Appunti completi del Corso "Analisi e geometria 2"

Matrici

Da un punto di vista tipografico una matrice è una tabella di numeri disposti su righe e su colonne.

Tipo di una matrice: n. righe e n. colonne.

Posizione degli elementi: per numeri > 10.

Una matrice è una funzione campo generico.

Definizione: Siano.

Una matrice di tipo su è la funzione insieme dei punti del piano con solo i punti del 1° quadrante.

Definizione: Siano due matrici qualsiasi se: hanno lo stesso n. di righe e n. di colonne, cioè sono dello stesso tipo, cioè devono avere hanno entrate nello stesso campo lo stesso dominio tutte le matrici di tipo su.

Operazioni tra matrici

• Trasposizione.
• Somma.
• Prodotto numero x matrice.
• Prodotto matrice x matrice.

Trasposizione

Definizione: Sia una matrice su si chiama trasposta di la matrice di tipo i cui elementi sono su deve essere quadrata.

Definizione: Sia una matrice su è simmetrica se oppure.

La trasposta e la matrice iniziale sono uguali condizione di compatibilità.

Somma

Somma: devono essere dello stesso tipo, stesso dominio, stesso campo di arrivo.

Definizione: Siano.

La somma di e è di tipo i cui elementi sono.

Prodotto di un numero per una matrice

Definizione: Sia e sia.

La matrice, prodotto di per, è di tipo i cui elementi sono.

Definizione: La matrice nulla di tipo è ed i suoi elementi.

Definizione: Sia.

La sua opposta è e verifica se e solo se: condizione di compatibilità.

Prodotto tra matrici

Prodotto tra matrici: il numero di colonne della prima deve essere uguale al numero di righe della seconda.

Prodotto righe per colonne di matrice.

Definizione: Sia e sia.

Il prodotto righe x colonne di e, è di tipo ed i suoi elementi sono.

Proprietà

Proprietà associativa:

Proprietà commutativa:

Proprietà distributiva:

Proprietà associativa:

Proprietà distributiva:

NB: non vale la proprietà commutativa sul prodotto righe per colonne:

Definizione: Siano, cioè se vale la proprietà commutativa, sono permutabili se.

Le potenze di sono permutabili.

Non vale la legge di annullamento del prodotto, non è più necessario che uno dei due fattori sia una matrice nulla, perché non vale la proprietà commutativa.

Matrice identica

Prodotto righe per colonne.

Identica questo termine però può essere di tipo usato solo per matrici quadrate.

Si chiama matrice identica di ordine.

Definizione: se la matrice i cui elementi sono se.

Si può dire che una matrice identica ha valore 1 in corrispondenza della diagonale principale, 0 in tutte le altre posizioni.

Sia una matrice su, e siano, le matrici identiche di ordini e rispettivamente.

Allora è di tipo, come.

Stiamo dicendo che tutti questi termini valgono 0, tranne quello in posizione ii che vale 1 perché se è di tipo, come.

La matrice identica è l'elemento neutro della moltiplicazione righe per colonne.

Inversa di una matrice

Inversa una matrice inversa.

Definizione: Sia quadrata di ordine su la matrice è invertibile se.

In tale caso poniamo che prende il nome di inversa di.

Se è invertibile, l'inversa è unica.

Siano, matrici cioè entrambe verificano la condizione di invertibilità.

Quindi sono la stessa matrice.

La matrice è invertibile.

Inoltre.

Sia invertibile.

Allora è invertibile e definizione di matrice invertibile.

Siano invertibili, con inverse, rispettivamente.

Allora è invertibile con inversa.

In generale possiamo dire che AB può essere nullo anche se né A né B sono nulli.

Ma se A è invertibile?

Invertibile quindi vale la legge di annullamento del prodotto, ma solo se una delle due matrici è invertibile.

Determinante di una matrice

Il determinante esiste solo per le matrici quadrate.

Definizione: In una 2x2 il determinante è il prodotto degli elementi sulla diagonale principale, meno il prodotto degli altri elementi sto prendendo in considerazione solo la prima riga.

Cofattore dove dove è la matrice ottenuta da cancellando la riga e la colonna.

Come si può osservare questa definizione è iterativa.

Determinante e operazioni sulle matrici

Proprietà.

Trasposizione.

Sia.

Allora.

Prodotto per un numero.

Sia e sia.

Allora.

Prodotto righe per colonne.

Siano.

Allora.

Invece non c'è nessun legame tra la somma e il determinante.

Nella definizione di determinante si fissa la prima riga della matrice, ma in realtà si può usare la riga che si vuole, e si possono usare anche le colonne.

Sviluppo di Laplace del determinante.

Sia di ordine su per righe per colonne per per conviene scegliere la riga o la colonna con il maggior numero di 0, per semplificare i calcoli.

Definizione: Sia su.

Si chiama aggiunta classica di, la matrice i cui elementi sono.

Una matrice per essere invertibile deve avere il determinante diverso da 0.

Invertibile.

In tal caso.

Calcoliamo l'inversa: scelgo la terza colonna perché ha il maggior numero di zeri è invertibile.

Parte del teorema sulla "caratterizzazione delle matrici invertibili".

Quando abbiamo un teorema a doppia implicazione, Sia su bisogna dimostrarlo in entrambi i sensi è invertibile se, e solo se.

In tal caso invertibile.

Invertibile su visto che AĀ e I sono la stessa matrice, hanno lo stesso determinante.

Per ora assumiamo che sia vero.

Visto che il prodotto di questi due fattori fa 1, entrambi devono essere diversi da 0, in particolare a noi interessa che il determinante di A sia diverso da 0.

Invertibile.

Devo verificare questo: se se.

1ª e 3ª equazione del teorema di Laplace.

È uguale, ma stavolta uso la 2ª e la 4ª.

È una matrice che ha sulla diagonale principale det(A), 0 in tutte le altre posizioni.

Classi di matrici

Classi di matrici.

Definizione: Una matrice su è triangolare superiore se.

Definizione: Una matrice su è triangolare inferiore se.

Definizione: Una matrice su è diagonale se.

Non è richiesto che i valori nelle altre posizioni siano diversi da 0, quindi per esempio la matrice nulla è sia triangolare superiore, che inferiore che diagonale.

La trasposta di una matrice triangolare superiore, è una matrice triangolare inferiore.

Sia su.

Se è triangolare superiore è da questo teorema che ricaviamo il determinante di una matrice identica, che prima avevamo solo supposto.

Allora per induzione su sutriangolare superiore.

Si vuole capire se questo insieme è uguale a una matrice 1x1 è triangolare superiore.

Si parte dal primo elemento di: base d'induzione e e cioè suppongo che sia vera per ogni matrice quadrata di ordine n qualunque sia triangolare superiore.

Triangolare superiore uso Laplace prendendo l'ultima riga.

È sempre pari quindi quindi noi sappiamo che 1 appartiene ad E, e che se n appartiene a E, anche il successivo appartiene ad E.

Se questo ci porta a dire che E coincide con N.

Vale anche per le triangolari inferiori e per le diagonali.

Calcolo del determinante per ordini superiori.

Operazioni elementari sulle righe di una matrice

Operazioni elementari sulle righe di una matrice, vale anche per le colonne, servono per trasformare una matrice che non è triangolare superiore o inferiore, in una che lo sia.

Sia su.

Scambio di righe i-esima riga j-esima riga.

Prodotto di per i-esima riga.

Somma tra ed un multiplo di, i-esima riga.

Teorema di Binet teorema di Laplace.

Effettuando uno scambio di righe su una matrice identica, si ottiene una matrice che ha determinante uguale a -1.

Effettuando uno scambio di righe su una matrice quadrata, si ottiene una matrice che ha il determinante col segno opposto.

Teorema di Binet.

Teorema di Binet se triangolare superiore se triangolare inferiore.

Matrici ridotte e rango

Definizione: Sia su è ridotta per righe se su ogni riga non nulla esiste un elemento, chiamato elemento speciale della riga, al di sotto del quale tutti gli elementi sono nulli.

Sia su è ridotta per colonne se su ogni colonna non nulla esiste un elemento, chiamato elemento speciale della colonna, alla destra del quale tutti gli elementi sono nulli.

Una matrice ridotta per righe è la trasposta di una ridotta per colonne e viceversa.

Sia su con una successione finita di operazioni elementari sulle righe colonne è possibile trasformare in una matrice ridotta per righe colonne.

Ridotta.

Sia su e siano, su ridotte per righe colonne e ottenute da con operazioni elementari sulle righe colonne.

Allora e hanno lo stesso numero di righe colonne non nulle, cioè hanno lo stesso numero di elementi speciali.

Ora gli diamo un nome a questo numero.

Definizione: Sia su si chiama rango di, il numero di righe colonne non nulle di, ridotta per righe colonne ottenuta da con operazioni elementari sulle righe colonne.

Il rango è uguale sia se è calcolato sulle righe che sulle colonne.

Ce ne sono due, ma io devo prenderne uno solo visto che è l'ultima riga, basta che ne scelgo uno non nullo.

Questa matrice è ridotta per righe, e il suo rango è.

Questa riga non passa il controllo, perché nessun elemento ha al di sotto solo elementi nulli.

Questa matrice non è ridotta per righe, e quindi non possiamo conoscerne il rango.

Non c'è nessuna restrizione sulle righe nulle, quindi semplicemente la salto.

Questa matrice è ridotta per righe, e il suo rango è.

Riduzione per righe

Vediamo come trasformare una matrice non ridotta per righe, in una ridotta per righe.

Nella prima riga non c'è nessun elemento è speciale, quindi ne scelgo uno e devo riuscire a cancellare tutti quelli sotto.

In posizione 3 devo ottenere 0.

In generale: elemento da cancellare elemento speciale ora è ridotta per righe.

Il rango è 3, e questo ci dice anche che il rango della matrice prima e di quella iniziale è uguale a 3 perché ho utilizzato solo operazioni elementari di tipo 3 che non cambiano il determinante.

Uso il teorema di Laplace scegliendo la prima colonna: potevo anche calcolare direttamente il determinante, senza ridurre di nuovo la matrice.

Uso di nuovo Laplace adesso scegliendo l'ultima colonna:

Una matrice con righe uguali ha sempre determinante uguale a 0.

Questo metodo per trovare il determinante di una matrice tramite operazioni elementari si usa per matrici di ordini dal 4 in su.

È invertibile.

In pratica partendo da abbiamo eseguito delle operazioni elementari sia su che su, in modo da ridurre ad, così da avere come secondo fattore della moltiplicazione.

Matrice nulla.

È invertibile.

Cerco una matrice che moltiplicata per A mi dia la matrice identica.

Non posso semplicemente raccogliere la A, perché la somma di una matrice e un numero non ha senso.

Devo prima aggiungere la matrice identica al secondo membro, perché tanto il prodotto non cambia.

La matrice è invertibile.

È indipendente se viene aggiunta a destra o a sinistra.

Sia su.

L'unica matrice il cui rango è 0, è la matrice nulla.

Caratterizzazione delle matrici invertibili

Di caratterizzazione delle matrici invertibili.

Sia su.

Sono equivalenti: è invertibile quando si trasforma A nella matrice identica con operazioni elementari, la matrice identica ha rango uguale a n, quindi anche la matrice di partenza A deve avere rango uguale a n.

Sono equivalenti: è invertibile già dimostrato con il Teorema di Binet vedi pagina 11.

Teorema di Laplace.

Ridotta per righe.

Solo operazioni elementari di tipo 3.

Se, allora avrebbe una riga nulla ma questo è impossibile per ipotesi 2.

Per una matrice quadrata, dire che il suo determinante è diverso da 0, equivale a dire che il suo rango è massimo.

Perché con operazioni elementari sulle righe.

Equivale a fare questo: ognuna di queste matrici è invertibile, perché sappiamo che i loro determinanti hanno subito delle modifiche con le operazioni elementari rispetto al determinante di ma di sicuro saranno sempre diversi da 0, visto che il determinante di è diverso da 0, visto che il rango è massimo.

Teorema di Binet è invertibile.

È invertibile è invertibile e.

Quindi è l'inversa di, e questo ci permette di dire che è invertibile perché è inversa di una matrice invertibile.

Ma chi è B? quindi la matrice è la matrice una volta che viene trasformata con le stesse operazioni che si fanno per trasformare nella matrice.

Sistemi lineari

1 soluzione basta un parametro solo per descrivere una retta.

Qual è la posizione reciproca fra i due piani: nessuna soluzione.

Due soluzioni servono due parametri per descrivere un piano.

Questo sistema può essere scritto sotto forma di matrice.

Saranno sempre matrici con una sola colonna, e con un numero di righe uguale al numero di equazioni del sistema.

Per ottenere una 2x1 devo moltiplicarla per una matrice delle incognite matrice dei termini noti matrice dei coefficienti delle incognite ricaviamo ora il sistema a partire dalle matrici.

I sistemi lineari sono comodi perché permettono di trovare le soluzioni punto per punto delle equazioni differenziali se è abbastanza piccolo.

Approssimazione della derivata.

Visto che conosciamo la condizione iniziale, scegliendo arbitrariamente, siamo in grado di sapere quanto vale la funzione in.

Quindi è come se si creasse un sistema con tante incognite quanti sono i punti che vogliamo calcolare.

Sistemi lineari.

Matrice dei coefficienti delle incognite.

Matrice delle incognite.

Matrice dei termini noti.

Matrice completa.

Concatenate perché hanno lo stesso numero di righe.

Quando trovavamo l'inversa di una matrice in questo modo: in realtà stavamo risolvendo il seguente sistema lineare:

Sia dato il sistema.

Definizione: con.

Diciamo che è soluzione se questo sistema non ha soluzioni ha come soluzione.

Sia dato il sistema con invertibile.

Allora il sistema ha come unica soluzione.

Verifico che sia soluzione.

Per verificare se è soluzione, la si sostituisce al posto della matrice delle incognite.

È soluzione.

Verifico che è unica.

Sia soluzione di non vale la legge dell'annullamento del prodotto.

Ma siccome è invertibile, questa è necessariamente una matrice nulla.

Concateno le due matrici il risultato è lo stesso sia eseguendo il sistema col metodo classico, che attuando operazioni elementari alla matrice concatenata e riducendola per righe e con.

Definizione: Due sistemi e la stessa sono equivalenti se hanno le stesse soluzioni.

Da questo deduciamo anche che: e sono equivalenti se con invertibile.

Con le operazioni elementari noi stiamo trasformando sistemi, in sistemi equivalenti.

Ridotta per righe.

Operazioni elementari sulle righe.

I sistemi lineari si risolvono riducendoli per righe, non per colonne.

Il rango è 3, quindi è invertibile, ma allora la soluzione è unica.

Deve essere ridotta globalmente, quindi non basta ridotta per righe che A sia ridotta, ma deve essere ridotta AB.

1º metodo:

2º metodo: dalle equazioni vedo che man mano che trovo le variabili, le altre si annullano, quindi anche nella matrice devo annullare tutti gli elementi eccetto quello nella posizione della variabile che si sta considerando.

Se la soluzione è unica, il risultato sarà una matrice identica affiancata dalla colonna contenente le soluzioni.

Non ammette soluzioni.

In questo caso ho tre incognite, ma solo due equazioni, quindi la terza incognita diventa un parametro t, e passa dalla parte dei termini noti.

Nel caso in cui B ha solo una colonna.

Il sistema lineare con ha soluzioni se, e solo se.

In tal caso ha una sola soluzione se altrimenti le soluzioni dipendono da parametri liberi.

Invece che ridurre separatamente le due matrici, posso ridurre insieme la matrice completa, a patto che, finché è possibile, si scelgano gli elementi speciali dalla parte di A il sistema ammette delle soluzioni.

Questo vuol dire che dobbiamo scegliere 1 parametro libero.

Il numero di soluzioni possibili è:

Il parametro libero è la variabile sulla cui colonna non ci sono elementi speciali, quindi in questo caso è la variabile sulla terza colonna.

L'intersezione dei tre piani è una retta. Per descrivere una retta basta un punto e un vettore:

• Il punto A, che non dipende dal parametro.
• E il vettore che dipende dal parametro.

Non risolve il sistema dato, ma risolve il sistema omogeneo associato: con operazioni elementari sulle righe scegliendo gli elementi speciali dalla parte di, finché possibile.

Ridotta per righe.

Ridotta per righe.

Supponiamo che il rango di sia diverso dal rango della matrice completa:

Sia vorrebbe dire che c'è una riga nulla in, ma non nulla in.

In esiste una riga tipo: non ha soluzioni.

Sia.

Supponiamo che sia ridotta a scala: non ci sono elementi speciali sulle colonne di questa matrice, quindi eguaglio queste colonne a 0.

In questo modo il sistema si è ridotto a più i termini noti.

È una matrice invertibile, perché ha determinante e le soluzioni sono date dal teorema di Cramer.

Quindi il procedimento per verificare se ci sono soluzioni è porre uguale a 0 le colonne sulle quali non ci sono elementi speciali.

Perché avrei più incognite di quante riuscirei a calcolarne.

In questo modo si ottiene un sistema di tante equazioni quante sono le incognite.

Soluzione del sistema.

Teorema di Cramer.

Il sistema ammette soluzioni.

Sia determinante diverso da 0, quindi è invertibile, quindi ha soluzioni, ma quante?

Teorema di Cramer:

Sia.

Si riescono a calcolare solo le incognite sulle cui colonne ci sono elementi speciali.

Parametri visto che ora sono diventati dei numeri, passano nella parte di destra.

Dete.