Appunti Chimica fisica II, quantistica

CHIMICA FISICA II

5: parla di nanostruttura cioè strutture con dimensioni in termini di A cioè 10 ^-9 cioè mm.

Gli atomi possono aggirare solo all'interno di questi nm, si ottengono proprietà singolari (come le celle). Vengono confinati.

2 concetti: E: energia quantizzata

Le equazioni di Schrödinger e come quella di Maxwell (differenziali per descrivere: la onde).

Effetto fotoelettrico: effetto della luce considerato a pacchetti.

Posizione: x = r Momento: p = m ⋅ v dove v = ^dx/_dt

Energia: E = E_K + E_P = ^p2/_2m + V(x)

Se il potenziale è nullo cioè ho solo E_K, posso determinare la posizione.

E = ^mv2/_2m = ^mv2/₂ ⇒ v = ^dx/_dt = [^2E_x/_m]^1/2

2^a legge di Newton

^dp/_dt = F, d(m ⋅ v)/d(t) = α_t^{m dv}/_dt

è costante rispetto alla velocità della luce

m ^dv/_dt = m ^dx/_z = F m₀ ⋅ a = F

J = I ω → ^dΘ/_dt momento angolare, momento d'inerzia → I = m ⋅ r²

^dS/_dt ∫

Con queste eq. però non si spiegava tutto, ad es. le radiazioni del corpo nero.

In un sistema chiuso la cavità e si fa un buco piccolo per studiare cosa accade.

cav. T₃, T₂, T₁ > T

densità di energia

audendo verso _UV si parla di 300 nm, verso _IR si parla di 800 nm;

Esistendo e = 500 nm;

dai 450 e 750 nm si ha l' visibile.

Alla fine dell'800 si hanno 2 leggi:

• LEGGE di WIEN col aumentare della Temperatura si ha una riduzione

densi; di energia

• LEGGE di STEFAN E = εσT⁴

E energia emessada una superficie

M emissivity = σT⁴

σ = 56,7 mW/m²K⁴

LORD RAYLEIGH: con l'e.g. del corpo nero lo scatole doveva avere una grandezzain base alle lunghezza d'onde usate.

λ = c/n

μλ = c

Si dà una energia portando ad una T⁰ in modo che si abbia l'eq. Termico:

constante di Boltzmann

Rayleigh jeans P = 8πRT/λ⁴

dE = ρdλ

Os Ternia era sbagliatok ATASTRÔFEULTRAVIOLETTA.

E = mnhv

con m = 0,1,2,3

RELAZIONE DI PLANCK.

in base al fatto che l'energiaproporzionale alla frequenza

P = 8πhc/λ^5βc/λkT - 1

Con queste relazioni si riuscì a calcolare tutte le curve,R = 6,626x10³⁴ J•s

sviluppando e^x = 1 + X

per λ grandi sideterminava la relazionedi Rayleigh Jeanse^βc/λkT

E _∂λ dλ= aT⁴

α = 4γ/c => γ = π²5k⁹/15c³h³

Mientras facendo la derivata di P si ottenne il flux volonte di λ⁵

quindi co legge di Wien

γ = cos Kx + i sin Kx

si può verificare che è la sua soluzione facendo la derivata:

dγ/dx = i KR^x e^iKx = (iK)² e^iKx = (iR)² γ

R² = -(2m/ħ²)(E_K - V(x))

⇒ quindi (E - V) γ = E_K

quindi R² = (2mE_K/ħ²)^1/2

λ = 2π/K

2π/λ = p/ħ

λ = 2π/p

P = ħk (E₀t)

P = β/λ

P = ħ/λ

Eq. di Schrödinger in 3 dimensioni è:

- ħ²/2m Δψ + Vψ = Eψ

Δ²x + Δ²y + Δ²z

x = r sin θ cos φ

y = r sin θ sin φ

z = r cos θ

∇² = ∂²/∂r² + 2/r ∂/∂r + 1/r² ∇²

Λ² = 1/sin² θ ∂²/∂φ² + 1/sin θ ∂/∂θ sin θ ∂/∂θ

L'unità di volume non è dx dy dz ma dτ = r² dτ dθ dφ

Si può anche scrivere:

Hψ = Eψ

H ψ = T + V = - ħ²/2m d²/dx² + V(x)

perché φ₁ è definito da Ae^ikx e cioè βe^ikx quindi la

quantek di moto è ħk = m v 2 pie k .

quindi Ψ = Ae^ikx + Be^ikx non è autofunzione di p .

VALORE ATTESO di un operatore: è praticamente un integrale.

_{Ω Ω = ∫φ* Ω φdz}

integrato su tutto lo spazio

(trovi il complesso coniugato).

φ e φ possono essere autofunzioni: Ω̂ φ = ω φ

allora e quindi Ω _{Ω = ∫φ* Ω φdz = ∫φ* ω φdz}

è una costante perché è un autovalore.

= ω∫φ* φ dz

= ω 1 probabilità di trovare

_{è nello spazio .}

ω è l'autovalore

Ho un operatore luo PIÙ autoffunzioni:

_{Ω φ1 = ω1 φ1 Ω φ2 = ω2 φ2}

dico che:

in non è più un'autofunzione dell'operatore.

perché Ω̂ (c₁ φ₁ +c₂ φ₂ +...) = cω₁ φ₁ +cω₂ φ₂ + ...

non posso più scrivere Ω̂ φ = ωφ

≠ cost (c₁ φ₁ + c₂ φ₂ ...)

secondo la definizione di valore atteso

_{Ω Ω = ∫(c1 φ1 +c2 φ2 ...) Ω̂ (c1 φ1 +c2 φ2 ...) dz}

= ∫c₁ ω₁ φ₁ dz + c₂ ω₂ φ₂ dz

+ c₁ c₂ ω1 ∫φ₁ φ₂ dz = qua posso portare fuori l’autovalore perché

è una costante = c₁ ω₁ ∫φ₁* φ₁ dz + c₂ ω₂ ∫φ₂* φ₂ dz

= |c₁|² ω₁ + |c₂|² ω_{2 sono ortonormali}

_{proprietà ortonormali: ∫φi* φj dz = δij}

Si trova il valore atteso dell' momemto (che deve essere uguale a zero).

<p> = ∫ψ X P̂ X ψ d x, perché il momento è lungo x

= i ∫ψ* ħ d/dx ψ dx = i ∫ (2/L)^1/2 (e^{-i k x}) e^{ik x} ħ/i d/dx [(2/L)^1/2 (e^{ik x}) e^{-ik x}] dx

ʹè il complesso coniugato

= i/2i ∫ [(1/L) (e^{-ik x} (i k) (e^{ik x})] dx - i/2i ∫ [(e^{-i k x}; d/dx) (e^{ik x} + e^{ik x} d/ dx e^{ik x}] dx

= 1/ħ ∫d/dx [∫ 0^L e^{-2ik x} dx - ∫ 0^L e^{2ik x} dx]

= 1/2i ħ [K] e^{-2i k x} 0 - 1/-2ik - 1/2ik 0

= 1/2i ħ [e^{-2i k L} - 1/-2ik] - e^{2i k L} - 1/2ik

= 1/4i L [2 - cos 2i k L + i sin 2k L - cos 2i k L + sin 2k L]

= ħ/4i L [2 - cos 2k L + i sin 2k L - cos 2k L + i sin 2k L]

= ħ/2i L [1 - cos 2k L] = ħ/2L [1 - cos 2m π] = ħ 2i L [1 - 1] = 0

^k = mπ

cos 2 k L ⇒ cos 2m π

Se lʹparticella è confinata in uno spazio il suo momento non definito;

lʹenergia però è diversa da zero, ossia può andare da una parte

all'altra. La particella è confinata in un qualche spazio

E_n+1 - E_m = (n+1)² ħ²/2mL = 8m L²

differenze di energia

dʹenergia divisa per L

con una scatter grande e separazione lo00 stari

gradi di energia non c'e.

Con un contenitore di dimension (10⁻⁹m)

ħ²/8m e L² = 50 e³

10⁻⁶μ 10⁻⁹ n₀ 8 10⁻¹⁵ λ 10-¹⁰ 10⁻²⁴ ε