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Ripasso
Energia ⇒ energia interna
ΔU = Q + W
⇒ interpretazione molecolare
Ōi(T) = Ōt(T) + Ōrot(T) + Ōvib(T) + Ōele(T) + Ōept + Ōinter(T)
Ek = 1/2 m v2 = 1/2 kT
⇒ K = 1.38 10-23 J/K costante di Boltzmann
con R = Nk
Ōt(T) = 3/2 kT
Ōrot(T) = 3/2 KT oppure KT
Ōvib(T): dipendenza complessa
Ōele(T) = KT
Ōinter(T) = dipendenza complessa
L'energia varia in modo continuo
L'energia è quantizzata
⇒ assume solo valori discreti ⇒ livelli energetici
Luce ⇒ radiazione elettromagnetica
ν, V frequenza = 5' = 1/Te, η, λ = c
ν = V/λ = 1/T (cm-4)
Equazione d'onda ⇒ u(x,t)
∂2u(x,t)/∂x2 = 1/v2 ∂2u(x,t)/∂t2
Energia microscopica
27/09/18
N particelle con diversa energia avranno diverse configurazioni nei livelli energetici
La distribuzione delle particelle dipende da TT=0 livello energetico minore/populazione deiT > 0 altri livelli energetici/livello energetico
- Distribuzione di Boltzmann
Ni/Nj = e-ΔE/kT
Ni - 0 EiiNj - 0 Ejj
ΔE = Ei - Ej
Com: E = ∑i NiEicostanti
N = ∑i Ni
Ni/Nj = pi -> funzione di partizione (q)
scrittura più pratica: pi = e-Ei/kT / q -> frazione di popolazione allo stato i-esimo
com β = 1/kT
E(T) = ∑i NiEi
E(T) = N/q ∑i ∂/∂β e-βEi = N/q ∂q/∂β
Proprietà ondulatorie
De Broglie → motore particellare e ondulatorio
λ = h / m v → quanto di moto
Bragg → legge di diffusione → onde distruttive e costruttive
m λ = 2d sen θ
Bohr → + De Broglie
(e2 / 4πε0v2) = (mev2 / r) |Equilibrio: una forza centripeta=
mvr = nh/2π con n = 1, 2, 3, 4, … (da un numero quantistico)
λnr = me4 / 8ε02h2 (energia potenziale)
Principio di Heisenberg
Impossibile conoscere il momento e la posizione di una particella (oppure t e il tempo)
ΔpΔx ≥ h / 2π = h / 2 ≈ h
(δij = matrice I =
| 1 0 0 |
| 0 1 0 |
| 0 0 1 |)
Delta di Kronecker
δij = 1 con i=j
δij = 0 con i≠j
A = (AT)
A = | 2 3 |
| 1 2 |
| 1 3 |
=> det(A) = | 1 2 3 |
| 1 3 1 |
| 1 2 3 | = |Δ| = 0
matrice diagonale
matrice limite
matrice
Sistema di equazioni lineari
d11 x+ d12 x= b2
d22 x+ d22 x= b2
=>
d11 d12
d21 d22
A x
| d11 d12 | | x1 | = | b1 |
| d21 d22 | | x2 | | b2 |
A x = | b2 |
A x= ø=> b = 0 => costante
equazione degli
Δt x = (Ĥ)x
*autovalori
Amm/xm,1 = λ xm,1
A x= Φ y = ξ ψ
=>
A x = λ x = ξ ψ
con det│A│= 0
(A - λ I │ x ) = | 1 0 |=>
(d11-2 d12 x1)
d12 d22 - λ
con det(λ) ≠ 0 ovv x valere l'interesse
d21 d21 d22 - λ | x1 | =
| x1 | = | 0 |
| x2 | = | 0 | =>
{ d11 x1 + d12 x2(x1 = 0
{ d21 x1 + d22 - λ│ x2 | x1 = 0
1/xJx2 = 1/yJy ➔ 1/xJx2 = K
y/cyJy ➔ costanti di separazione
Jx2/Jx2 - Kx = 0
d/y - VcxJ = 0
Equazioni differenziali ordinarie lineari (coeff. costanti)
Equazione d'onda quantistica e Schrödinger
L'equazione d'onda di una particella quantistica + relazione di De Broglie
dψ/ dx = 1 / v2 dψ / dt2 ➔ p = h/λ
1 / v2 = p0/hv2
∂ψ(x,t)/∂x2 - p2/h2v2 ∂2ψ(x,t)/∂t2 v2ψ(x,t)/ Equazione di Schrödinger
L'interpretazione di Born ha sette limiti di accettabilità
della funzione d'onda
- continua
- derivabile
- elemento una continua derivata
- univoca
- a quadrato integrabile
Se la particella si muove in una dimensione e V=0, allora
L'equazione di Schrödinger diventa:
-ℏ2/2m d2Ψ/dx2 = EΨ
Ψ = Aeikx + Be-ikx
E = ℏ2k2/2m
- B=0 (caso particolare)
Ψ = Aeikx
|Ψ|2 = (Aeikx)(Ae-ikx) = Ae -ikx e ikx = |A|2ei(kx - kx) = |A|2
- A=B
Ψ = Aeikx + Ae-ikx
= 2A cos(kx)
|Ψ|2 = (2A cos(kx))(2A cos(kx)) = 4|A|2cos2(kx)
Energia e gradi di libertà
- Non trasferibile
- Non conservabile
- Non calcolabile
Lo stato del sistema si usa risolvendo l'equazione di Schrodinger:
- Traslazione: particella libera si muove però il momento offre x
\[ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} \psi = E \psi \] con \(\psi = Ae^{ikx} + Be^{-ikx}\)
Tutti i valori di \(k\) sono permessi, quindi \(E\) non è quantizzata
- Particella dentro scatola infinito
- \(V\) magra sulle parete
- \(V_0\) dentro la scatola
\[\psi(x) = Ae^{ikx} + Be^{-ikx}\] impongo che \(\psi\) si annulli al bordo della buca
non può andare all'infinito, non sarebbe a questo integrabile
\[\psi = B \sin(kL) \cos(kL) = 0\] punti di \(\pm L\)
\[ \frac{\sin(kL)}{AB} = \frac{\cos(kL)}{A+B} \]
I = |A|²/|A'|² = probabilità di trasmissione della particella
∫∞0 dx {k1² - k2²}
T = e-∫xLxR dx K(x) con K = √(2m(V-E))ℏ
E = ∈
V
E
V
V
∫ (SEk)²-1 2m(V-E)ℏxL
Vibr. senz.
- Oscillatore = particelle in un intorno di un potenziale armonico elastico = legge del Hooke
F = -Kδx
Vp potenziale percepito dalle particelle, in funzione di x
V = 1/2 Kgx²
Schrödinger:
ℏ²/2m d2Ψ/dx2 + {Vp(x) - E}Ψ
cinetico potenziale liminatire
= 0 per x = ±∞
Ev = |v + 1/2|ℏu con u: √(K/M)
+ E punto zero
∆E tura, li evelli
E((use), use),
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