Appunti completi Fisica Generale I

Urti ed impulso

Un urto è una collisione tra due corpi; durante il breve periodo di contatto gli oggetti esercitano a vicenda delle forze la cui intensità varia nel tempo, facendo variare anche la reciproca quantità di moto.

Impulso

L'impulso è una grandezza fisica vettoriale data dall'integrale rispetto alla variazione nel tempo della forza applicata.

t₂ ∫_t1 F dt = J

In alternativa, è possibile calcolare l'integrale della forza media, che essendo una forza costante (perché media) ha integrale equivalente al prodotto tra il modulo della forza media e l'intervallo di tempo.

J = F̅ Δt

L'impulso si indica con la lettera J ed ha come unità di misura il N s (Newton secondo), che è equivalente all'unità di misura della quantità di moto, il kg m/s (chilogrammo metro al secondo).

Quantità di moto e impulso sono infatti grandezze uguagliate dal teorema.

dell'impulso, una semplice conseguenza della seconda legge di Newton: Δp = J

Dimostrazione - Teorema dell'impulso:

∫ Δp = ∫ F dt = ΔJ

F = Δp / Δt

Con i versori, l'impulso si indica:

ΔJ = m(Δv)i + (Δv)j

Si noti come a parità di impulso (o di variazione di quantità di moto), a seconda del tempo di impatto cambia la forza media subita secondo una relazione di proporzionalità inversa (aumenta se diminuisce, diminuisce se aumenta).

Impulso e forza media hanno quindi stesso orientamento, dato dalla differenza dei vettori quantità di moto finale e iniziale.

Conservazione della quantità di moto: ∑ Δm∑ Δp = 0

In un sistema isolato (e chiuso) la quantità di moto è costante.

F = 0 (esterna)

La conservazione può avvenire anche solo su alcuni assi. Ad esempio,

Nel moto del proiettile la quantità di moto si conserva lungo l'asse orizzontale, ma non sull'asse verticale, dove la forza peso non è annullata da nessuna forza. Se è valida la conservazione della quantità di moto, l'impulso sarà sempre nullo; difatti, per considerare la presenza di un impulso si considera spesso un sistema solo in una sua parte, ignorando la presenza di un impulso uguale e contrario che consegue dal terzo principio della dinamica.

Urti

Esistono due tipi di urti:

1. Se l'energia cinetica totale non cambia si parla di urto elastico. In questo caso si hanno solo forze conservative, perché non ci sono forze non conservative che dissipano energia in calore; vale il principio di conservazione dell'energia meccanica.
2. Se invece l'energia cinetica totale cambia si parla di urto anelastico.

Un caso particolare è l'urto completamente anelastico, dove i due oggetti in seguito all'urto restano

attaccati tra loro. In entrambi i casi si può impostare l'equazione della conservazione della quantità di moto, ma nell'urto elastico si può impostare anche l'equazione della conservazione dell'energia cinetica. Se l'urto è in due dimensioni, la conservazione della quantità di moto si scrive sia per l'asse x che per l'asse y.

→P = →P_i1 + →P_i2 = →P_f1 + →P_f2

P_p = m₁v_i1 + m₂v_i2 = m₁v_f1 + m₂v_f2

Casi particolari:

→P_p = m₁v_i1 + m₂v_i2 = (m₁ + m₂)v_f1

In urto completamente anelastico:

→P_p = m₁v_i1 + m₂v_i2 = (m₁ + m₂)v_f1

Per quanto riguarda il centro di massa, è possibile calcolarne la velocità a partire dall'equazione della quantità di moto, poiché tale velocità resta invariata durante l'urto.

→P_cm = →P_i1 + →P_i2 = →P_f1 + →P_f2

In un urto completamente elastico, con bersaglio fermo:

→P_cm = m₁v_i1 + m₂v_i2 = m₁v_f1 + m₂v_f2

Mettendo a sistema questa

equazione con l'equazione dell'energia cinetica si ottengono le seguenti formule:

−mm²m1²1= =v v , v v1 , f 1 , i 2, f 1 , i+m +mm m1²1²⃗ + ⃗ =⃗ + ⃗v m v m v m v m

In un urto completamente elastico, con bersaglio mobile: 1 ,i 1² ,i 2 1 , f 1² ,f 2−m −mm²m 2 m m1²2²1²1= + = +v v v , v v v1 , f 1 , i 2 ,i 2 , f 1 ,i 2 ,i+m +m +m +m m m m m1²1²1²1²

Da notare che il caso in cui il bersaglio è fermo è un caso particolare del caso in cui è=0vmobile, poiché essendo si annulla il fattore associato.2 , i

Per ricordare meglio queste ultime due equazioni, si noti come in entrambi i casi il primo addendo resta identico al caso in cui il bersaglio è fermo, ma è necessario aggiungere un secondo addendo identico all' della velocità finale dell'altra particella nel caso in cui il bersaglio sia fermo (o equivalentemente identico al primo addendo della velocità finale nel caso in cui il

bersaglio è mobile), scambiando però le due masse, e scambiando la velocità iniziale della prima particella con quella della seconda.

Urti con corpi molto massicci

Nel caso in cui un corpo urti un altro la cui massa è molto maggiore, la quantità di moto sembra apparentemente non conservarsi, poiché la velocità dell'oggetto massiccio resta apparentemente invariata. Di fatto, una variazione nella velocità si verifica sempre, ma quando essa è trascurata si può considera una forza unilaterale e quindi un impulso unilaterale:

(m1 * v1)i + (m2 * v2)i = (m1 * v1)f + (m2 * v2)f

(m1 * v1)i + (m2 * v2)i ≫ (m1 * v1)f + (m2 * v2)f

(m1 * v1)i ≈ 0

Velocità del centro di massa

Il centro di massa in un urto, indipendentemente che l'urto sia anelastico o elastico,

havelocità costante

Infatti: p ∑ mvtot⇒v=M = =p vtot cdm cdm M ∑m pMa se il sistema è chiuso e isolato è costante, quindi anche la velocità del centro di massa è costante.

Cinematica rotatoria

Così come esiste il moto traslatorio, si può parlare anche di moto rotatorio di un corpo attorno ad un asse di riferimento.

Il moto rotatorio ha significanti analogie con il moto traslatorio; è infatti possibile definire grandezze relative al rotatorio che possono essere considerate corrispettive di quelle del moto traslatorio.

Posizione e spostamento angolare

La grandezza fondamentale per lo studio del moto rotatorio è la posizione angolare, θ misurata in radianti (θ); essa è data quindi dal rapporto tra l'arco di circonferenza rad considerato e il raggio della stessa, ed inoltre per convenzione si considera una rotazione in senso antiorario come positiva, viceversa una in senso orario come negativa.

l'accelerazione angolare media è il rapporto tra la variazione di velocità angolare rispetto al tempo, mentre l'accelerazione angolare istantanea (α) è la derivata della velocità angolare rispetto al tempo.

Definite le principali grandezze angolari, è possibile considerando un corpo in moto rotatorio attorno al proprio asse, se si considera ogni suo punto in moto circolare uniforme, è possibile stabilire facilmente una relazione tra le grandezze angolari e le cosiddette grandezze lineari della cinematica traslatoria:

2π = ωr = αr = ωs = θr, v, a: a, a_t, t, r, v, a

Se la prima equazione è data dalla definizione di radiante, le equazioni per et t sono sue implicazioni. Queste due grandezze sono dette velocità e accelerazione tangenziali, poiché hanno direzione tangente alla circonferenza di raggio r. È da notare che l'accelerazione lineare ha quindi due

• L'accelerazione tangenziale, che consiste in una variazione del modulo della velocità angolare e tangenziale e che pertanto può essere presente o meno;
• L'accelerazione radiale, che corrisponde all'accelerazione centripeta ed è responsabile della variazione sulla direzione della velocità tangenziale.

La dinamica di un corpo in rotazione attorno ad un asse è descritta mediante grandezze differenti da quelle del moto traslatorio, ma (anche in questo caso) analoghe ad esse.

Per un sistema di punti materiali, il momento di inerzia è una grandezza scalare costante ottenuta dalla sommatoria dei prodotti tra le masse di ogni punto del corpo, ed i quadrati delle corrispettive distanze rispetto all'asse di rotazione.

∑ 2=I m ri i

Il momento di inerzia è una grandezza scalare che rappresenta la tendenza di un corpo a percepire una variazione di velocità angolare, e

Può essere pertanto considerata l'analogia della massa per il moto rotatorio. Ad esempio, maggiore è il momento di inerzia, e maggiore sarà la difficoltà nell'innescare una rotazione, così come all'aumentare della massa è più difficile spostare un oggetto da fermo.