Appunti completi di Fondamenti di automatica

Andremo infatti ad analizzare le caratteristiche del regime transitorio, e

introdurremo dei metodi per lo studio di questo.

Comportamento transitorio

Non avendo un andamento di regime a cui riferirci, occorrerà infatti

lavorare nel dominio del tempo, stabilendo dei parametri con cui valutare il

comportamento del nostro sistema in risposta a degli specifici ingressi di

riferimento.

Il segnale notevole sarà il segnale a gradino

unitario, che genererà nel sistema una risposta,

detta risposta indiciale.

La risposta indiciale sarà uno dei primi metri

per l’analisi della risposta in regime 1

3.3 Prestazioni dinamiche e sintesi in frequenza

transitorio. Sappiamo infatti che per un sistema asintoticamente stabile ci

aspetteremo una risposta simile a quella in figura.

Valore a regime permanente

Il valore di regime di tale risposta dipenderà dal guadagno del sistema.

Sappiamo che, anche senza conoscere la struttura, dovremo caratterizzare la

serie di controllore e processo con una serie di caratteristiche. Il

controllore andrà infatti a compensare le caratteristiche del processo che

non sono presenti, e che occorrono per ottenere l’uscita desiderata.

Per condizionare il comportamento a regime permanente abbiamo definito una

funzione di controllo

() = ℎ

Per cui per scrivere la funzione del controllore occorrerà quantificare e

Questi parametri andranno anche ad influenzare la risposta in regime

ℎ.

transitorio, e in particolare saranno coinvolti nella valutazione della

sovraelongazione.

Dinamica aggiunta ()

Per correggere il comportamento dinamico del transitorio del nostro sistema,

occorrerà aggiungere al controllore un’ulteriore parte dinamica detta

(),

rete correttrice, caratterizzata principalmente dall’avere un guadagno

unitario.

() = ()

ℎ

Il guadagno unitario è scelto in modo da non alterare la risposta permanente,

in quanto la modifica del transitorio rimane comunque subordinata

all’adattamento del regime permanente.

Siccome deve essere caratterizzata in frequenza, dovremo analizzare

()

come tradurre le nostre esigenze, determinabili nel dominio del tempo, da un

dominio all’altro.

Otterremo generalmente una caratterizzazione nel dominio trasformato

determinate da due parametri.

Legami tra risposta indiciale ed armonica

(per sistemi del primo e secondo ordine)

Dalle specifiche in dovremo quindi ottenere una serie di specifiche

equivalenti in per l’anello aperto, ma per questo occorrerà ricavare una

serie di specifiche in per

(). 2

3.3 Prestazioni dinamiche e sintesi in frequenza

In queste situazioni si potrebbe rimanere nel dominio del tempo, ma

occorrerebbe implementare una misura sperimentale della risposta armonica

del sistema.

La traduzione delle specifiche nel tempo in specifiche del sistema ad anello

sarà oggetto di questa trattazione.

In sede di esame ci verranno fornite direttamente le specifiche ad anello

aperto, ma occorrerà comunque conoscere le metodologie per la

formalizzazione di queste specifiche.

Il primo metro (nel dominio del tempo) che considereremo sarà la il tempo di

salita , che ci indicherà la velocità con cui il sistema raggiunge il

valore di regime, mentre un altro metro di riferimento sarà la

̂

sovraelongazione , ossia il massimo delle oscillazioni raggiunte nel

transitorio.

Andiamo ad analizzare lo stesso sistema sotto forma di diagramma di Bode

normalizzato 3

3.3 Prestazioni dinamiche e sintesi in frequenza

Le due caratteristiche principali di questo sistema nel dominio della

modulo in risonanza e la banda passante

frequenza saranno il

(valore di banda per cui il modulo risulta attenuato di rispetto al

3

valore di partenza).

Il modulo massimo (modulo in risonanza) sarà infatti legato alla

sovraelongazione massima, mentre la banda passante sarà legata al tempo di

salita.

Sistemi di primo ordine

Su un sistema del primo ordine andiamo ad analizzare una chiaramente

()

del primo ordine, 1

() = 1 +

che possiamo immaginare di ottenere chiudendo un anello (a retroazione

unitaria) avente () 1/

() = =

1 − ()

Antitrasformando otteniamo

Vogliamo andare, data questa funzione, a stimare il tempo di salita, che ha

un calcolo complicato, ma che possiamo approssimare all’intersezione tra la

tangente della curva nel dominio del tempo e la retta = 1. 4

3.3 Prestazioni dinamiche e sintesi in frequenza

Possiamo calcolare la tangente della risposta andandone ad esprimere la

derivata calcolata nel punto = 0

Calcoleremo quindi che dato si avrà

, = 1

La derivata prima in sarà data da

= 0

Indichiamo quindi generalmente il tempo di salita di un sistema

(approssimando), come =

Consideriamo che uno dei pochi parametri che ci vengono solitamente forniti

è il discostamento massimo tra il diagramma di bode esatto e la sua forma

asintotica.

Questo discostamento massimo sarà di per cui considereremo, essendo

3,

1

questo posto proprio al valore :

1

=

3 5

3.3 Prestazioni dinamiche e sintesi in frequenza

Da cui otterremo anche il legame = 1

3

Questo rapporto di proporzionalità delle due approssimazioni è notevole, e

va tenuto a mente.

Osserviamo che in questo caso non è presente una risonanza, in quanto questa

non è compatibile con sistemi di primo ordine. La sovraelongazione massima

corrisponde quindi esattamente al valore a regime permanente.

Sistemi di secondo ordine

Prendiamo adesso in esame un sistema di secondo ordine a guadagno unitario.

Al denominatore della funzione di trasferimento abbiamo quindi un termine

trinomio:

Nel caso in cui (0,1)

∈

Mentre nel caso precedente non era presente una sovraelongazione, qui se ne

riscontra chiaramente la presenza.

La condizione imposta su ci indicherà che le oscillazioni si estingueranno

nel tempo.

Andiamo ad approssimare il tempo di salita, che per questo tipo di sistema

di secondo ordine può essere definito come primo istante in cui la risposta

interseca il valore 1:

Questo risulta essere determinato da e da

.

In modo analogo andiamo a definire la sovraelongazione, trovando il primo

punto di annullamento della derivata prima, che ci permette di ottenere .

Il ottenuto viene sostituito nell’espressione della risposta e dà come

risultato , ossia il picco della sovraelongazione

̂ 6

3.3 Prestazioni dinamiche e sintesi in frequenza

Andiamo a calcolare la pulsazione di risonanza, considerando che questa

corrisponde alla pulsazione del picco della sovraelongazione.

Si ottiene il modulo alla risonanza , considerando

Ritorniamo alla definizione della banda passante come la pulsazione in

1 . Risolvendo

corrispondenza del punto in cui il modulo normalizzato vale √2

, che esprimiamo come proporzionale alla

si ottiene un’espressione di

3

frequenza di oscillazione naturale moltiplicata per una funzione di .

In particolare consideriamo le seguenti approssimazioni e

Che consideriamo essere valide solamente entro i range qui indicati di

.

Nel caso di più poli, considerando che questi vengono tutti sovrastati dai

poli dominanti (poli lenti) la validità di questa dinamica non verrà meno

Risposte indiciali e armoniche

Andiamo ad analizzare le risposte indiciali ed armoniche al variare di ,

che ci permettono di osservare graficamente quanto indicato:

In questo primo caso abbiamo una variazione di fissando

, = 100

7

3.3 Prestazioni dinamiche e sintesi in frequenza

Dove la freccia rossa indica l’andamento a diminuire.

Analizziamo in modo analogo l’influenza della pulsazione naturale

fissando = 0.3

Relazione anello chiuso-anello aperto

Finora le nostre analisi si sono limitate alle considerazioni sull’anello

chiuso. Vogliamo invece andare ad analizzare la situazione partendo dalle

informazioni date sull’anello aperto.

innanzitutto la banda passante

Consideriamo che, come andremo ad

3

osservare a breve, potrà essere legata alla pulsazione di attraversamento

dell’anello aperto. 8

3.3 Prestazioni dinamiche e sintesi in frequenza

Per questi sistemi potremmo tranquillamente pensare che basterà aumentare la

per aumentare la banda passante

pulsazione di attraversamento

In modo analogo, il modulo di risonanza potrà essere legato al margine

di fase del sistema ad anello aperto

Osserviamo che sarà legato al margine di fase più alto

) +

= arg�(

�

0 .

del margine di fase, andrà quindi a diminuire

Al diminuire

Riassunto delle specifiche dinamiche

Andiamo quindi a considerare uno schema che riassuma le caratteristiche

desiderate della risposta transitoria relativa alla coppia ingresso di

riferimento/uscita controllata: 9

3.3 Prestazioni dinamiche e sintesi in frequenza

Secondo questa tabella, possiamo osservare che una specifica su tempo di

salita o banda passante si tradurrà in una specifica sulla pulsazione di

attraversamento, mentre una specifica sulla sovraelongazione o sul modulo di

risonanza si tradurrà in una specifica sul margine di fase.

Con l’apice andremo da ora in poi ad indicare gli obbiettivi target.

∗

Riassumiamo per completezza anche le specifiche a regime permanente.

Questa tabella, in aggiunta alle caratteristiche già analizzate, aggiunge

chiaramente anche la risposta a ingressi sinusoidali, caratterizzati da

parte reale nulla.

Struttura del controllore

Andiamo a separare il controllore in due parti: una per la gestione delle

risposte permanenti, e l