Appunti Fisica generale

Meccanica

Cinematica

Cinematica: descrive il moto dei corpi.

Dinamica: studia le cause del moto.

Cinematica del punto materiale

Per prima cosa bisogna definire la posizione del punto tramite un sistema di riferimento in cui calcolare (piano cartesiano). Il punto materiale P è identificato in un punto generico dello spazio. Si identifica con il vettore posizione r che avrà una sua traiettoria. La sua posizione quindi dipende dal tempo. Il moto di questo oggetto è indicato da: () detta legge oraria. Molti problemi di meccanica richiedono di individuare la legge oraria per un certo moto.

Δ = Velocità media: Δ(1)Δ = − (0) Δ = 1 − 0 Dove er è un vettore quindi anche Vm è un vettore (vett/scalare). [V]= L/T u.m: m/s mΔ lim = Velocità istantanea: (de r in de t)(non è un rapporto, verrà usato come tale) Δ Δ→0 La velocità è la derivata della posizione rispetto al tempo.

Altre notazioni: de quadro in de t quadro2 () Funzione posizione: Funzione velocità:

Calcolare derivata di un vettore

(() ((), (), ())= per fare la derivata del vettore faccio la derivata dei singoli componenti: ( ) = = ( ; ; )

Moto rettilineo uniforme

( ) ≡ Moto in cui la velocità è costante. Nel moto rettilineo uniforme velocità media e velocità istantanea sono uguali. Classico problema: Data la funzione v(t) vogliamo calcolare la legge oraria r(t) nota la velocità () ()= + ∫ posizione del corpo nell’istante . = ( ) dove =

() () ()= + = + = + ∫ ∫ ∫ Si tratta di 3 integrali: ; ;

Per risolvere l’integrale devo conoscere () (che è costante) () ()= + = + = + ( − )∫ ∫

Legge oraria del moto rettilineo uniforme

Uniforme: la velocità non cambia in modulo. Il modulo della velocità è costante.

Rettilineo: la velocità non cambia direzione. Il moto avviene su una retta. Siccome il moto avviene su una retta scegliamo di orientare i nostri assi cartesiani in modo che uno degli assi coincida con la direzione del moto che sappiamo essere sempre la stessa. Orientiamo il sistema di assi in questo modo e scegliamo l’origine con punto iniziale. Considerando solo la componente x non sono più vettori. (, 0,0) = = (0,0,0) = 0() = + ( − )

Legge generale

() = se x =0, t =0o o() ()= =

Accellerazione varia la velocità nel tempo. Anchessa è un vettore Accellerazione ci dice come(vettore/scalare) Δ = 2 2

Accelerazione media: [a]= L/T u.m.= m/s Δ( )Δ = − ( ) Δ = − Dove e1 1 2

Δ () = lim = =

Accelerazione istantanea: 2Δ Δ→0 L’accelerazione è la derivata della velocità rispetto al tempo. L’accelerazione è la derivata seconda della posizione rispetto al tempo.

Moto uniformemente accelerato

Moto con accelerazione costante: a = a = costantem. Il moto lungo y e z sarà uniforme (con velocità costante). L’accelerazione lungo x è costante, ma non è detto che non ci sia moto su y e z, che descriviamo con la legge del moto rettilineo uniforme. Non c’è accelerazione ma ci può essere una velocità () = + ( − ) { () = + ( − )

Vogliamo trovare x(t) sapendo l’accelerazione a=(a,0,0). (accelerazione lungo x)

2 = ( ) = = ( ) per calcolarlo mi servono e (eq. Differenziale di 2° ordine)

2 = () = + = + ( − )∫ velocità () () ( ) ( ) ( ) = + = + + − = + − + − ∫ ∫ ∫ ∫ = 1 2( )= + − + ( − ) = () 2

Legge oraria moto uniformemente accelerato

1 2()→ = + + = 0 Se 2

Esercizio un inseguimento in una direzione

Supponiamo che ci sia un auto che viaggia alla velocità costante V = 108 km/h. supera il limite di velocità e la motocicletta parte all’inseguimento. Il poliziotto parte con ritardo 5 sec con un dellaposizia 2 accelerazione di 3 km/s = 5 { = 3 /108km/h=30 m/s

Definiamo t=0 l’istante in cui la polizia parte e x=0 la posizione iniziale della polizia. è: quando la polizia parte, dove si trova l’auto? L’auto La prima domanda da porsi ovviamente è andata più avanti= .,0

Legge oraria macchina (moto rettilineo uniforme) =() = × +

Legge oraria polizia (moto unif. accelerato) =1 2( ) = 2

Ora devo calcolare il tempo T in cui la polizia incontra la macchina, dove le due curve si incontrano. Uguaglio le due leggi orarie:

1 2 = + 2

1 2 − − = 0

La mia incognita è t. quindi:

f 21 2( ) = ± √ − 2 Posso semplificare un po’: 2 = (1 ± + )√1

Formula risolutiva Meglio scrivere la formula risolutiva in questo modo così vedo subito le dimensioni:

2 ⌈ [ ]=⌉= × = × =1 e analisi dimensionale corretta.

2 Risolvo ora con i dati.

2 2 1 2×3×5 = 30 × = =1 3 30 = 10(1 + + 1) ≈ 24√1

Come ultimo passaggio ci chiediamo se il risultato sia ragionevole.

Esercizio moto in due dimensioni

Studio del moto di un proiettile. Un proiettile viene sparato con una velocità v che poi cade al suolo. Il proiettile ha un moto parabolico a causa della forza di gravità. Calcolare a che distanza il proiettile cade. Altezza iniziale y = 4m. velocità iniziale v = 5m/s.

0 o Scrivo le leggi orarie del moto: () = moto rettilineo uniforme, non ho accelerazione 1 2 –g,() = − moto unif. accelerato con accelerazione con partenza da y o 2

La prima cosa da calcolare è a che tempo l’oggetto tocca terra: quando y=0

1 22 () : = 0 → = → = √1

12 Inserisco t dentro alla legge oraria di x:

1 122 2 ( ) 2 2 = = ( ) [ ] = ( ) = analisi dimensionale ok21 2 Inserisco i dati:

22 2×25×4 2 ≈ ≈ 20 ≈ ≈ 4.47√20 10

Moto circolare uniforme

Moto che avviene con velocità di modulo costante su una circonferenza. Il modulo della distanza dell’oggetto è costante rispetto al centro della circonferenza. Il vettore no.| | → = costante R = raggio circonferenza.

2 • = Il modulo quadro di un vettore è uguale al prodotto scalare del vettore per se stesso. Nel moto circolare uniforme c’è una velocità anche se il modulo di r non cambia.

Proprietà di un vettore con modulo costante: ( )• = 0 = • + • = 2 • → • = 0 Ciò significa dal punto di vista geometrico che i due vettori sono perpendicolari (scalare di due vettori ortogonali=0).

Se il modulo è costante la derivata di quel vettore è perpendicolare al vettore. In particolare nel moto circolare uniforme (uniforme o meno), la velocità deve essere perpendicolare alla posizione. Si dice che la velocità è tangenziale. L’angolo φ varia al variare della posizione, quindi è una funzione del tempo.

≡ ()Velocità angolare ovvero una misura di come varia. A questo posso definire l’angolo φ nel tempo. ΔVelocità angolare media: = Δ Velocità angolare istantanea =: Nel moto circolare uniforme Ω=cost periodico: l’oggetto torna alla. Il moto circolare è un motoposizione di partenza. Se Ω è una costante, allora () = (+ )0 Angolo compiuto in funzione del tempo.

Per sapere il periodo devo vedere quando φ=2π

22 = → = La velocità angolare è l’inverso di un tempo T -1. Ora nel moto circolare uniforme possiamo vedere quanto vale il modulo della velocità.

2| | = = Il moto circolare è uniforme è accelerato. Il modulo della velocità è costante ma non il vettore velocità quindi il moto circolare è accelerato. ≠ 0!

Nel moto circolare uniforme l’accelerazione deve essere perpendicolare alla velocità quindi è diretta lungo la stessa direzione del raggio (o verso il centro o verso fuori).

Calcolo di modulo e direzione del vettore accelerazione nel moto circolare uniforme

L’accelerazione non è costante. •. Vogliamo calcolarla nel punto più alto. Per farlo faccio il calcolo in base alla definizione stessa di derivata. Faccio il limite del rapporto incrementale. Scelgo l’istante iniziale v al tempo t ; istante

1 1 successivo v al tempo t. 2 2 2= Δ =; Calcolo le componenti della velocità lungo x e lungo y. = − = − cos 1, 2,{ { = = − 1, 2, − − cos + cos 2, 1, = lim = lim =0 Δ Δ Δ→0 Δ→0 − −2 2, 1, = lim = lim = − × × lim = − Δ 2 Δ→0 Δ→0 →0 2 = − = − La componte lungo x è 0. La componente lungo y è negativa. Ne consegue che se disegniamo l’accelerazione è diretta lungo il centro. Questo vale in generale.

Accelerazione centripeta: accelerazione che punta verso il centro. nel moto circolare uniforme punta sempre verso il centro.

L’accelerazione 22| | = =

Moto circolare moto circolare uniforme

La velocità è sempre tangenziale. Il modulo della velocità è costante. (oltre al). Il fatto che il modulo di r è modulo della posizione). Questo implica che l’accelerazione costante implica che v è sia radiale.

L’accelerazione è centripeta e il suo tangenziale. modulo è

22| | = =| | = → è uniforme, oltre all’accelerazione centripeta ho anche una. Nel moto circolare non componente tangenziale dell’accelerazione:. | | = i vettori in termini di altri versori φ e θ, in coordinate polari. Si può scrivere itutti Nel moto circolare uniforme nelle componenti radiali e tangenziali (θ e φ). θθ= |θ|θ = θ = { = − θ

Teoria della relatività (galileiana)

Ciò che conta per descrivere il moto dei corpi è sempre il moto relativo. Secondo la teoria della relatività galileiana il moto ha senso solo in termini relativi. Non c’è moto assoluto. Il moto va osservato sempre in rispetto ad un altro corpo, bisogna identificare un’origine, un sistema di riferimento rispetto al quale misurare il moto.

La teoria della relatività serve per confrontare moti che avvengono in due sistemi di riferimento diversi. Definiamo il vettore OO’, indica la posizione di O’ nel sistema di riferimento di O. Prendiamo una posizione generica P e vogliamo confrontare la sua posizione in un sistema o nell’altro. In O’ la posizione di P è r’. se volgiamo misurare la posizione di P nel sistema O, allora il vettore sarà r. r è la posizione di P nel sistema O. r’ è di P nel sistema O’.la posizione ′Per “legare” le due quantità: = + ′In generale può succedere che il sistema O’ si muove rispetto al sistema O.

′ = × Nella relatività galileiana il tempo è assoluto.

Posso quindi scrivere per componenti:′ = + ,′ = + { = ′ Trasformazioni di Galileo,′ = + ,Le trasformazioni di Galileo legano le posizioni del sistema primato con le posizione del sistema non primato.

Legate misure di Velocità

Parto dalla relazione tra le posizioni e faccio la derivata rispetto a t membro a membro.′ ′ ′ = + → = + = − Le velocità si sommano. Sempre in moto accelerato uniforme (v=cost)

Legare misure di Accelerazione

Derivo membro a membro la relazione delle velocità.′ = + → = ′ Notiamo che, se si hanno due sistemi di riferimento in moto relativo uniforme allora le accelerazioni misurate nei due sistemi di riferimento sono uguali. Posizione diversa, velocità diversa, accelerazioni uguali.

Dinamica

I tre principi della dinamica:

• 1° Legge di Newton: Principio di inerzia Se un corpo non è soggetto a forze, esiste un sistema di riferimento in cui ha accelerazione nulla. (Una forza da accelerazione hai corpi). Questo sistema di riferimento è detto systema inerziale. Un corpo non soggetto a forze, in un sistema inerziale mantiene il suo stato di quiete o moto rettilineo uniforme. La quiete è un moto rettilineo uniforme particolare con velocità zero. Se il moto è accelerato allora non ci troviamo in un sistema inerziale. Il corpo non deve essere soggetto a forze, quindi la risultante delle forze è nulla non ci troviamo in un sistema inerziale. Esempio. Corpo non soggetto a forze ma non in sistema inerziale. Su un autobus c’è uno con i pattini che non si tiene alle maniglie. Quando l’autobus parte il pattinatore va all’indietro. Nessuno lo spinge, prima era fermo. È stato accelerato ma non ha subito alcuna forza. Dipende dal sistema di riferimento: non siamo in un sistema inerziale.
• 2° Legge di Newton Se su un corpo agisce una forza f, la sua accelerazione è data (in un sistema inerziale) da: = dove m = massa, misurata in kg.2f si misura in kg*m/s = N (Newton). La massa misura quanto è difficile accelerare un corpo (per questo detto anche massa inerziale). In presenza di tante forze: ∑ = = risultante delle forze non è una forza, è massa per accelerazione. a dipende dal sistema di riferimento, mente f non dipende dal sistema di riferimento.