Appunti completi di Matematica finanziaria

Sia la successione delle somme parziali per una successione . Dico serie il limite di per

+∞

∑ ≔

→+∞

=

e dico che la serie è convergente se tale limite esiste finito; divergente se tale limite esiste infinito;

indeterminata se tale limite non esiste.

Proprietà delle serie

Il carattere (convergente, divergente o indeterminato) di una serie non cambia se si trascura un numero

finito dei suoi termini; ovvero: +∞ +∞

∑ = ∑

= =

∀ ∈ (1, +∞) ∩ ℕ. In particolare, se si aggiunge una costante ad un numero finito di termini della

successione, se si esclude un numero finito di termini della successione dalla somma, o se si moltiplica un

numero finito di termini della successione per una costante non nulla, il carattere della serie resta il

medesimo.

Condizione necessaria per la convergenza

+∞

∑

Se la serie converge allora la successione è infinitesima.

=

+∞

∑ =

Hp. finito

=1 =

Ts.

→+∞

;

Dimostrazione. Se la serie converge, la successione delle somme parziali ha un limite finito lo stesso

lim = lim − = − = 0,

vale per la successione , per cui: che dimostra la tesi.

−1 −1

→+∞ →+∞

Criteri di convergenza per serie di segno fissato

Successione di segno fissato (definizione)

Sia una successione. Dico che è una successione a termini positivi (rispettivamente a termini

≥ ≤ 0) ∀ ∈ ℕ.

negativi) se (rispettivamente

In entrambi i casi, dico che è una successione di segno fissato.

Regolarità delle serie di segno fissato

Se è una successione di segno fissato (anche definitivamente), allora la sua serie è regolare

(convergente o divergente). ∗

≥ 0 ∨ ≤ 0 ∀ ∈ ℕ ∀ > ∈ ℕ)

Hp. (o

∃

Ts.

→+∞

≥ 0 ∀ ∈ ℕ = + > 0 ∀ ∈ ℕ,

Dimostrazione. Per il caso positivo, se allora ovvero la

+1 +1

successione delle somme parziali è monotona crescente; come osservato sopra, allora tale successione è

regolare. La dimostrazione del caso negativo è analoga.

Criterio del confronto

≤ ≤

Siano e successioni a termini positivi e tali che definitivamente. Allora se la serie di

converge, converge anche quella di ; se la serie di diverge, diverge anche quella di .

, successioni a termini positivi definitivamente

Hp. 0 ≤ ≤ definitivamente

+∞ +∞

∑ ∑

⟹

diverge diverge

= =

Ts. +∞ +∞

∑ ∑

⟹

converge converge

= =

Criterio del confronto asintotico

= ∈ ℝ.

Siano e successioni definitivamente a termini positivi e tali che

→+∞

(,

∈ +∞) =

Se allora le serie di e o convergono entrambe o divergono entrambe; inoltre, se e

+∞ +∞ +∞ +∞

∑ ∑ ∑ ∑

= +∞

converge, allora converge; mentre se e diverge allora diverge.

= = = =

, successioni a termini positivi definitivamente

Hp.

lim =∈ℝ

→+∞ +∞ +∞

(, ∑ ∑

∈ +∞) ⟹

e hanno lo stesso carattere

= =

+∞ +∞

∑ ∑

= ⟹

e converge converge

Ts.

= =

+∞ +∞

∑ ∑

= +∞ ⟹

e diverge diverge

= =

Corollario

{ ≔ /}

Sia una successione a termini positivi, e sia infinitesimo di ordine rispetto a

> ≤

definitivamente. Allora se la serie di converge; se la serie diverge.

successione a termini positivi definitivamente

{ ≔ 1/}

Hp.

lim = ∈ ℝ 0

( )

→+∞ +∞

∑

> ⟹ converge

=

Ts. +∞

∑

≤ ⟹ diverge

=

+∞

∑ 1/ > 1 ≤ 1, lim / = ∈

Dimostrazione. La serie converge per e diverge per e poiché

=1 →+∞

ℝ { ≔ 1/}

, è infinitesimo di ordine di .

0

Criterio del rapporto

/ ≤ <

Sia una successione a termini positivi e tale che si abbia definitivamente. Allora la

+

serie di converge.

successione a termini positivi definitivamente

Hp. +1 ≤ < 1 definitivamente

+∞

∑ converge

Ts.

=

Criterio del rapporto asintotico

( / ) = . <

Sia una successione definitivamente a termini positivi e tale che Allora, se

+

→+∞

> = 1

la serie di converge; se la serie diverge; se nulla si può dire.

successione a termini positivi definitivamente

Hp. +1

lim =∈ℝ

→+∞ +∞

∑

< ⟹ converge

=

Ts. +∞

∑

> ⟹ diverge

=

Criterio della radice asintotico

√ = . <

Sia una successione definitivamente a termini positivi e tale che Allora, se la

→+∞

> = 1

serie di converge; se la serie diverge; se nulla si può dire.

successione a termini positivi definitivamente

Hp.

lim √ = ∈ ℝ

→+∞ +∞

∑

< ⟹ converge

=

Ts. +∞

∑

> ⟹ diverge

=

Criteri di convergenza generali

Teorema di Cauchy ∗ (): | |

∀ > ∃ − <

Sia una successione qualsiasi. La serie di converge se e solo se

∗ (),

∀, > ovvero se e solo se la successione delle somme parziali è di Cauchy.

Hp. successione qualsiasi

+∞ ∗ ∗

∑ (): | | ()

⟺ ∀ > ∃ − < ∀, >

converge

Ts.

=

Serie a termini di segno alterno (definizione) +∞

∑ (−) ∙

Dico serie a termini di segno alterno una serie definita come , dove è una successione a

=

≥ 0 ∀ ∈ ℕ.

termini positivi, ovvero

Criterio di Leibnitz

Si consideri la serie a termini di segno alterno per una successione a termini positivi. Se è

definitivamente decrescente e convergente a zero, allora la serie a termini di segno alterno di

converge.

successione a termini positivi

definitivamente decrescente

Hp.

lim = 0

→+∞ +∞

∑ (−) ∙

Ts. converge

=

Criterio di convergenza assoluta

+∞ +∞

∑ | | ∑

Sia una serie convergente. Allora converge (ed è detta serie assolutamente

= =

convergente), ma non è sempre vero il viceversa.

Hp. successione qualsiasi

+∞ +∞

∑ | | ∑

⟹

converge

Ts.

= =

Criterio dell’integrale

+

: ℝ → ℝ = () ∀ ∈ ℕ.

Sia una funzione positiva, e sia la successione tale che Allora la serie

+∞ [,

∑ +∞)

e l’integrale improprio di definito su hanno lo stesso carattere.

= +

: ℝ → ℝ positiva

Hp. : () = ∀ ∈ ℕ

+∞

+∞

∑ = ∫ ()

Ts.

=

Serie notevoli

Serie di Mengoli (definizione)

Dico serie di Mengoli la serie definita come segue:

+∞

∑ ∙ ( + )

=

1,

La serie di Mengoli è convergente, e converge a in quanto gode della proprietà telescopica.

=

→+∞ 1 1

−esimo = −

Dimostrazione. Scrivo il termine della successione come: , per cui si ottiene che

+1

1 1 1 1 1 1 1

= (1 − ) + ( − )+ ⋯+ ( − ) =1− lim 1 − = 1

, e vale che da cui la tesi.

2 2 3 +1 +1 +1

→+∞

Serie geometrica (definizione)

Dico serie geometrica la serie definita come segue: +∞

∑

=

∈ ℝ.

con La serie presenta il seguente carattere: +∞ ≥

= { − < <

−

→+∞ ≤ −

Serie armonica generalizzata (definizione)

Dico serie armonica generalizzata la serie definita come segue:

+∞

∑

=

∈ ℝ.

con La serie presenta il seguente carattere:

>

= {

< ≤

&