizione: CONDIZIONE SUFF. PER LA DIFFERENZIAB.

Sia F : A ⊆ R^m → R, x̄₀ ∈ A, aperto, se F ammette tutte le DERIVATE PARZIALI finite in un intorno di x̄₀ ed esse sono anche CONTINUE in x̄₀,

allora F è differenziabile in x̄₀.

In particolare se tutte le derivate parziali di F sono continue su A, allora F è differenziabile su A.

F ∈ C¹(A) ⇒ F differenziabile su A

DERIVATE DIREZIONALI

VERSORE: dato ū ∈ R vettore, v̄ = ū/||ū|| ∈ R^m versore

Data F : A ⊆ R^m → R, x̄₀ ∈ A, A aperto, e dato il versore v̄ ∈ R^m, definiamo derivata direz ionale di F in x̄₀ lungo la direzione v̄:

D_v̅F(x̄₀) = lim(t → 0) (F(x̄₀ + tv̄) - F(x̄₀)) / t se è finito

Osservazione :

D_eiF(x̄₀) = ∂F/∂x_i (x₀)

ORTOGONALITÀ DEL GRADIENTE con le CURVE DI LIVELLO

APPLICAZIONE:

Sia F(x, y) = c una curva di livello, dove f: A ⊆ R² → R differenziabile.

Assumiamo che la curva di livello ammetta una parametrizzazione attraverso una curva regolare:

f: I ⊆ R → R², cioè g(t) = F o f(t) = c g: I ⊆ R → R

Supponiamo che g sia derivabile, quindi g'(t) = 0 Ma g'(t) = ∇F(f(t)) · f'(t) = 0

⇒ essendo f'(t) un vettore tangente alla curva di livello

⇒ IL GRADIENTE DI UNA FUNZIONE È ORTOGONALE IN OGNI PUNTO DELLE CURVE DI LIVELLO PASSANTE per QUEL PUNTO.

DERIVATE SUCCESSIVE

F: A ⊆ R² → R

• (x, y) ⟶ F(x, y)

• ∂F/∂x (x, y)
• ∂F/∂y (x, y)

• ∂²F/∂x² (x, y)
• ∂²F/∂x∂y (x, y)
• ∂²F/∂y∂x (x, y)
• ∂²F/∂y² (x, y)

2 derivate prime parziali    4 derivate parziali seconde

LEMMA DI SCHWARZ

Data F: A ⊆ R^m → R, x₀ ∈ A aperto, se per quelle i, j ∈ {1,..., m} con i ≠ j succede che:

∂²F/∂x_i∂x_j (x₀) e ∂²F/∂x_j∂x_i (x₀) ∃ in un intorno di x₀ e sono continue in x₀ ⇒ allora COINCIDONO

In particolare se esistono e sono continue ∀ x ∈ A, allora esse coincidono ∀ x ∈ Δ