Successioni
Es: 1, 4, 7, 10, 13 … +3 Ragione Succ. a progressione aritmetica.
Es: 1, 2, 4, 8, 16 … *2 Ragione Succ. a progressione geometrica.
Succ. per ricorrenza.
Es: 1, 4, 9, 16, 25, 36 … m2
Definizione di successione
Una successione numerica {an}n∈ℕ → ℕ è una funzione definita su ℕ e a valori reali.
an: ℕ → ℝ
Es: an = m2
- a0 = 0
- a1 = 12 = 1
- a2 = 22 = 4
- a3 = 32 = ...
Es: an+1 = an + 3; a0 = 1.
Formula per ricorrenza → Trovare il termine successivo partendo da quello precedente.
- a0 = 1
- a1 = 1 + 3 = 4
- a2 = 4 + 3 = 7
21/10/18
Successioni
Es: 1 4 7 10 13 … +3 +3 Ragione ⟹ Succ. a progressione aritmetica ⟹ Succ. per ricorrenza.
Es: 1 2 4 8 16 … ×2 ×2 Ragione ⟹ Succ. a progressione geometrica.
Es: 1 4 9 16 25 36 … 12 22 32 42 … m2
Definizione di successione
"Stringa" è una successione numerica.
É una funzione definita su N e a valori reali.
am: N → m → am ∈ R
Es: am = m2
- a0 = 0
- a2 = 22 = 4
- an = n2 = …
Es: am+1 = am + 3; a0 = 1
- a0 = 1
- a1 = a0 + 3 = 1 + 3 = 4
- a2 = a1 + 3 = 4 + 3 = 7
Formula per ricorrenza → Trovare il termine successivo partendo da quello precedente.
Successioni su N
Le successioni sono definite su N. N è formato da un'infinità numerabile di elementi.
Unico punto di accumulazione di N è +∞.
Ha senso determinare il limm→+∞ an.
Es. am = 1/m, m ≥ 1, m ∈ N ⇒ considerare solo positivi.
Solo punti del grafico che corrispondono ad ascisse naturali.
Succ. monotona decrescente
limm→+∞ am = 0.
Es. am = {m – 1, 0 ≤ m ≤ 3m, m ≥ 4}.
Monotona non decrescente.
Non sempre positiva/negativa ma ∀ m ≥ mo positiva.
(am) m ∈ N soddisfa una proprietà definitivamente se ∃ mo > 0 tale per cui tale proprietà è soddisfatta per ∀ m ≥ mo.
Limiti delle successioni
(an)n∈N ⇒ lim n→+∞ an?
- lim n→+∞ an = l ∈ ℝ ∀ ε > 0 troviamo m0 = m0(ε) > 0: |an - l| ≤ ε ∀ n ≥ m0
[Troviamo m0 che è il punto da cui (da lì in poi) an comparirà sempre nella banda formata da l - ε e l + ε]
- lim an = +∞ n→+∞ ∀ K > 0 ∃ m0 ∈ ℕ: an > K ∀ n ≥ m0
- lim an = -∞ n→+∞ ∀ K > 0 ∃ m0 ∈ ℕ: an
0 monotona crescente d lim m→+∞
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