Matematica Generale II - Appunti completi lezioni prof.ssa Rosazza

Successioni

es 1: 1, 4, 7, 10, 13 ...

↪ Ragione +3

Succ. a Progressione Aritmetica

es 2: 1, 2, 4, 8, 16 ...

↪ Ragione ×2

Succ. a Progressione Geometrica

es 3: 1, 4, 9, 16, 25, 36 ...

↪ m²

Definizione di Successione

Una successione numerica

(a_m)_m∈N {a_m∈R}

È una funzione definita su N e a valori reali

a_m: N → R

m → a_m∈R

es 4: a_m = m²

• a₀ = 0
• a₂ = 2² = 4
• a_n = n²
• a₃ = 3² = 9

es 5: a_m+1 = a_m + 3, a₀ = 1

• a₀ = 1
• a₁ = a₀ + 3 = 1 + 3 = 4
• a₂ = a₁ + 3 = 4 + 3 = 7

Formula per Ricorrenza ⇾ trovare l’termine successivo partendo da quello precedente

Successioni sono definite su N

• N formato da un'infinità numerabile di elementi
• Unico punto di accumulazione di N è +∞

Ha senso determinare

lim_m→+∞ a_m

es. a_m = 1/m m≥1 m ∊ N

• Considerare solo positivi
• Sono punti del grafico che corrispondono ad ascisse naturali
• Succ. monotona decrescente
• lim_m→+∞ a_m = 0

es. a_m = { -1 , 0 ≤ m ≤ 3; m , m ≥ 4 }

• Monotona non decrescente
• Non sempre positiva/negativa
• Ma ∀ m ≥ 4 a_m positiva

(a_m)_{m ∊ N} soddisfa una proprietà definitivamente se ∃ m₀ > 0 tale per cui tale proprietà è soddisfatta per ∀ m ≥ m₀

Formula di De Moivre-Stirling

m^m m^-m e^m √2πm per m→+∞

dove 0₁·1 = 1

m = 1,2,...,m -1

es.

limm→+∞

e^m m^m2m·sem(1/m)^1/m2 m^1/2

∞ 0 √∞

e^mm²

∞

Serie Numeriche

es: Rendita Perpetua

Valore Attuale = B/(1t₀) + B/(1t₁) + B/(1t₂) + ...

es: A_m = 1∀m>0

1, 1, 1, 1,..∞

a₀, a₁, a₂, ...

A_m = 100.000 (½)^m∀m>0

a₀, a₁, a₂, ...

100.000 + 100.000 (½)¹ + 100.000 (½)² + ...

↓

Serie telescopica

diff. di 2 termini consecutivi con (b_n)

S_m = ∑_k=0^m (b_k - b_k+1)

= b₀ - b₁ + b₁ - b₂ + b₂ - b_m+1 +...

= b₀ - b_m+1

Carattere della serie telescopica dipende dal lim b_m+1

Se il lim b_n = b ∈ ℝ

allora S_m → m^+∞ b₀

⇒ ∑ converge a b₀ - b ∈ ℝ

Caso particolare → Serie di Mengoli dove b_k = ¹/_k

∑_m=1^∞ (¹/_m - ¹/_m+1) = ∑_n=1^{∞ 1}/_m(m+1)

S_m = b₁ - b_m+1 = 1 - ¹/_{m+1 m→1 = S}

∑_m=1^{∞ 1}/_m(m+1) = 1 ⇔ converge a 1

S_2n - S_2n-4 > 1/2

∀m ∈ ℕ m ≥ 1

S_2n = [S₂ + (S₃ - S₂) + (S₅ - S₃) + ... + (S_2n - S_2n-1)]

≥ 1 + 1/2 m

N° ADDENDI = m

⇒ Quando m tende a +∞ 1 + 1/2 m tende a +∞

L_2n diverge a +∞

⇒ lim_m→+∞ S_2n = +∞

⇒ (S_m)_m è sicuramente illimitata superiormente

succ. somme parziali

∴ lim_m→+∞ S_m (Siccome (S_m)_m è una successione monotona)

(non decrescente; siccome a_n > 0 ∀m)

⇒ lim_m→+∞ S_m = +∞

⇒ ∑_m=2^∞ m^-1 = +∞ → serie armonica classica e divergente A + ∞

es:

\( \sum_{m=4}^{\infty} \frac{e^{2m}}{m!} \)

\( A_m = \frac{e^{2m}}{m!} > 0 \, \forall m \geq 1 \)

\( \lim_{m \to +\infty} \frac{e^{2m}}{m!} = 0 \)

⇒NON SI PÒ CONCLUDERE NULLA

CRITERIO DEL RAPPORTO

\( \frac{A_{m+1}}{A_m} = \frac{e^{2(m+1)}}{(m+1)!} \cdot \frac{m!}{e^{2m}} = \frac{e^{2m+2}}{(m+1)!} \cdot \frac{m!}{e^{2m}} = \frac{e^2 \cdot m!}{m^2 \cdot e^{2m} \cdot m!} = \frac{e^2}{m^2} \)

\( \lim_{m \to +\infty} \frac{e^2}{m^2} = 0 \lt 1 \)

\( \begin{align*} (m+1)! &= 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots m \cdot (m+1)\\ [m+1)! &= m! \cdot (m+1) \end{align*} \)

\( \sum_{m=2}^{\infty} \frac{m! \ln(m)}{m} \)

VERIFICARE CHE LA SERIE DIVERGE A +∞∞

Idea/Procedim. per definizione di integrale

Partizione di [a,b]

f: [a,b] → R limitata

• Disegno: area che approssima per difetto l'area dei rettangoli
• Area che approssima per eccesso

Si divide l'intervallo [a,b] in tanti piccoli sottointervalli

• Questa approssimazione converge sempre di più a verso valore
• Più ampio il numero di intervalli più sarà preciso

Definizione

Dato un intervallo [a,b] un insieme finito di punti:

{x₀, x₁, x_m} ⊂ I⊂ C

x₀ = a < x₁ < x₂ ≤ x₃ ... x_m-1 < x_m = b

È detta partizione (o suddivisione di) di [a,b]

Talvolta si indica P

P = P(x₀, x₁, x_m)

Si indica

Δx_i = x_i - x_i-1

→ Lunghezza dell'intervallo [x_i-1, x_i]

VALORE MEDIO INTEGRALE (O MEDIA INTEGRALE)

• Es: f(x) = c
• con c > 0
• ∀x ∈ [a; b]

∫_a^bf(x)dx = c(b-a)

c = ALTREZZA DEL RETANGOLO

c = \(\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)dx\)

IN GENERALE

\(\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)dx\) = ALTEZZA MEDIA DEL TRAPEZOIDE

VALOR MEDIO INTEGRALE DI f SU [a, b]

(O MEDIA INTEGRALE)

TEOREMA

• SIA f : [a, b] → ℝ LIMITATA e INTEGRABILE
• ∃ m ≤ \(\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)dx\) ≤ M
• con m, M ∈ ℝ
• ESTREMO INF DI f SU [a, b]
• ESTREMO SUP DI f SU [a, b]
• 2) Se f è continua su [a, b]
• ∃ ξ₀∈ [a, b] : f(ξ₀) = \(\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)dx\)

DIMOSTRAZIONE

• 1) f LIMITATA SU [a, b] → m ≤ f(x) ≤ M
• ∀ x ∈ [a, b]

m ≤ \(\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)dx\) ≤ M

MONOTONIA

• m(b-a) ≤ ∫_a^bf(x)dx ≤ M(b-a)

∀ε > 0 definiamo δ = δε = ^ε/_M > 0

tale che se |x₂ - x₁| < δ

⇒ |f(x₂) - f(x₁)| ≤ M |x₂ - x₁|

f(x₂) - F(x₁)| < ε

⇒ F continua su tutto [a, b]

2) Ipotesi = f continua in x₀

Tesi = F derivabile in x₀ con F'(x₀) = f(x₀)

lim_{h → 0} ^{F(x₀ + h) - F(x₀)}/_h = f(x₀)

∀ε > 0 ∃δ > 0

se |h| < δ allora |^{F(x₀ + h) - F(x₀)}/_h - f(x₀)| < ε

Le x ∈ E ⊆ [a, b]

|^{F(x₀ + h) - F(x₀)}/_h - f(x₀)| = ¹/_h [∫_x0^x₀+h f(y)dy - ∫_x0^x₀+h f(x₀)dy - h f(x₀) ] =

= ¹/_h ∫_x0^x₀+h [f(y) - f(x₀)] dy = ¹/_h ∫_x0^x₀+h |f(y) - f(x₀)| dy ≤

< ¹/_h ∫_x0^x₀+h εdy

Siccome f continua in x₀ ∀ε > 0 ∃δ > 0

se |x - x₀| < δ ⇒ |f(x) - f(x₀)| < ε (x ∈ [a, b])

∀ε ∃δ > 0 tale per cui se |h| < δ

|^{f(x₀ + h) - f(x₀)}/_h - f(x₀)| ≤ ¹/_h ∫_x0^{x₀ + h} ε dy

⇒ ¹/_h ε . h = ε