Appunti completi delle lezioni di Fondamenti di Algebra Lineare

Name: Appunti completi delle lezioni di Fondamenti di Algebra Lineare
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Author: luca.kk

Revisionato il 26/06/2026

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Esame Fondamenti di algebra lineare e geometria

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Larese Antonia

Università Università degli Studi di Padova

A.A. 2021-2022

113 pagine

Appunto

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Estratto del documento

INSIEMI DI NUMERI

N: { numeri naturali } = {0, 1, 2, 3, ...}Z: { numeri interi } = {0, ±1, ±2, ±3, ...}Q: { numeri razionali } = {^m⁄_n | m, n ∈ Z e n ≠ 0 }

N ⊆ Z ⊆ Q

DEFINIZIONE - OPERAZIONE

Dato un insieme A, un'operazione * è un'applicazione che associa ad ogni coppia ordinata di elementi di A un terzo elemento detto RISULTATO dell'operazione tra i primi due.

*: A × A → A
(a, b) → a * b

ELEMENTO NEUTRO

Dato un'operazione * si dice che u è elemento neutro per * se a * u = u * a = a ∀a ∈ A

(ESEMPIO)

Elemento neutro per la somma in N: 0 (0 + n = n + 0 = n)
Elemento neutro per la moltiplicazione in N: 1 (1 × n = n × 1 = n)
(N, +) ha come el neutro 0 (Z, +) e (Q, +)
(N\{0}, ×) ha come el neutro 1 (Z\{0}, ×) e (Q\{0}, ×)

OSSERVAZIONE

Gli elementi di N, Z, Q sono invertibili?

(N, .) — 1 è l'unico elemento invertibile
(Z, ·) ±1 sono gli unici elementi invertibili
(Q, ·) ogni elemento ≠ 0 è invertibile (inverso di ^m⁄_n è ⁿ⁄_m)

INSIEMI DI NUMERI

N: numeri naturali {0, 1, 2, 3, ...}

Z: numeri interi {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

Q: numeri razionali {^m/_n / m, n ∈ Z e n ≠ 0}

N ⊂ Z ⊂ Q

DEFINIZIONE OPERAZIONE

Dato un insieme A, un'operazione è un'applicazione che associa ad ogni coppia ordinata di elementi di A un terzo elemento detto RISULTATO dell'operazione tra i primi due.

∗ : A × A → A

(a, b) ➔ a ∗ b

ELEMENTO NEUTRO

Data un'operazione ∗, si dice che u è elemento neutro per ∗ se

a ∗ u = u ∗ a = a ∀a ∈ A

(E5)

elemento neutro per la somma in N: 0 (0 + n = n + 0 = n)
per la moltiplicazione in N: 1 (1 · n = n · 1 = n)
(N, +) ha come el neutro 0 (Z, +) e (Q, +)
(N, ∗) ha come el neutro 1 (Z, ∗) e (Q, ∗)

OSSERVAZIONE

Gli elementi di N, Z, Q sono invertibili?

(N, +) 0 è l'unico elemento invertibile
(Z, +) ±1 sono gli unici elementi invertibili
(Q, ∗) ogni elemento ≠ 0 è invertibile (inverso di ^m/_n è ⁿ/_m)

Quanto vale l'ipotenusa di un triangolo rett. isoscele con cateti 1,1 ?

DEFINIZIONE

CAMPO

Un campo è un terna ( K, +_k, *_k ) dove K è un insieme dotato di due operazioni +_k, *_k dette somma e prodotto t.c.

+_k *_k sono COMMUTATIVE e ASSOCIATIVE
*_k è DISTRIBUTIVA rispetto a +_k,
K contiene l'elemento neutro rispetto a +_k, 0_k
Ogni elemento deve avere un opposto

∀a ∈ K ∃ â t.c. a + â = 0_k

Ogni elemento ≠ 0 deve avere un inverso

∀a ∈ K ≠ 0 ∃ 1/a t.c. a * 1/a = 1_k

Qual è la soluzione dell’eq. x² = -1 ?

x² = -1 x = √-1 ∉ R

Il campo dei numeri complessi

Introduciamo il simbolo i

DEFINIZIONE

i si chiama unità immaginaria

DEFINIZIONE

C = {a⁺ ib t.c. a, b ∈ R }

Un elemento z ∈ C si chiama numero complesso

DEFINIZIONE

Se z è un numero complesso non nullo espresso in forma trigonometricaz = ρ(cosθ + i senθ) La sua RAPPRESENTAZIONE ESPONENZIALE èz = ρe^iθ dove ρ = |z| > 0e θ ∈ R è un argomento di θ

oss La forma esponenziale è una conseguenza delle FORMULE DI EULEROe^ix = cosx + i senxcosx = e^ix + e^-ix / 2 senx = e^ix - e^-ix / 2iz₁ = ρ₁e^iθ₁ z₂ = ρ₂e^iθ₂z₁·z₂ = ρ₁ρ₂e^{i(θ₁+θ₂)}

oss Scrivere in forma algebrica i seguenti n. complessi1) z₁ = e^iπ/2 ρ = 1 z₂ = 1 (cos π/2 + i sen π/2)θ = π/2 i

2) z₂ = e^iπ = 1 (cos πi + i sen πi) = i + 1

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