Appunti completi Analisi 1

Proprietà dell'addizione in ℚ

• _ab = b_a - Commutatività
• (a+b)+c = a+(b+c) - Associatività
• ∃ 0 tale che a+0 = a - È elemento neutro
• ∀a ∃ -a tale che a+(-a) = 0 - È opposto di a

Proprietà della moltiplicazione in ℚ

• _ab = b_a - Commutatività
• (ab)c = a(bc) - Associatività
• ∃ 1 tale che a⋅1 = a - È elemento neutro
• ∀a ≠ 0 ∃ ¹/_a tale che a⋅¹/_a = 1 - a^-1 reciproco di a

Proprietà distributiva (Add. e Molt.)

c(a+b) = ca+cb

b/a⋅b/c

Le precedenti proprietà si possono sintetizzare dicendo che l'insieme ℚ con le operazioni di addizione e moltiplicazione ha la sua struttura di campo.

Ordinamento totale - Proprietà

• ∀a,b in∅ a_b ≤ b oppure b_a - (Ord. totale)
• ∀a in∅ a_a - (Riflessività)
• ∀a,b se a_b ≤ b_a allora a=b - (Antisimmetria)
• ∀a,b,c se a_b ≤ b_c allora a_c - (Transitività)

Compatibilità tra ordinamento e le operazioni

• Se a_b allora a+c_b+c ∀c
• Se a>0, b>0 allora ab>0

Regole di semplificazione

• a+c_b+c ⇒ a_b
• a≠0 ⇒ ab_ac ⇔ b_c
• a>0 allora ab_ac ⇔ b_c; a 0 fissato descrivono la circonferenza di raggio R centrato in O.
  • i punti del piano le cui coordinate polari soddisfano l'equazione ρ = θ descrivono una spirale
  • Coefficiente binomiale e binomio di Newton

  n! = n (n - 1) ... 2 · 1

  Perturazioni di n oggetti distinti = il numero di stringhe che si possono formare con n oggetti distinti.

  I coefficienti binomiali

  _nC_k = ^n!/_k!(n-k)! n,k ∈ N n ≥ k

  Perché?

  Fissato un qualsiasi sottinsieme di k elementi, possiamo generare k! stringhe utilizzando k! elementi.

  Il numero totale di stringhe di k elementi ottenibili dagli n elementi dati è

  n(n-1) ... (n-k +1)

  K! C_n^k = n(n-1) ... (n-k+1)

  Cⁿ_k = ^{n(n-1) ... (n-k+1)} / _k!

  = ^n! / _k!(n-k)!

  C_nⁿ = 1 ∀ n∈N

  Le proprietà dei coefficienti binomiali

  ⁿC_k = ⁿC_n-k , ⁿC_k = ^n-1C_k-1 + ^n-1C_k

  Il triangolo di Tartaglia

  k=0 k=1 k=2 k=3 k=4 k=5

  n=0 1

  n=1 1 1

  n=2 1 2 1

  n=3 1 3 3 1

  n=4 1 4 6 4 1

  n=5 1 5 10 5 1

  La riga n-esima ci fornisce i coefficienti della potenza n-esima ed il coefficiente della potenza n-esima al (k+1)-esimo posto è ( ⁿ _k) = (n k) = 1

  Approfondimento 2.1 (Successioni)

  Una classe speciale di funzioni reali di variabile reale è quella delle funzioni che hanno come dominio un sottoinsieme dei numeri naturali della forma D_N = {n ∈ N : n ≥ N₀} con N₀ ∈ N fissato.

  SUCCESSIONI NUMERICHE

  È una funzione definita su D_N che ad ogni numero naturale n ≥ 3 associa l'area del poligono regolare con n lati inscritto nella circonferenza unitaria.

  Se f: D_N ⊂ R è una successione e a_n = f(n), identificheremo tale successione con (a_n)_n∈DN.

  Se N₀ = 1, spesso ometteremo l’indice N di partenza se chiaro dal contesto o implicito, scrivendo semplicemente (a_n).

  es. a_n = 1/n e a_n = (-1)ⁿ:

  • a_n = 1/n con n pari
  • a_n = 3/2 se n è dispari
  La rappresentazione grafica di una successione non viene fatta nel piano cartesiano ma semplicemente sull'asse reale.

  OPERAZIONI TRA FUNZIONI: COMPOSIZIONE

  • Somma (f+g)(x) = f(x) + g(x) ............ Dom (f+g) = Dom (f) ∩ Dom (g)
  • Prodotto (fg)(x) = f(x)g(x) ............. Dom (fg) = Dom (f) ∩ Dom (g)
  • Rapporto (f/g)(x) = f(x)/g(x) ........... Dom (f/g) = Dom (f) ∩ {x ∈ Dom (g) : g(x) ≠ 0}
  • Composizione { f: Dom (f) ⊆ R → R g: Dom (g) ⊆ R → R }
  • (f⚬g)(x) = f(g(x)) composto .............. Dom (f⚬g) = {x ∈ Dom (g) : g(x) ∈ Dom (f)}

  es. f(x) = x², g(x) = 2x+1 ⇒ (f⚬g)(x) = f(g(x)) = (2x+1)²

  FUNZIONI LIMITATE, FUNZIONI MONOTONE

  Una funzione f: Dom (f) ⊆ R → R si dice limitata se esiste M > 0 tale che -M ≤ f(x) ≤ M ∀x∈Domf.

  f si dice limitata su I ⊆ R Se ∃ M > 0 ∀x ∈ I: |f(x)| ≤ M

  Esempio 2.7

  Le funzione f(x) = x² è limitata in R, con numeratore non negativo strettamente più piccolo del denominatore x²+4 quindi: f(x) < 4 ⇒ -1 ≤ f merla definizione di limitatezza.

  Può succedere che m(f) sia limitata solo superiormente/inferiormente