Appunti Analisi Matematica 2 completi

Limiti e continuità per funzioni di più variabili

Limite di successione: successione convergente

Data una successione \( \{x_k\}_{k=1}^{\infty} \) di punti di \( \mathbb{R}^m \) e un p. \( x_0 \in \mathbb{R}^m \) si dice che:

\( x_k \rightarrow x_0 \) se \( \| x_k - x_0 \| \rightarrow 0 \) per \( k \rightarrow \infty \) per \( k \rightarrow \infty \)

Intorno sferico

Dato \( x_0 \in \mathbb{R}^m \) e \( t > 0 \), definiamo l'intorno sferico di raggio \( t \) centrato in \( x_0 \) e lo denotiamo con:

\( U_t(x_0) = \{ x \in \mathbb{R}^m \ : \ \| x - x_0 \| \)

Limite sequenziale: definizione successionale di limite di funzione

Sia \( F : \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R} \) definita in almeno un intorno di \( x_0 \) e \( \mathbb{R}^m \) (tranne al più nel punto \( x_0 \)), diciamo che:

\( \lim_{x \rightarrow x_0} F(x) = l \ \varepsilon \ \mathbb{R} \cup \{ \pm \infty \} \)

se \( \forall \{ x_k \}_{k \in \mathbb{N}} \) successione di \( \mathbb{R}^m \) convergente ad \( x_0 \) vale che:

\( \lim_{k \rightarrow \infty} F(x_k) = l \) con \( x_k \neq x_0 , \ \forall k \in \mathbb{N} \)

Proprietà del limite che continuano a valere

• Somma, differenza
• Moltiplicazione, rapporto (quando ha senso)

Definizione di funzione continua e sue conseguenze

(somma di f. continue è continua, ...)

Continuità di FF : \( \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R} \) è continua nel punto \( x_0 \in \mathbb{R}^m \) se:

\( (x_1, ... , x_m) \mapsto F(x_1, ..., x_m) \)

\( \lim_{x \rightarrow x_0} F(x) = F(x_0) \)

Più precisamente F è continua in \( x_0 \in \mathbb{R}^m \) se \( \forall \{ x_k \}_{k \in \mathbb{N}} \) successione di punti di \( \mathbb{R}^m \) con \( x_k \rightarrow x_0 \) si ha:

\( \lim_{k \rightarrow \infty} F(x_k) = F(x_0) \)

Limiti e continuità per funzioni di più variabili

Limite di successione: successione convergente

Data una successione {x_k} di punti di ℝ^m e un p. x_o ∊ ℝ^m si dice che:

x_k → x_o se || x_k - x_o || → 0 per k → ∞

Intorno sferico

Dato x_o ∊ ℝ^m, t > 0, definiamo l'intorno sferico di raggio t centrato in x_o e lo denotiamo con:

M_t(x_o) = { x̅ ∊ ℝ^m : || x̅ - x_o ||

Limite sequenziale: definizione successionale di limite di funzione

Sia F : ℝ^m → ℝ definita in almeno un intorno di x_o ∊ ℝ^m (tranne al più nel punto x_o), diciamo che:

lim_{x̅ → xo} F(x̅) = l ∊ ℝ ∪ {±∞}

se ∀ { x_k } rices. di ℝ^m convergente a_l x_o risce che lim_{k → ∞} F(x_k) = l con x_k ≠ x_o, ∀ k ∊ ℕ

Proprietà del limite che continuano a valere

• Somma, differenza
• Moltiplicazione, rapporto (quando ha senso)

Definizione di funzione continua e sue conseguenze

(somma di f. continue è continua, ...)

Continuità di FF : ℝ^m → ℝ è continua nel punto x_o ∊ ℝ^m se:

(x₁, ..., x_m) → F(x_..., x_m)

lim_{x̅ → xo} F(x̅) = F(x̅)

Più precisamente F è continua in x_o ↔ ℝ^m se ∀ { x_k }_opping, con x_u → x_o si ha:

lim_{k → ∞} F(x_k) = F(x_o)

Teorema della permanenza del segno

Sia F: R^m → R definita in almeno un intorno sferico di x_o ∈ R^m, se F è continua in x_o e F(x_o) > 0 allora ∃ un intorno aperto di x_o t.c. F(x_o) > 0.

Curva e calcolo limiti

Una curva è una funzione r: R → R^K

se tracciamo due curve diverse f e g tali che: F(̅) dà valori diversi, allora:

lim_x→xO F(̅) ≠ lim_y→yO F(y̅)

Per dimostrarlo:

tracciare 2 curve f₁, f₂ passanti per il punto x_o.

lim_f→f1 F ≠ lim_f→f2 F

se i risultati sono diversi → lim_x→xo F(x̅) ≠.

utilizzo coordinate polari per dimostrare l'esistenza del limite.