Appunti completi del corso "Meccanica Applicata alle Macchine"

Meccanica: basi teoriche e leggi per modellare i sistemi meccanici

Macchina: è un "sistema meccanico" che utilizza energia per svolgere diversi compiti

Due classi di problemi:

Cinematica

Geometria del Movimento (in conformità ai vincoli)

Scrivere la cinematica per un sistema di corpi rigidi significa esprimere le "condizioni di vincolo".

Dinamica

Effetti di movimento di un sistema meccanico dovuti alle azioni (forze)

Forze Sistema Meccanico Movimento

Modellazione di un sistema meccanico

Sistema Fisico Reale

Semplificazione

Sistema Fisico Ideale

Modello Matematico

Ci sono due metodi:

- Analisi: si parte dai dati e da un sistema noto, e si simula il

sistema meccanico.

- Sintesi: conoscendo le prestazioni(quindi la prestazione imposta),

si costruisce il modello a parametri ottimizzati ad hoc.

Si utilizza un determinato modello e si utilizzano delle ipotesi come

dati, poi si confronta la prestazione ottenuta con la prestazione

imposta e si ottiene un Δ prestazioni, a questo punto attraverso

l'ottimizzazione si ottiene un Δ parametri, quindi si modificano le

ipotesi, fino a che il Δ prestazioni è abbastanza piccolo, in questo

modo si trovano i "parametri ottimizzati". Cinematica

Si fornisce una METRICA

- Spazio:

La metrica che viene fornita è la "lunghezza",

che descrive lo spazio.

Sistema di Riferimento Cartesiano: è lo Spazio

- Tempo:

Metrica: usiamo il tempo "normale" o "assoluto", che è proporzionale all'angolo di rotazione terrestre.

Gli "eventi" sono l'evoluzione dell'universo osservato.

La cinematica studia l'evoluzione di questi eventi.

Il "movimento" è lo studio dell'evoluzione delle

osservazioni al variare del tempo. Leggi di Moto

Il "movimento" sono le leggi di moto descritte dall'osservatore per il punto in questione.

Ci possono essere osservatori distinti in moto relativo l'uno rispetto all'altro.

Strumenti: - subordinate a un verso(può essere positivo o negativo)

- Quantità scalari: - sono numeri reali dotati di segno

- dotate di unità di misura

La misura di distanza dall'origine lungo un percorso si chiama "ascissa curvilinea".

- subordinate a una direzione orientata(da A a B)

- Quantità vettoriali: - hanno un modulo, maggiore di zero

- dotate di unità di misura

La direzione orientata viene fornita dai "versori".

- Posizione di un punto: L'informazione della "traiettoria" è data da:

- Velocità: - Accelerazione:

Velocità Se il Δt è abbastanza piccolo, la secante ΔP si andrà a confondere

con l'arco, e quindi il vettore velocità diventerà tangente. versore tangente

Indica di quanto cambia nell'unità di tempo la

misura della distanza di P dall'origine, quindi è la

misura dell'arco percorso nell'unità di tempo.

direzione modulo Cioè è la misura della "velocità locale".

Accelerazione indica quanto sta cambiando il indica come sta cambiando

modulo della velocità la direzione della velocità

(può essere anche negativa,

quando si decelera)

sono versori tangenti Nel disegno in scala corretto i due versori partono

dallo stesso punto, perché il ds è infinitesimo.

L'angolo di cui sono separati i versori, è anche l'angolo di apertura dell'arco ds,

ovvero l'angolo di cui sono separati i raggi degli estremi dell'arco.

In prima approssimazione la traiettoria può

I due versori individuano un "piano osculatore", essere associata ad una circonferenza:

sul quale giace la traiettoria Δs. "raggio di curvatura"

Sul piano individuato dai due versori, viene individuata anche un'unica

direzione normale, cioè tangente ad entrambi.

Scriviamo l'approssimazione di Taylor del versore incrementato:

Taylor:

Ecco che compare il termine che stavamo cercando, che è la differenza tra i due versori.

Questa congiungente tra i due versori è perpendicolare a entrambi.

Questo vettore inoltre:

- è diretto come la normale alla traiettoria

- ha lunghezza dθ, perché è come se fosse la lunghezza dell'arco formato dai due versori,

quindi dovrebbe essere: ds = ρ•dθ, dove però ρ = 1 essendo dei versori

Quindi la lunghezza di questo vettore è:

accelerazione accelerazione

tangenziale normale Grafico Riassuntivo

Terna Intrinseca

La conoscenza di P = P(s) definisce una terna intrinseca:

Tangente:

Normale:

Binormale:

Se conosciamo le coordinate in funzione del tempo, possiamo calcolare posizione, velocità e accelerazione

utilizzando queste formule, senza fare tutta la trattazione precedente:

Notazione Complessa - (solo nel piano) Vettore nel piano cartesiano

Tutte le operazioni lineari sono uguali nel campo dei complessi, Numero complesso nel piano di Gauss

ecco perché possiamo fare questa analogia. anomalia

modulo

Velocità moltiplicare per i un numero complesso,

vuol dire aggiungere π/2 alla fase

modulo

direzione inclinato di π/2

orientato come il vettore iniziale

Accelerazione ci sono i moduli perché dα può anche essere < 0

versore tangente

Esercizio

C'è una guida rettilinea che ruota,

sulla quale si muove una pallina. Per l'osservatore relativo, il moto della

oss. relativo pallina è un semplice moto rettilineo.

oss. assoluto Velocità Assoluta = Velocità Relativa + Velocità di Trascinamento

velocità che il punto avrebbe nel caso in cui fosse solidale

misurata dall'osservatore relativo all'osservatore relativo, vista dall'osservatore fisso

oss. relativo

oss. assoluto Accelerazione Assoluta = Accelerazione Relativa + Accelerazione di Trascinamento + Accelerazione Coriolis

c'è se l'osservatore mobile è un osservatore rotante

misurata dall'osservatore relativo

accelerazione che il punto avrebbe se fosse solidale al

sistema di riferimento relativo vista dall'osservatore fisso

Accelerazione di Coriolis velocità relativa rispetto all'osservatore mobile

oss. relativo oss. assoluto velocità angolare dell'osservatore mobile

Cinematica del Corpo Rigido

Un corpo è un insieme di punti.

Posizione: (legge di moto)

Movimento:

Spostamento:

L'ipotesi che il corpo sia un "corpo rigido" permette di avere tante funzioni quanti sono i gradi di libertà del corpo nello spazio.

Gradi di libertà: angoli di Eulero

Quindi ci saranno al massimo 6 funzioni che descrivono posizione, movimento e spostamento del corpo rigido.

(Nel piano le cose si semplificano, i GdL sono solo 3)

Uno spostamento è rigido se esiste un nuovo sistema di riferimento che legge le coordinate dei nuovi punti

con gli stessi valori delle condizioni iniziali.

Consideriamo come esempio solo il punto A:

traslazione dell'origine rotazione (3x3)

Un corpo è rigido se può subire solo spostamenti rigidi

Proprietà del corpo rigido:

- conservazione delle "figure geometriche"

- conservazione delle "lunghezze" dei segmenti

- conservazione degli "angoli" tra i segmenti

Quanti parametri bisogna fornire per definire lo spostamento del tetraedro?

Apparentemente sono 9, ovvero le coordinate dei 3 nuovi vertici:

Ma le relazioni che legano queste coordinate non sono indipendenti: le 3 equazioni

I parametri realmente indipendenti sono 6.

Lo si può vedere anche nel metodo della trasformazione in coordinate:

Dovrei dare le 3 coordinate dell'origine del sistema 1 letto dal sistema 2 + i 9 coseni direttori della matrice trasformazione.

(i coseni direttori di un sistema di riferimento vengono visti attraverso i coseni direttori dell'altro sistema)

Anche in questo caso i 9 numeri dovuti ai coseni direttori non sono indipendenti perché ci sono:

(i versori sono tra loro ortogonali, quindi il

- 3 Relazioni di Ortogonalità: i versori sono tra loro ortogonali prodotto scalare di due, vale 0)

- 3 Relazioni di Modulo Unitario: (i versori hanno modulo 1, quindi il prodotto

vettoriale di un vettore per se stesso vale 1)

Quindi nuovamente i parametri sono 6. Relazioni di Ortogonalità: i versori sono tra loro ortogonali, quindi il prodotto

Quindi possiamo notare come dei 6 GdL: vettoriale di due, darà come risultato il terzo.

- 3 GdL sono di "traslazione" Relazioni di Modulo Unitario: i versori hanno modulo 1, quindi anche il prodotto

- 3 GdL sono di "rotazione" vettoriale tra due versori, essendo il terzo versore, deve avere modulo 1.

Nel Piano

Uno spostamento è piano nel caso in cui esiste un piano tale che lo spostamento di ogni punto sia parallelo a questo piano

Nel piano i gradi di libertà sono 3.

traccia (permette di individuare le variazioni dell'angolo rispetto agli assi)

Conoscendo le coordinate di A, e la traccia, siamo in grado di

individuare la nuova posizione del corpo.

Volendo si possono utilizzare anche le considerazioni precedenti, aggiungendo la condizione che la quota z dei punti è costante.

In questo modo si hanno tre nuove relazioni, quindi 6 - 3 = 3

Movimento Traslatorio

Un movimento è traslatorio se tutti i punti del corpo rigido hanno esattamente lo stesso spostamento,

e descrivono esattamente la stessa traiettoria.

La traccia rimane sempre parallela a se stessa, e gli spostamenti di tutti i punti sono paralleli fra loro.

Movimento Rotatorio

Un movimento è rotatorio se esiste un asse di rotazione fisso.

Se c'è: - 1 punto fisso: allora l'asse fisso passa per quel punto, ma non se ne conosce la direzione (nello spazio).

- 2 punti fissi: allora l'asse fisso passa per quei punti due punti (nello spazio)

Si può osservare se un corpo ruota se l'angolo tra una traccia e un riferimento fisso cambia.

I punti non ruotano, ma descrivono traiettorie circolari attorno all'asse fisso, solo i corpi estesi ruotano.

Movimento Roto-Traslatorio

È il movimento più generico, in genere un movimento è sempre roto-traslatorio a meno che non sia limitato.

Non esiste un asse fisso. Per arrivare alla posizione finale si può agire in infiniti

modi equivalenti, ma tutti con la stessa rotazione φ.

I vettori spostamento sono tutti diversi.

Per ogni spostamento esiste un asse, detto "asse del mozzi", tale che se si sceglie un punto M appartenente a tale asse,

e che quindi si muove rigidamente insieme al corpo rigido, lo spostamento può essere scritto come una traslazione che ha

vettore parallelo al vettore rotazione del corpo rigido, quindi lo spostamento ha la stessa direzione dell'asse di rotazione.

Quindi lo spostamento nello spazio è sempre "elicoidale", il cui asse è l'asse del mozzi.

(Generalmente questo asse è esterno al corpo, quindi non ci si accorge che è elicoidale)

Luogo dei punti che hanno velocità parallela alla velocità angolare ω

"Atto di moto" del corpo rigido: totalità degli spostamenti infinitesimi che ha un corpo rigido.

"Atto di moto": insieme delle velocità dei punti del sistema nell'istante considerato

Il "campo di velocità" è identico al "campo di spostamento infinitesimo" ( = atto di moto), ma è scalato di uno scalare dt.

Teorema fondamentale

È indifferente l'ordine di una sequenza di spostamenti infinitesimi

Anche lo spostamento infinitesimo è rototraslatorio.

Quindi l'atto di moto rigido è rototraslatorio, e non ha importanza l'ordine dei movimenti.

vale solo per gli infinitesimi, non vale nel finito

velocità angolare

Se conosco la velocità di un punto, e la velocità angolare del corpo rigido, posso calcolare la velocità di un punto P del corpo:

L'atto di moto del corpo rigido rappresenta la distribuzione di velocità di un qualunque punto appartenente al corpo rigido,

a partire dalla conoscenza della velocità di un punto e della velocità angolare.

Nel piano Si può trovare la V con la stessa formula conoscendo V e ω:

A

B

La proiezione lungo la direzione AB, del vettore V e del vettore V , è identica

A B

Questo ci dice che le velocità del punto A e del punto B sono uguali, quindi che il segmento AB non si allunga,

come è giusto che sia dato che il corpo è rigido.

Tracciando la retta ortogonale a V e quella ortogonale a V , esse si incontrano in un punto detto "centro di istantanea rotazione",

A B

che è un punto che nell'atto di moto, quindi in quell'istante, ha velocità nulla.

Campo di velocità triangolare: Il CIR è all'infinito, perché due rette parallele all'infinito si incontrano.

Il corpo sta traslando.

Anche in questo caso le due velocità sono parallele, ma i punti

sono allineati lungo la stessa retta, quindi non individuano un CIR.

Accelerazione

Se conosco l'accelerazione di un punto, e la velocità angolare del corpo rigido, posso calcolare l'accelerazione di un punto P del corpo:

(distribuzione delle accelerazioni del corpo rigido nello spazio) Nel piano però ω e ω hanno la stessa direzione,

sono entrambi diretti come il versore k.

Disco che Rotola

In un disco che rotola senza strisciare, il punto di contatto è il CIR.

Velocità di un punto B sul disco:

Accelerazione di un punto B sul disco: Il CIR non è un punto fermo

Se la guida è rettilinea, la traiettoria del centro del disco è rettilinea. È un punto che in un istante particolare ha velocità nulla,

Moto del centro: ma ha accelerazione sempre diversa da zero.

Accelerazione del punto di contatto:

Supponiamo che la velocità angolare sia costante, quindi con accelerazione angolare nulla:

Anche nel caso in cui l'accelerazione angolare sia diversa da zero, il risultato sarebbe lo stesso:

Luogo del CIR Il profilo del disco e il profilo della guida sono il luogo dei CIR:

Base: luogo dei CIR descritto dall'osservatore assoluto (guida)

Rulletta: luogo dei CIR descritto dall'osservatore mobile (disco)

In generale: il movimento relativo in grande di due corpi rigidi che si muovono nel piano può

essere sempre rappresentato come il rotolamento senza strisciamento della rulletta sulla base.

Dischi di Frizione tangente In questo caso il punto P1 e il punto P2 sono dotati di una velocità,

quindi il punto di contatto in questo caso non è il CIR.

Nel punto di contatto:

Il movimento è un rotolamento senza strisciamento delle due ruote

una sull'altra, e nel punto di contatto la velocità è identica

Rapporto di trasmissione:

Cerchiamo adesso il CIR, fissiamo due sistemi relativi su entrambe le ruote:

Osserviamo dal punto di vista della ruota 1:

Il punto P1 è fermo, e siccome il punto P2 deve avere la sua stessa

velocità, anche il punto P2 fermo.

Ma questo significa che il punto P2 è diventato il CIR della ruota 2, nel

suo moto rispetto alla ruota 1.

Allo stesso modo possiamo dire che il punto P1 è il CIR della ruota 1 nel

suo moto rispetto alla ruota 2.

Il punto P1 = P2 viene chiamato:

"Centro di Istantanea Rotazione del moto Relativo"

L'osservatore solidale alla ruota 1 descrive come luogo geometrico del CIR il profilo della ruota 1.

L'osservatore solidale alla ruota 2 descrive come luogo geometrico del CIR il profilo della ruota 2.

L'osservatore assoluto individua due CIR: O1 per il disco 1, e O2 per il disco 2, per ogni istante.

L'osservatore assoluto individua come luogo geometrico del CIRR il punto di contatto.

Centro delle accelerazioni

Esiste un punto dove l'accelerazione è nulla?

Sì, e nel caso del disco che si muove con velocità angolare costante è il centro O:

Vediamo ora il caso in cui l'accelerazione angolare è diversa da 0:

La somma dei vettori, quindi delle componenti dell'accelerazione, è nulla.

Significato fisico centro accelerazioni:

Esiste un punto che se pensato appartenete al copro rigido, ha accelerazione nulla.

Così come il centro di velocità era un punto che se pensato appartenete al corpo rigido,

ha velocità nulla.

Se il corpo sta traslando, anche il centro delle accelerazioni è all'infinito.

CIR (Centro delle Velocità) Ca (Centro delle accelerazioni)

Non sono lo stesso punto

Vediamo la costruzione del centro delle accelerazioni:

per fare in modo che a sia nulla, a

B BA

deve essere uguale a a , e quindi gli

A

angoli devono essere tali che: scelto l'angolo, ora lungo la retta dei vettori,

andrò a scegliere quello con la lunghezza giusta

Notazione Complessa L'informazione che il corpo è rigido sta nelle derivata,

se il corpo è rigido infatti la derivata di AB è 0.

Moti Relativi L'espressione della rotazione dei versori del sistema di riferimento 2

rispetto al sistema di riferimento 1, si può notare facendo la derivata.

Derivata:

Derivata:

Derivate dei Versori

Vediamo come il sistema 1 vede cambiare il versore u1(2): Se il sistema di riferimento relativo trasla, ogni suo punto ha la

stessa velocità.

In questo caso ω vale 0, quindi la derivata del vettore è 0, ma non

Relazione di Poisson: vuol dire che la velocità del vettore è nulla, e questo lo si vede dal

fatto che la derivata del vettore è VB - V0, quindi il fatto che sia

nulla significa semplicemente che ΔV = 0

Adesso facciamo la derivata della differenza di vettori precedente:

spesso si omettono i simboli di sommatoria Σ perché i versori del sistema 2

sono dipendenti dal tempo

velocità relativa di P

velocità di trascinamento di P

(rototraslazione del corpo rigido)<