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INSIEMI DI NUMERI
- N : numeri naturali : {0,1,2,...}
- Z : numeri interi : {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
- Q : numeri razionali : { m/n | m,n ∈ Z e n ≠ 0 }
- N ⊂ Z ⊂ Q
DEFINIZIONE
OPERAZIONE
Dato un insieme A, un'operazione * è un'applicazione che associa ad ogni coppia ordinata di elementi di A un terzo elemento detto RISULTATO dell'operazione tra i primi due.
- * : A x A → A
- (a,b) → a*b
ELEMENTO NEUTRO
Dato un'operazione *, si dice che u è elemento neutro per * se a * u = u * a = a ∀a ∈ A
(ESEMPIO)
- elemento neutro per la somma in N : 0 (0 + n = n + 0 = n)
- - per la moltiplicazione in N : 1 (1 * n = n * 1 = n)
- (N,+) ha come el neutro 0 (Z,+) e (Q,+)
- (N,×) ha come el neutro 1 (Z,×) e (Q,×)
OSSERVAZIONE
Gli elementi di N, Z, Q sono INVERTIBILI?
- (N, -): 1 è l'unico elemento invertibile
- (Z, +): ±1 sono gli unici elementi invertibili
- (Q, ×): ogni elemento ≠ 0 è invertibile (inverso di m/n è n/m)
Quanto vale l'ipotenusa di un triangolo rett. isoscele con cateti di 1?
N, Z, Q, R
R = { numeri reali }
(R, + ) elemento neutro 0
(R, · ) elemento neutro 1
DEFINIZIONE
CAMPO
Un campo è un terna ( IK, +K, ·K ) dove IK è un insieme
dotato di due operazioni +K, ·K dette somma e prodotto t.c.
i) +K ·K sono COMMUTATIVE e ASSOCIATIVE
ii) ·K è distributiva rispetto a +K
iii) IK contiene l'elemento neutro rispetto a +K, 0K
iv) ogni elemento deve avere un opposto
∀a ∈ IK ∃ a− t.c. a +K a− = 0K
v) ogni elemento ≠0 deve avere un inverso
∀a ∈ IK a ≠0 ∃ 1/a t.c. aK.1/a = 1K
- Qual è la soluzione dell' eq. ? x2 = 0?
x2 = –1 x = √–A ∉ R
IL CAMPO DEI NUMERI COMPLESSI
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C
- Introduciamo il simbolo i, 2i
i2 = –1
i ∉ R
DEFINIZIONE
i si chiama UNITÀ IMMAGINARIA
DEFINIZIONE
C = { a + ib t.c. a, b ∈ R }
Un elemento z ∈ C si chiama NUMERO COMPLESSO
PRODOTTO
z₁ ∙ z₂ = (a₁ + ib₁)(a₂ + ib₂)
= a₁a₂ - b₁b₂ + i(a₂b₁ + a₁b₂)
- Valgono le proprietà ASSOCIATIVA e COMMUTATIVA
- Esiste l'elemento NEUTRO 1 ∙ i0 = 1ℂ
- ∀ z ≠ 0 Ǝ l'INVERSO
z = a + ibw = c + id
zw = 1 ⇔ (a + ib)(c + id) = 1 ⇔
ac - bd + i(ad + bc) = 1 + i0
{ ac - bd = 1 *
ad + bc = 0 ** }
oss a² + b² ≠ 0 ⇔ (a, b) ≠ (0, 0)
- se b ≠ 0 d ≠ 0 ⇒ z ∈ ℝ Ǝ w = 1/z t.c. z ∙ w = 1
- se b ≠ 0 da ** ⇒ c = -bd/a
Sostituendo in *
d(-a²-b²/b) = 1 ⇒ d = -b/a²+b²
c = a/b t 1/a2+b2 = a/a²+b²
w = a/a²+b² + i( -b/a²+b² )
NOTAZIONE:
L'inverso di un numero z (≠0) si indica con z⁻¹
Calcolare la forma trigonometrica di
d. z1 = -1i, z2 = -i
β = |z1| = \(\sqrt{(-1)^2 + 1^2}\) = \(\sqrt{2}\)
Q1 = arcos \(\sqrt{2}\cos Q\sub>1\) tg Q1 = -1Q = \(\frac{\pi}{4} + 2k\pi\)
β = \|z2| = \(\sqrt{(-1)^2 + 0^2}\) = 1i = indeterminate
z
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