Appunti completi del Corso "Analisi e geometria 2"

Funzioni del tipo: curva funzioni coordinate derivabile

Si può definire la matrice jacobiana di funzione coordinata numero rispetto alla variabile.

Il caso in cui l'insieme di partenza e l'insieme d'arrivo coincidono, capita quando abbiamo un "cambio coordinate".

Una funzione è iniettiva (cioè ha rango massimo sui punti interni) se i punti interni hanno come immagine punti interni.

Una funzione è invertibile se è invertibile in ogni punto aperto.

Quali sono i punti in cui la jacabiana ha rango 2? ρ deve essere diverso da 0, quindi l'origine è un punto in cui si perde l'invertibilità della funzione.

Per essere iniettiva, la funzione deve essere definita in questo insieme: Coordinate polari in Coordinate cilindriche Coordinate sferiche caso del "cambio coordinate" Coordinate cartesiane piano euclideo 1° fascio 2° fascio.

Presi due fasci di rette parallele, e preso un punto, esiste solo una retta del primo fascio e una sola del secondo fascio.

delsecondo fascio, che se intersecate individuano il punto.Ora vado a parametrizzare le rette:I punti delle rette sono in corrispondenza biunivoca con i numeri reali,quindi ogni retta è associata ad un numero.Quindi quando prendo un punto, che è intersezione di due rette, vado a vedere il numero che corrisponde alle due rette, e queste sono quelle che chiamiamo coordinate.L'idea è:- due insiemi di curve che ricoprono il piano in due modi diversi,- il fatto che le due curve si intersecano in un punto,- il fatto che per questo punto, ogni retta corrisponde ad un numero.Coordinate polari: circonferenze concentriche semirette che escono dal polo che hanno il polo come centro. Per individuarne una si sceglie un certo angolo e un certo raggio. Non si può descrivere il polo, quindi il polo non ha coordinate, perché per il polo passano tutte le semirette.Esempio con le parabole: Al di fuori dell'origine e degli assi, non riesco

ad ottenere l'asse delle x

Non riesco ad ottenere l'asse delle y, riesco a individuare ogni punto

Come posso legare le coordinate cartesiane con quest altro sistema di riferimento?

visto che devo escludere gli assi, xDato e y saranno sempre diversi da 0

Dato origine sono identità Jacobiana di F valutata nei punti G di (a,b)

quindi abbiamo due matrici che moltiplicate danno la matrice identica, e questo ci dice che allora sono una l'inversa dell'altra.

funzioni incognite

Quindi in tutti i punti, meno gli assi, la jacobiana è diversa da zero e funziona come un buon sistema di riferimento.

E nello spazio?

Coordinate cilindriche: ρ Se fissiamo zθ Se fissiamo Se fissiamo

Coordinate sferiche: ρ θ Se fissiamo Se fissiamo θ.

Queste coordinate lavorano male sull'asse delle z, perché non riesco a determinare

Teorema della funzione implicita per Sia punto del dominio che ha come immagine lo 0

Supponiamo che Sottomatricie della jacobiana: e supponiamo

sono le ultime m colonne della jacobiana

Allora definita implicitamente da

continua uso il teorema appena enunciato

Quindi ho tre punti in cui non posso esplicitare y e z in funzione di x, perché lì la jacobiana cala di rango.

È l'unico punto che non può essere espresso con nessuna delle tre parametrizzazioni, è l'unico punto che fa calare di rango la jacobiana.

È l'unico punto in cui non riesco a esprimere la curva con il teorema delle funzioni implicite.

Viene chiamato: punto singolare

Se voglio scrivere questa parametrizzazione devo risolvere il sistema:

Si ottengono 4 pezzi di funzione: (curve parametrizzate)

iniettiva garantisce che il rango è massimo, visto che gli elementi della jacobiana sono dati proprio da questo vettore

curvatura

torsione

La jacobiana è la matrice di passaggio da t,n,b e i,j,k.

La matrice di passaggio da una base all'altra (entrambe ortonormali) si chiama matrice ortogonale.

Presa una curva, ci sono

tanti modi di parametrizzarla, l'ascissa curvilinea è la parametrizzazione intrinseca. ascissa curvilinea: invertibile Possiamo riparametrizzare la curva in funzione di s, perché l'ascissa curvilinea è invertibile, e la sua inversa è proprio t(s). Un cambio di variabili corrisponde a una funzione invertibile con derivata mai nulla, che mi permette di comporre F con t(s). il rango resta uguale perché sto moltiplicando una matrice per un numero positivo (superfici parametrizzate) iniettiva tangenti curve coordinate Vogliamo individuare il piano tangente alla superficie nel punto curva coordinata su ha vettore tangente: curva coordinata su ha vettore tangente: Le due colonne della jacobiana sono esattamente le componenti dei due vettori tangenti. Il punto P appartiene al piano tangente quando i vettori sono linearmente indipendenti. Dire che il punto P è sul piano, vuol dire che il prodotto misto dei tre vettori vale 0. Equazione del piano tangente a inCambio

di parametrizzazione per una superficie: curva coordinata su

Integrali Doppi

Suddividiamo il dominio in rettangoli

Definizione: misura di un rettangolo è un plurirettangolo se

Definizione: con rettangolo ( = privi di punti interni comuni a 2 a 2 ) ha misura

Posso prendere anche un plurirettangolo che contiene D, non solo che è contenuto come prima.

plurirettangolo

Definizione: Siano plurirettangoli se allora è misurabile e

Non tutti gli insiemi di sono misurabili. Appena prendo un rettangolo, esso contiene sia punti a coordinate razionali, che punti a coordinate irrazionali. Quindi nessun rettangolo è contenuto dentro D.

L'unico modo di prendere un plurirettangolo è di prendere un numero finito di punti che abbiano coordinate razionali, quindi prendere un rettangolo che si riduce ad un punto, ma questo ha misura 0.

Quindi la misura del plurirettangolo è 0.

Invece se prendo i plurirettangoli che contengono D, ottengo proprio l'area di D, e siccome il lato

delquadrato è 1, anche l'area è 1. Non è misurabile. Nessun punto di D è punto interno, perché preso un intorno di ogni punto, ci sono sia punti esterni che punti interni. In particolare ogni punto di D è di frontiera. Definizione: Sia limitato e misurabile sia partizione di in insiemi misurabili, a 2 a 2 privi di punti interni comuni, in numero finito. Sia e. Preso un insieme , si possono definire sia somma inferiore di Riemann sia somma superiore di Riemann sia Se partizione di partizione di allora è integrabile (secondo Riemann) su partizione di partizione di e Integrale doppio di f sul dominio D. Se è continua su , limitata e misurabile allora è integrabile su. Quindi come per le funzioni in una variabile, se è continua, allora è integrabile. Inf = 0, Sup = 1, quindi le somme inferiori valgono 0, e le somme superiori valgono 1 se ha coordinate razionali non integrabile se almeno una delle coordinate è.irrazionaleCalcolo di Integrali DoppiDefinizione: è x-normale (o normale rispetto all'asse x)SeSe , sono funzioni continue in conAllora è misurabileInoltre Integro due volte:una volta rispetto alla y, considerando la x come costante,e una volta rispetto alla x, considerando la y come costante.Definizione: è y-normale (o normale rispetto all'asse y)SeDefinizione: è regolare se è unione finita di domini x-normali o y-normali, limitati, misurabili, a 2 a 2 privi di punti interni comuni.Proprietà integrali doppiSe sono integrabili su e sianoSe con e limitati e misurabili, eè un dominio normale rispetto all'asse x, e anche e lo sonoInoltreQuindi spezzo l'integraleSeSe ( per funzioni ad un sola variabile )Sia continuaAllora ( per funzioni in più variabili )Sia continua con dominio limitato, misurabile e connessosuAllora L'area è 0 solo se ho un punto oun segmento, ma in questo caso L'integrale non

Rappresenta un'area.

Non è nessuno dei due.

L'area non può essere negativa.

L'integrale non rappresenta un'area.

L'integrale definito può essere usato per calcolare un'area solo se la funzione, oltre che continua, è anche positiva.

Se la funzione cambia segno, si fa la simmetrica.

Si possono usare integrali doppi per calcolare volumi?

Sì, a patto che il dominio sia normale rispetto all'asse z, quindi deve giacere sul piano xy.

Allora posso calcolare il volume.

Cilindroide:

Piramide:

Piano per i tre punti:

Per ottenere moltiplico tutto per altezza coefficiente per il volume della piramide area di base.

Così come nelle funzioni ad una variabile, se non è verificato, per calcolare il volume si passa al valore assoluto.

Supponiamo che in mentre in.

Volumi di figure comprese tra due funzioni in più variabili.

Vogliamo calcolare quanta materia c'è nel quadratino: densità di materia massa, cioè la somma di.

tutte le infinitesime quantità di materia dm

Ora vediamo nello spazio: Per trovare la massa ci serve un integrale che va bene per domini nello spazio e per funzioni in tre variabili

Integrali Tripli

La misura di questo parallelepipedo è:

Plurirettangolo è unione di un numero finito di rettangoli a due a due 2 a 2 privi di punti interni comuni

Sia limitato è misurabile se

Definizione: è integrabile su limitato e misurabile

see Integrale Triplo [ *pag 72* ]

vedi definizione per

Formule di riduzione per integrali tripli

Definizione: è z-normale se limitato e misurabile

e C'è anche un altro modo: limitato e misurabile con limitato e misurabile

Le proprietà degli integrali doppi valgono anche per gli integrali tripli

Le due semisfere

L'integrale viene 0 perché la funzione è simmetrica rispetto al piano xy, e quindi ad ogni punto della semisfera superiore, ne corrisponde uno uguale ma negativo nella semisfera inferiore.

cerchio

di centro e raggio nel piano

Le rette parallele all'asse delle z incontrano la figura nel piano xy e sulla superficie della sfera

Ora è rimasto un integrale doppio, prendiamolo normale rispetto all'asse x

Domini Ottimali per effettuare un'integrazione

Rettangoli con i lati paralleli agli assi

Se è a variabili separabili:

Quindi cercheremo di riportare ogni dominio a un dominio con i lati paralleli agli assi

Qual'è il modo per p