Appunti di Fondamenti di algebra lineare e geometria sulla diagonalizzabilità

TROVARE DIAGONALE

è da

avereuna base composta autovettori

EV

Se te Ite e

I lek

LI de qualche

per

di L

dica

allora E si AUTOVETTORE e

L

di

dice associato I

si a

AUTOVALORE

prete

Teorema

Va

L din Un

Un n cos

endomorfismo Vk da

di B di interamente

base

è formata

una

diagonalizzabile Itipraphiata

dimostrare

l'enunciata

Riformuliamo

Sia Un Un

di

Va

L un

Prop endomorfismo sia

cos e

Uk

B di

base

In

I una

__

Allora

AI di L

è autovettore

è j 1 n

diagonale

Dim È

hp ACB Kiti

o

aij

diagande

tesi k

certo

di dj

e no

Ij un e

Ej per

p

e 15

e

AIB

le di

So A

colonne

che yep

esattamente

sono Itainae B

vi rispetto

a Iii e p

B In

I

an

ltie tajj.fi ansie

jftayft e

l'unico alla

nullo

elemento è

hp è

non per agj.it diagonale

di L

LI è autovettore

f

Ajj vi autovalore

che è

con ajj

dj

di L

hp Lj dirti

autovettore

è cioè qualche

per

ogni k

dj Kj 1 n

e

AI

tesi è diagonale

hai

L Sappiamo YLE

ALBB

le

donne

cui

colonnesono

di

dalle Lei

c oordinate Fina di B

B delle

alla coordinate Lei

base a

rispetto

rispetto dalla teoria

arriva

Yaj Ly anj.in

aged

aye ajj

__ Lei dj

dall dire che j

hip

anj posso di 7

In

Ist ArjIr Ani

Ajjitj

t

Aij

Quindi ai di Ij

t

A tare t anj.in

p B lind

tn base

I è

perché

Lyj ti

esiquat.mil

tIIe la 1

i

fatta con

colonna

prima via

e così

costruzione jen

fino a

per 1 0

0

ABB È cioè ABB è diagonale

ii

i

ii.ie di

dalla

Nella di

anziché

autovalori

pratica partire ricerca

conviene

autovettori d

è

nella molto

pratica difficile vett meglio

7th.az

Motivo 1,14 V4

L din

Va

Sia Un

Prop un n

endomorfismo i a

K

di

Sia Un

B base e

una sia

1

Allora ABB

L

di 1

dat In

è autovalore o

un le di IFniodigànin

basta

Per

trovare radici

mi

autovalori un

gli cercare i

i

di nella variabile

n

polinomio guado detto caratterista

gli trovare

che polinomia

autovalori

si

dopo avranno

è

gli autovettori

Infierai facile

tra

diviso solo

c

e ma Le

dL XE

III KEItc

autovalore

è i

L.ae

un 1 dI

RBLE

Richiami NE

V NEI

te

Ite

le

È

di dimn

vettoriale

sp XnIn

I MI

il

V K tenethet axn.vn

in a

a

www.n.E tl

Xx I

dX PEr

e E jeeV eta te Le

É te il

allora delle sarà

colonna

vettore coordinate

AI Ya L p

V

I E B

delle di

coordinate

vettore colonna 1 rispetto a

e VB

L

EI B

B Un

In

I ne

ne

te ne

se

affhi qui yuan ghe

È Io

II L

VB B

v p

CHE

QUINDI SCRIVERE

INVECE Yen

Yee

AIB X per

le fato

con il

indichiamo proprio sottolineare

la en X.at Xia

Ita Qnx due

tutti

anziché colonna

E vettori

sono e

scrivere e

scrivere l'uguagliata

mantengo

posso

che

Sappiamo ABB Yle B B

se la

AIB X Xie che

mi

XI accorgo

Et ATB XXI

EV en a punt

questo

pietificità L

p

Ieri te IIII sig

riscriverla

AIB XX

AEI t.tn X Qnx

1 In e

K Qua

Qua

e TEEan

7

tn

LE due

Ora ci casi

essere

possono ha

IIn II

il

AIB

La

1 Qnx

sistema

allora

invertibile ABB

è omogeneo

ha la nulla

solo di

soluzione Cramer

AIn

2 AIB IIn

dat

Esiste nella

soluzione ABB

è invertibile o

e

una quindi

non

non AIB

dot

il In

Scrivo

sitrovano

Come autovalori

gli tiIttaitio

FI

Ennn

fatti

i

Valgono seguenti

AIn di K

ARB

dit

1 è in

conf

polinomio a

un n

grado

AIB

H

2 Pc IIn L

di

det dice caratteristico

si polinomio

3 da

Pelt B

dipende

non