Appunti di Geometria (algebra lineare)

Appunti di geometria

Sistemi lineari

Un sistema lineare omogeneo si può sempre risolvere e le sue soluzioni sono un sottospazio vettoriale di R…

Il sistema è compatibile se e solo se una combinazione lineare delle colonne (A…A) dà la colonna dei termini noti B. Cioè:

B è combinazione lineare di A…A. Ovviamente, per controllare che B sia combinazione lineare di A…A, mi basterà controllare che lo sia tra i q vettori linearmente indipendenti di A…A (poiché essi formano una base: BASE = sistema di generatori minimale, cioè formato da vettori linearmente indipendenti).

Da questo ne deriva il teorema di Rouché-Cappelli il quale afferma che: "Un sistema è compatibile se e solo se il rango della matrice completa (A|B) è uguale al rango della matrice dei coefficienti (A)". Questo esprime esattamente il concetto spiegato sopra (B deve essere combinazione lineare delle colonne A…A).

Le soluzioni di un generico sistema lineare sono date da: SOLUZIONI PARTICOLARI + SOLUZIONI DEL SLO ASSOCIATO (SLO = sistema lineare omogeneo)

Intersezione tra spazi vettoriali

Per calcolare l'intersezione tra due spazi vettoriali (U & W) posso:

• Trovare una base per U e una per W.
• Prendere un vettore v appartenente all'intersezione, che di conseguenza può essere scritto come combinazione lineare di entrambe le basi.
• Imporre che i vettori della base di W siano soluzione del SL di U.

Matrice a gradini

Una matrice si dice a gradini se:

• Il primo elemento non nullo, se c’è, è 1.
• Sopra ad ogni pivot, le entrate sono tutte nulle.
• Il primo elemento non nullo della (i+1)-esima riga è a destra del primo elemento non nullo dell’i-esima riga.

Se il sistema è compatibile, posso dare a ogni indeterminata che non corrisponde alle colonne dei pivot i valori che voglio (parametri liberi). Una volta fissati i parametri liberi, le indeterminate corrispondenti ai pivot sono univocamente determinate.

La parte evidenziata (che corrisponde all’ultima entrata della matrice dei coefficienti e all’ultima di quella dei termini noti) è importante: infatti, se l’ultima parte è tutta formata da zeri o manca, il sistema è compatibile; altrimenti no. Per esempio, se mi trovo in questa situazione, il sistema non è compatibile: (ultima riga) → 0 0 0 | 15.

La dimensione dello spazio delle soluzioni di un sistema lineare è data dal numero di pivot. A loro volta, il numero di pivot è dato dalla differenza tra il numero delle incognite e il numero dei parametri liberi (dimensione spazio soluzioni sistema lineare omogeneo):

Un SLO ammette SOLO la soluzione banale (x=0). Le colonne della matrice sono linearmente indipendenti.

Applicazioni lineari

Definizione: Un’applicazione è un criterio che associa ad ogni elemento del dominio un elemento del codominio. Un’applicazione f: U → V si dice lineare se:

• Per ogni u, v appartenenti a U, f(u + v) = f(u) + f(v).
• Per ogni u appartenente a U e per ogni c appartenente a ℝ, f(cu) = c f(u).

Ci sono delle conseguenze dirette della linearità delle applicazioni lineari:

• f(0) = 0. Infatti, fissato un arbitrario 0, f(0) = f(0 u) = f(u) = 0.
• f(-u) = -f(u). Infatti, fissato un arbitrario f(-u) = f(-1 u) = -f(u).

Se f: U → V è lineare, restano definiti due sottospazi vettoriali:

• Ker(f) = {u ∈ U | f(u) = 0}. Il nucleo di f, sottospazio vettoriale di U.
• Im(f) = {v ∈ V | esiste u ∈ U tale che f(u) = v} oppure im(f) = {f(u) | u ∈ U}. L’immagine di f, sottospazio di V.

f è suriettiva quando: ∀v ∈ V ∃u ∈ U tale che f(u) = v.

f è iniettiva quando: ∀u₁, u₂ ∈ U, se f(u₁) = f(u₂), allora u₁ = u₂. Perché sennò avrei che un altro vettore, oltre al vettore nullo, va in 0.

f è biettiva quando è sia suriettiva che iniettiva.

L’immagine di una matrice (che rappresenta un’applicazione lineare) è generata dalle colonne. Il nucleo può essere interpretato come l’insieme delle soluzioni del sistema lineare omogeneo associato.

Teorema di determinazione di un'applicazione lineare

HP: U, V spazi vettoriali su ℝ, B = {u₁, …, uₙ}, W = {v₁, …, vₙ} basi arbitrariamente fissate.

TH: Esiste una ed una sola applicazione lineare f: U → V tale che f(uᵢ) = vᵢ per i = 1, …, n.

Proposizione

Se U, V sono spazi vettoriali su ℝ e f: U → V è lineare e biettiva, allora:

• dim(U) = dim(V) - 1
• f⁻¹: V → U è ben definita

La matrice di cambiamento di base fa alle coordinate dei vettori ciò che l’applicazione fa ai vettori stessi.

Matrice di cambiamento di base

Se l'esercizio mi richiede di controllare se esiste un'applicazione lineare con determinate caratteristiche, devo calcolare la f degli elementi del dominio; in questo modo, ad ogni elemento del dominio è associato uno ed uno solo elemento del codominio.

Per trovare le dimensioni dell’intersezione e della somma di due sottospazi posso costruire una matrice contenente come vettori colonna tutti i vettori della base del primo e del secondo sottospazio. Il rango di questa matrice sarà la dimensione della somma tra i due sottospazi. Calcolata questa, tramite la formula di Grassman, posso trovare l’intersezione.

Teorema di dimensione di un’applicazione lineare

Il teorema di dimensione di un'applicazione lineare dice che la dimensione del dominio di un'applicazione lineare è uguale alla somma della dimensione del nucleo e della dimensione dell'immagine dell'applicazione stessa.