Appunti di Geometria (algebra lineare)

Se l'esercizio mi richiede di controllare se esiste un'applicazione lineare con determinate caratteristiche devo

calcolarmi la f degli elementi del dominio, in questo modo ho che ad ogni elemento del dominio è associato uno

ed uno solo elemento del codominio.

Per trovare le dimensioni dell’intersezione e della somma di due sottospazi posso costruire una matrice contente

come vettori colonna tutti i vettori della base del primo e del secondo sottospazio. Il rango di questa matrice sarà la

dimensione della somma tra i due sottospazi. Calcolata questa tramite la formula di Grassman posso trovare

l’intersezione.

Teorema di dimensione di un’applicazione lineare

Il teorema di dimensione di un'applicazione lineare dice che la dimensione del dominio di un'applicazione lineare è la

somma tra la dimensione del nucleo e la dimensione dell'immagine.

OSS.

Notare che la matrice associata ad un'applicazione lineare la posso sempre rappresentare così: 6

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PROCESSO DI ORTOGONALIZZAZIONE DI GRAM-SCHIDT

Questo processo ci dice che posso normalizzare i vettori v e v , facendoli diventare versori e posso

1 2 2

Trovare dei vettori ortogonali tra loro che generano lo stesso sottospazio (ovviamente in R viene subito in mente la

base canonica per esempio).

I versori da calcolare saranno del tipo visto sopra.

Dunque mi costruisco i miei versori ortogonali tra loro che generano lo stesso spazio. Ho ortogonalizzato la mia base

iniziale formata da v ….v

1 n. 8

⇒

1. Se A ha una riga nulla det(A)=0 ⇒

2. Sommando a una riga un multiplo di un’altra det(A) non cambia

⇒

3. Scambiando due righe tra loro det(A) cambia il segno

σ

⇒

4. Se A è in scala det(A)= (-1) det(A) σ=n° di scambi di righe

⇒

5. Se le righe di A sono linearmente dipendenti det(A)=0

6. det (…,λA ,…)=λdet(…,A ,…)

i j

7. det(…,A’ +A’’ ,…)=det(…,A’ ,…)+det(…,A’’ ,…)

i ii i i

8. det(I )=1

n T

⇒det(A

9. Se A∈M (ℝ) )=det(A)

n,n

⇒

10. Binet det (AB)=det(A)det(B)

1

-1

11. det(A )= det

(