Appunti completi di Matematica generale

Appunti di matematica generale

Definizioni di insieme (A1)

Se consideriamo le lettere minuscole dell'alfabeto: a, b, c, x, y. Si usa una lettera maiuscola per gli insiemi: A, B, X, Y.

Definizione estensionale

Data: A = X in assenza di X. A-formazione fra tutti gli elementi di A in assenza di X.

Operazioni con gli insiemi

1. Unione: A ∪ B = {x ∊ X | x ∊ A ⋁ x ∊ B}
2. Intersezione: A ∩ B = {x ∊ X | x ∊ A ⋀ x ∊ B}
3. Complemento: Aᶜ = {x ∊ X | x ∉ A}
4. Differenza in assenza: A △ B = (A ∩ Bᶜ) ∪ (B ∩ Aᶜ)

Teorema (Proprietà)

1. A ∪ B = B ∪ A (P. commutativa)
2. (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (P. associativa)
3. A ∪ Ø = A e (A ∩ Ø = Ø) (P. degli elementi assenti)
4. A ∪ (A ∩ B) = A (P. assorbente)
5. (A △ B) ∩ C = (A ∩ C) △ (B ∩ C) (Formula del bilancio)

Definizione di prodotto cartesiano e il corpo primo (A2)

Assegno: Piani X, Y su Postulati Vinculis. X × Y con diversi operatori {P (X, Y)}. Definizione di uno strutturale: {x ∊ X | ∀ y ∊ Y} il definito:

Postulati di proposizionalità: (x, y) = z = ∃ {x}⋂{z}. Premi di fase: X × Y = ϑ con: parametro di conversione: {x | x = {x}} ⋂ ∧

Definizione di funzione (A.3)

Def.: X, Y non vuoti, se ho: (X × Y) è funzione. Applica su una funzione che osserva un solo punto di spazio.

Funzioni elementari: Rette, crescenza, possibile picchi alti, segmenti segmentati su asse tangibile.

Funzione simmetrica: y simmetrica rispetto a un punto (a,b) sse il simmetrico del punto di simmetria sia interno al dominio della f.

Funzione pari: y simmetrica rispetto all'asse y sse ∀ x∈D f(-x)=f(x) ∀ x, y esistano due punti contanti (a,b) e (-a,b).

Funzione dispari: y simmetrica rispetto all'origine sse ∀ x∈D f(-x)=-f(x) ∀ x, y esistano due punti contanti (a,a) e (-a,-a).

Funzione esponenziale, logaritmica, trasformazioni e cambi di base

Esponenziale: y=2^x

Polinomio: y=a^x con 0<a<1, a=1, a>1

Logaritmo: y=log_ax con 0<a<1, a>1

Seno e coseno: ∠B=x, sin x = sin A, cos x = 1-π/2 < sin x < π/2

Triangolo: ∠B, ∠ x = x, ∠A, ∠C. OH: = ∠A, OA = 1, Obli x = sin A, Ax = 0, sin = sin x / ∠ A, rcos y = xx

Concetto di intorno

I_ε(X0) = (x ∈ ℝ | X₀ - ε < x < X₀ + ε)

1. I_{ε(I Intorno di x0 fissato)} → (0 < ε < +∞) → {} ≠ x ∩ I_ε(x_n) è una generica successione di punti appartenenti all'intorno I senza includere il suo interiore di X₀
2. x₀ + 1/2 ∈ I_ε (I intorno di x₀ - ...)
3. (3 ∗ 2 ∗ ...) ∈ [0,1) ∩ [0,X₀)

Punto di accumulazione per un insieme

X ⊆ ℝ, x_e ∈ℝX = {x | a < x < b, x∈L}

Definizione di limite

X ⊆ ℝ, f: X → ℝ. X_e∈L(lim_x→x0f(x) = l ∈ℝ) ↔ (∀ε>0) (∃δ>0): x ∈ I_(δ)(k_ε ∩ X, X₀) → f(x) ∈ I_(ε)(f)

Teorema unicità del limite

X ⊆ ℝ, f: X—> ℝ X_e∈LHP: ∀ ε = lim_x→x0 f(x) = 0

1. Se ∀ n (x ≥ a_n ∧ x ≤ b_n) = ⊆ ∩ Dimostriamo per assurdo che l = m se consideriamo due limiti di due interni ≠ ∩

Applicazione sui determinanti

∀x ∈ ℝ(x) | x ∈∩(intX) → f(x) ∈ε

Teorema del confronto (A.1)

X &subseteq; Rf₁, x → x = x₀, x &element; D_f1

Tesi: 1) lim_{x → x0} f₁(x) = m

2) ∃I : ∀ε ∀x &element; I ∩ X \ {x₀} f(x) √ f₁(x)

Teorema della permanenza del segno (A.10)

X &subseteq; Rf, x → R, X &subseteq; D_h

lim_{x → x0} f(x) = 0⁺

Tesi: 1) ∃I ∃δ ∀x &element; I ∩ X \ {x₀} f(x) √ 0

Teorema delle 3 funzioni (A.11)

X &subseteq; Rf - x → X &subseteq; D_p

1) lim_{x → x0} f(x) = 0⁺ +2) f(x) ≤ f(x) ≤ g(x)

Tesi: 1) ∃I ∃&delta;