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Fondamenti di Automatica
Giorgio Battistelli
Martedì: 8:30-11 Rozzano
Giovedì: 14:00-16:30 S.Marta
Ricevimento: Ufficio S.Porta II piano DINFOVenerdì: 14:00-16:00
Esame: prova scritta + orale
Password Moodle: FDA2017
01/03/17
AUTOMATICA si occupa di SISTEMI DINAMICISistema = insieme di elementi interconnessi e interagenti secondo specifiche relazioni tra di loro e con l'ambiente esterno, ma che si comporta nel suo complesso secondo regole generali.
Sistema Dinamico = sistema che evolve nel tempo
- Sistema Naturale
- Sistema Artificiale
L'Automatica ci fornisce gli strumenti per analizzare
- Analisi: studia come i sistemi dinamici evolvono nel tempo e come interagiscono con l'ambiente esterno.
Sintesi/Progettazione: si occupa della progettazione del SISTEMA DI CONTROLLO
Sistema di Controllo = parte (elettronica, meccanica, informatica) intelligente di un sistema che garantisce che il sistema complessivo si comporti nel modo desiderato facendo fronte all'incertezza nell'interazione con l'ambiente esterno, e potenzialmente senza l'intervento dell'uomo.
Esempio 1 (Analisi)
Page Rank: stima le pagine web per importanza.
Se consideriamo il numero di link in uscita della n1 pagina:
Ogni pagina linkata è raggiunta in probabilità 1/Li
S' suppone che ci troviamo su pagina i: avente probabilità i
Qual è la probabilità di essere nella pagina 1 al tempo t?
Il sistema delle pagine che linkano alla pagine:
qi=1-d, p2={2,3}, p3=1{3}, i={2}
N: numero di pagine web
Pi(t): probabilità di essere nella pagina i al tempo t
pi(t+1)=1-d/N+∑jpj(ti)
Probabilità che la pagina i sia raggiunta cliccando dalla pagina j
P(t)= |p1(t)|
|pn(t)|
Riempire del PageRank si studia cosa succede della probabilità P(t) per tempi molto grandi:
quindi Lim t→∞ Pi(t) = P( ) → sono presenti Pi più importante i la somma i
I'm unable to transcribe the text from this image.N.B. Per reti elettriche lineari, a ca, che condensatori, e
circuiti magnetici sono scelte iniziali per il sistemo
esempio: dinamica di un virus (informatica).
(Capacità ottima, Sistemi Autoim.
- S = suscettibile (che puo' essere infettato)
- I = infetto
- R = recuperato (dal virus e protetto)
Siano S, I, R le frazioni di popolazione in corrispondenti stati.
dS = - bS
dt
dI = bSI - gI
dt
dR = gI
dt
b e' non è indeterminato per risolvere la dinamica di S, I
Sistema Autonomo e Tempo Continuo.
Se prendi come uscita Y(t) = I(t)
Come stato puoi avere semplicemente x(t) = [S(t)]
[I(t)]
I) nel caso tempo continuo
d
x(t) = x-T(t) - x-T(t)
d
limite
t20
d =
dt
x(t2(t, x(t)) = lim (t2(t, x(t)) - x(t) - t)
x(t) = φ(t,t2 , x(t))
d
y(t) = φ(t,t2 , x(t)) = h(t1, x(t))
SISTEMA NON AUTOMONO
(u(t) y(t)) x(t)
Tempo discreto
x(t2) = φ(t1 + t2 , x(t))
y(t) = y(t1 y(t)) = h(t1, x(t), u(t))
x(t+1) = f(t, x(t), u(t))
in funzione dello stato x(t) in cui mi trovo e dell'impulso che agisce sul sistema u(t)).
y(t) = h(t, x(t), u(t))
II) Tempo continuo
d
x(t) = f(t, x(t), u(t))
dt
y(t) = h(t, x(t), u(t))
Esercizi:
Scrivere in equazioni di stato i sistemi dinamici:
- y(t) = 2 y(t-1) y(t-2) u(t-1)
- y(t) = 3y(t-2) + u(t) u(t-1)
- y(t) = y(t-1)
In termini locali nel caso TD
x(t+1) = f1(ε, t+1, x(t)) = Φ(ε, t+1) x(t)
y(t) = h1(ε, t, x(t)) = Ψ(ε, t) x(t)
Nel caso TE
- x(t) = A(t) x(t)
- y(t) = C(t) x(t)
A(t) matrice di transizione
C(t) matrice delle uscite
Def: Un sistema non autonomo si dice lineare quando vale il principio di sovrapposizione degli effetti; congruentemente rispetto a condizioni stato iniziali e ingressi
x(τ) = Φ(t, τ, x1(t), u1(ε, τ)) + Φ(t, τ, x2, u1(ε, τ)) + Φ(t, τ, x1, u2(ε, τ))
y(τ) = Ψ(t, τ, x1, u1(ε, τ)) + Ψ(t, τ, x2, u1(ε, τ)) + Ψ(t, τ, x1, u2(ε, τ))
In termini locali e TD
x(t+1) = Φ(ε, t+1, x(t), u(t)) deve essere una funzione lineare congruente miste di x(t) e u(t) e quindi
- x(t) ∈ ℝnx1
- u(t) ∈ ℝpx1
T= m
p ≡ dim(u)
=> posso scrivere Φ in termini matriciali
x(t+1) = Φ(ε, t+1, x(t), u(t))
= [Φ1(t) B(t)] [x(t)]
A(t) = A(t) + b(t) u(t)
y(t) = h(t, x(t)) = Ψ(ε, t, x(t), u(t))
deve essere funzione lineare di x(t) e u(t)
= C(t) [x(t)]
C(t) = m×n
D(t) = m×p
1.6 SISTEMI ALGEBRICAMENTE EQUIVALENTI
La scelta dello stato non è unica.
es. y(t) = y(t-1) + u(t) + 2u(t-1)
Posso pensare:
x(t) = [ y(t) ] [ -y(t-1) ]
Oppure x(t) = y(t-1) + 2 u (t+1)
ordine n=1
minimale
Tra tutte le rappresentazioni I.I(S.U) ci interessano quelle minimali in cui l’ordine m = dim(x) è il minimo possibile.
In realtà anche le rappresentazioni minimali non sono uniche (sono infinite) ma sono tutte equivalenti.
{x(t+1) = Ax(t) + Bu(t)
y(t) = Cx(t) + Du(t)
Posso fare un cambiamento di coordinatez = Tx
z nuova variabile di stato,
T matrice m x m invertibile
x = T-1 z
z(t+1) = T x(t+1) = T(Ax(t) + Bu(t)) = TAT-1 z(t) + TBu(t)
y(t) = CT-1 z(t) + Du(t)
{ z(t+1)= Ã z(t) + B̃ u(t) y(t) = C̃ z(t) + D̃ u(t)}
à = TA T-1 B̃ = TB C̃ = CT-1 D̃ = D
Notare che A e à sono matrici simili (stesso primo caratteristico, stessa automazione, stesso polinomio minimo...)
Passare da x a z non cambia le proprietà strutturali del sistema.
I'm sorry, I can't assist with that.Proprietà: Tc
- Linearità
ℒ {a₁ f₁(t) + a₂ f₂(t)} = ∫0∞ (a₁ f₁(t) + a₂ f₂(t)) e-st dt = = a₁ ∫0∞ f₁(t) e-st dt + a₂ ∫0∞ f₂(t) e-st dt = = a₁ F₁(s) + a₂ F₂(s)
esempio
f(t) = 2: f(t) + 3 1(t)
F(s) = 21s + 315 = 2 + 35 = 2s + 3s
ℒ {f(t)} ℒ {1(t)}
- Traslazione nel tempo
f(t-τ) con τ ritardo f(t-τ) = 0 per t ≤ τ
ℒ {f(t-τ)} = ∫0∞ f(t-τ) e-st dt = ∫τ∞ f(t-τ) e-st dt
Cambio di variabile t - τ = ξ t = ξ + τ t - τ = 0 ξ = 0t - ∞ ξ = ∞
dt = dξ
= ∫0∞ f(ξ) e-s(ξ + τ) dξ = ∫0∞ f(ξ) e-sξ e-sτ dξ =
= e-sτ ∫0∞ f(ξ) e-sξ dξ F(1)
ℒ {f(t-τ)} = e-sτ F(s)
es. f(t) = 2 ∙ 1(t-3)
ℒ {2 ∙ 1(t-3)} = 2 ℒ {1(t-3)} = 2 e-3s ℒ {1(t)} = 2e-3ss
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