Appunti di Fondamenti di automatica

Lezione 20/02/23

martedì 21 febbraio 2023

IL PROBLEMA DI CONTROLLO

si pone quando si vuole fare assumere a un sistema un comportamento desiderato

• controllo manuale
• automatico

In questi problemi abbiamo:

• obiettivo
• misure
• azioni
• disturbi = variabili indipendenti e incerte che influenzano il problema

ELEMENTI DI UN PROBLEMA DI CONTROLLO

• sistema sotto controllo
• andamento desiderato delle variabili controllate

andamenti desiderati delle variabili controllate o riferimenti

variabili di controllo

variabili controllate

Il problema di controllo consiste nel determinare a ogni istante il valore delle variabili di controllo in modo tale che le variabili controllate si trovino quanto più possibile simili agli andamenti che desiderati io e qualunque siano, fra quelli ragionevoli, gli andamenti di yo e dei disturbi d.

L’oggetto che determina ed esercita l’azione di controllo si chiama controllore e il principio secondo cui opera il controllore prende il nome di legge di controllo.

Il controllore può fare uso del modello matematico del sistema sotto controllo.

DINAMICA DEI SISTEMI

es. nastro trasportatore

• y: portata di sabbia all'uscita del nastro
• p: perdite di sabbia
• v: velocità del nastro
• l: lunghezza

Il problema di controllo si pone nel fare sí che la portata in uscita y sia quanto più simile a y_o.

• MODELLO MATEMATICO

y(t) = u (t - τ) - p(t)

τ = l / v

p(t) = p̅ + Δp(t)

SISTEMA DINAMICO

Sistema che si interfaccia con il resto del mondo mediante 2 insiemi di variabili

• VARIABILI D'INGRESSO con cui dall'esterno si influenza il comportamento del sistema
• VARIABILI D'USCITA che caratterizzano il comportamento del sistema

y_i(t) = f_i(u₁(t),u₂(t),...,u_m(t))

ci chiediamo se possiamo scrivere le equazioni con

y(t) = y(t₀) + (1/C) ∫_t0^tu(τ)dτ

Si può definire una variabile che chiamiamo ORDINE DEL SISTEMA ovvero il numero di condizioni iniziali che occorre

CLASSIFICAZIONE DI SISTEMI DINAMICI

Dato il sistema dinamico:

ẋ(t) = f(x(t), u(t), t)

y(t) = g(x(t), u(t), t)

u ∈ R^m x ∈ Rⁿ

y ∈ R^p

SISTEMI

• MONOVARIABILI (SISO) m = p = 1
• MULTIVARIABILI (MIMO)

SISTEMI

• PROPRI
  • STRETTAMENTE PROPRI - L'uscita g non dipende direttamente dall'ingresso y(t) = g(x(t), t)

SISTEMI

• TEMPO INVARIANTI - Le equazioni non dipendono esplicitamente dal tempo
  • ẋ(t) = f(x(t), u(t))
  • y(t) = g(x(t), u(t))
• TEMPO VARIANTI

SISTEMI

• LINEARI - Tutte le equazioni sono combinazioni lineari dei propri argomenti
• NON LINEARI

MOVIMENTO NEL SISTEMA DINAMICO

Dato il sistema dinamico:

• ẋ(t) = f(x(t), u(t)) x ∈ ℝⁿ, u ∈ ℝᵐ
• y(t) = g(x(t), u(t)) y ∈ ℝᵖ

Consideriamo un ingresso ū(t), t ≥ 0 e una condizione iniziale x₀ a t=0

MOVIMENTO DELLO STATO

una funzione x̅(t) ∈ ℝⁿ

• x̅(t) = f(x̅(t), ū(t))
• x̅(0) = x̅₀

MOVIMENTO DELL’USCITA

una funzione y̅(t) ∈ ℝᵖ

• y̅(t) = g(x̅(t), ū(t))

evoluzione dello stato e dell’uscita a partire da una certa condizione iniziale assegnata e ingresso

EQUILIBRIO

Gli equilibri sono movimenti che corrispondono a un ingresso costante: u(t) = ū ∈ ℝⁿ ∀t

Definiamo STATO DI EQUILIBRIO un movimento dello stato costante nel tempo: x(t) = x̅ ∈ ℝⁿ ∀t

Lezione 27/02/02

martedì 28 febbraio 2023

STABILITÀ

es.

• ẋ = f(x,u)
• u(t) = ū
• m = 1

f(x, ū)

f positiva

f negativa

1. stati di equilibrio = 3 -> dove si annulla la funzione ẋ = 0
2. sono asintoticamente stabili o instabili

supponiamo di perturbare x̄₁ con un valore leggermente superiore a x̄₁

• f è positiva e la derivata cresce
• x̄₁ = INSTABILE
• x̄₃ = INSTABILE

consideriamo di perturbare x̄₂

• se f negativa x diminuisce quindi tende a tornare verso x̄₂
• se f positiva x aumenta quindi tende a x̄₂
• ASINTOTICAMENTE STABILE

PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI

Dato un sistema LTI supponiamo di eseguire 3 esperimenti:

• x₀ u₁(t) (t > 0)
• x₀" u₂(t) (t > 0)
• x₀"' = αx₀ + βx₀" u₃(t) = αu₁(t) + βu₂(t) (t > 0)

x₃"'(t) = αx₁(t) + βx₂"(t) y₃"(t) = αy₁(t) + βy₂(t)

combinando linearmente le cause del moto si ottiene la stessa comb. lin. degli effetti

STABILITÀ NEI SISTEMI LTI

ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t)

• x_on ū(t) (t > 0) - x_n(t): movimento nominale
• x_op ū(t) (t > 0) - x_p(t): movimento perturbato

STABILITÀ DEI SISTEMI DINAMICI LTI

Un sistema dinamico LTI con matrice A diagonalizzabile è :

• asintoticamente stabile sse tutti gli autovalori di A hanno p.r. < 0
• semplicemente stabile sse tutti gli autovalori di A hanno p.r. ≤ 0 e ve ne sono a p.r. = 0
• instabile sse almeno un autovalore di A ha p.r > 0

La stabilità dipende dalla parte reale degli autovalori.

A seguito di un cambio di variabili di stato cambia la matrice A: Â = TAT^-1

A e  sono simili e quindi hanno gli stessi autovalori, quindi la stabilità non dipende dalla scelta delle variabili di stato.

• ➔ PROPRIETÀ STRUTTURALE

l_i = -¹/_K1 | p₁ p_i+1 | = h_i+2 - p₁K_i+1/_K1

Se in una riga il primo elemento è nullo ci si ferma e la tabella è non ben definita. Altrimenti si continua fino a formare m+1 righe.

Il sistema di cui φ(λ) è polinomio caratteristico è asint. stabile se e solo se la tabella è ben definita e gli elementi in prima colonna sono concordi.