Appunti Brevi di Fisica Generale 1

(E)

allora se la la quantità di moto si conserva (q e

a = 0, v=k, R = 0, = k) v = k.

(E) cm

1.3.2 Momento angolare / della quantità di moto e momento delle forze esterne

Si ha che la sua derivata è

L = Σr × mv. dL/dt = M – v × mv

(E) O cm

v è la velocità del polo fisso nel sistema inerziale. Se il termine è 0 per i seguenti casi:

– v × mv

O O cm

- il polo non si muove, v = 0

O

- il centro di massa non si muove, v = 0

cm

- polo e centro di massa coincidono o sono paralleli

allora semplicemente il momento delle forze esterne è la derivata del momento della quantità di moto:

dL/dt = M

(E)

1.3.3 Conservazione del momento angolare / della quantità di moto

In una situazione del tipo in cui è valido , si conserva quando

– v × mv = 0 dL/dt = M L M =0,

(E) (E)

O cm

cioè:

- La risultante delle forze esterne è nulla (R e allora, come detto prima, si conserva anche la

=0)

(E)

quantità di moto.

- Oppure il momento è zero solo rispetto a un determinato polo, perciò non è vero che

M (E)

e la quantità di moto non si conserva.

R =0

(E)

Oss: è per forza zero, altrimenti il momento angolare non si conserverebbe neanche se

M R =0.

(I) (E)

1.3.4 Sistema di riferimento del centro di massa (O’)

- L’origine è il centro di massa

O’

- I versori di sono paralleli a quelli di inerziale

O’ O

- In genere è un sistema di riferimento non inerziale, a meno che vcm=k

r e v sono entrambi espressi come somma di posizione/velocità rispetto al centro di massa più

posizione/velocità del centro di massa rispetto al sistema inerziale. Ovviamente:

- e (il centro di massa ha posizione e velocità nulla rispetto a se’ stesso)

r’ =0 v’ =0

cm cm

- Da queste deriva che e – perciò la quantità di moto del sistema è 0 quando

Σmr’ = 0 Σmv’ = 0

misurata rispetto al SDR del centro di massa

- Inoltre il momento risultante è solo quello delle forze esterne (le forze di inerzia non

contribuiscono). Vale ancora ovvero il teorema del momento angolare, anche nel

dL/dt = M

(E)

sistema di riferimento non inerziale del centro di massa (purché appunto il polo di calcolo sia il

centro di massa).

1.3.5 Primo teorema di König (momento angolare)

Si può scrivere il momento angolare del sistema come somma del momento angolare del centro di

massa rispetto al SDR inerziale e del sistema rispetto al centro di massa

L = L’ + L

cm

1.3.6 Secondo teorema di König (energia cinetica)

Si può scrivere l’energia cinetica del sistema come somma dell’energia cinetica del centro di massa

rispetto al SDR inerziale e del sistema rispetto al centro di massa

Ec = Ec’ + Ec cm

1.3.7 Lavoro ed energia cinetica

Il lavoro totale è W = W + W

(I) (E)

Stavolta però in genere il lavoro delle forze interne non è generalmente zero (lo sarà nel corpo rigido).

Perciò il teorema dell’energia cinetica si riscrive come

W + W = ΔEc

(I) (E)

Come il solito se le forze interne sono conservative, e analogamente .

W = ‒ ΔU W = ‒ ΔU

(I) (I) (E) (E)

Rimane il fatto che se tutte le forze sono conservative l’energia meccanica del sistema si conserva:

W = ΔEc = -ΔU

E = U + Ec

E rimane che se non tutte le forze sono conservative si può calcolare il loro lavoro come differenza

dell’energia meccanica iniziale e finale.

1.4 U RTI

In assenza di forze esterne, in un urto la quantità di moto totale si conserva.

Non cambia la quantità di moto del centro di massa, però quelle dei due punti variano per effetto

dell’impulso che si scambiano durante l’interazione (l’impulso infatti è una variazione di quantità di

moto).

Naturalmente i due impulsi e le due forze sono opposti l’uno all’altro.

Il momento angolare si conserva (ma ciò non aggiunge informazioni rilevanti): quando i due corpi si

urtano si ha quindi se come detto , allora .

r = r = r, P = P L = r × P = L = r × P

1 2 i f i i f f

1.4.1 Conservazione dell’energia

Non si può dire a priori se l’energia meccanica si conserva, ma siccome la posizione dei corpi non

cambia durante l’urto, sicuramente l’energia potenziale si conserva. Perciò è l’energia cinetica a non

essere necessariamente la stessa prima e dopo l’urto.

Però si può utilizzare il secondo teorema di Koenig, in cui

Ec = ½ (m + m ) v ² + E’c

1 2 cm

Il primo termine rimane costante perché la quantità di moto si conserva; il secondo invece, l’energia

cinetica rispetto al centro di massa, varia a seconda che le forze siano conservative o non conservative:

E’c = ½ m v’ ² + ½ m v’ ²

1 1 2 2

Casi diversi di urto avranno diversi casi di conservazione (o non conservazione) di questo parametro.

1.4.2 Urto completamente anelastico

I due punti rimangono attaccati dopo l’urto e formano un corpo unico di massa m + m = M.

1 2

Si vede subito con la conservazione di q che

m v + m v = Mv’ = Mv

1 1 2 2 cm

L’impulso di ciascuno dei punti è e similmente per . Si verifica che sono uguali

J = Δq = m v – m v J

1 1 1 cm 2 2 2

in modulo e opposte in segno.

Per quanto riguarda l’energia cinetica, prima dell’urto (applicando König):

Ec = ½ m v ² + ½ m v ² = E’c + ½ (m + m ) v ²

i 1 1 2 2 1 2 cm

mentre dopo l’urto Ec = ½ (m + m ) v ²

f 1 2 cm

Non c’è più il termine E’ , ovviamente perché non c’è più moto rispetto al centro di massa essendo i due

c

punti coincidenti (compenetrati l’uno con l’altro). E’ viene infatti assorbita: è il lavoro impiegato dai punti

c

a compenetrare in un punto unico.

ΔEc = ½ (m + m ) v ² ‒ ½ m v ² ‒ ½ m v ² = ‒ E’c

1 2 cm 1 1 2 2

1.4.3 Urto elastico

Oltre alla quantità di moto, si conserva anche l’energia cinetica del sistema (quindi necessariamente le

forze interne sono conservative). Si può quindi dire che

E = E q = q

ci cf i f

Ci sono dunque due equazioni di conservazione:

m v + m v = m v + m v = (m + m ) v

1 1i 2 2i 1 1f 2 2f 1 2 cm

½ m v ² + ½ m v ² = ½ m v ² + ½ m v ²

1 1i 2 2i 1 1f 2 2f

Mi interessa ora determinare v e v e per fare ciò mi torna utile considerare il sistema del centro di

1f 2f

massa da cui ricavo che m v’ = - m v’ m v’ = - m v’

1 1i 2 2i 1 1f 2 2f

½ m v’ ² + ½ m v’ ² = ½ m v’ ² + ½ m v’ ²

1 1i 2 2i 1 1f 2 2f

ovvero v’ = - v’ v’ = -v’

1f 1i 2f 2f

velocità e quantità di moto rimangono le stesse in modulo. Siccome

v = v’ + v v = v’ + v

1i 1i cm 2i 2i cm

v = v’ + v v = v’ + v

1f 1f cm 2f 2f cm

v = (m v + m v )/(m + m )

cm 1 1i 2 2i 1 2

si ottiene v = [(m – m ) v + 2m v ] / (m +m )

1f 1 2 1i 2 2i 1 2

v = [2m v + (m – m ) v ] / (m +m )

2f 1 1i 2 1 2i 1 2

1.4.4 Urto anelastico

In questo caso invece l’energia cinetica dell’impatto non viene assorbita completamente (come nell’urto

completamente anelastico) o per niente (come nell’urto elastico) ma viene invece assorbita solo in parte.

Rispetto al SDR del centro di massa, si ha che la quantità di moto di un punto dopo l’impatto è minore in

modulo e opposta in verso rispetto alla q iniziale. Il coefficiente di restituzione è il rapporto

e = - p’ /p’ = - v’ /v’ = - p’ /p’ = - v’ /v’

1f 1i 1f 1i 2f 2i 2f 2i

L’energia cinetica del sistema dopo l’urto è E’ = e²E’

cf ci

E la variazione relativa è δ = (E’ – E’ )/E’ = e² - 1

cf ci ci

Si osserva che nell’urto elastico, nell’urto completamente anelastico,

e = 1, δ = 0; e = 0, δ = -1.

Con le equazioni del sistema del centro di massa, si ha che

v = v (1+e) – ev v = v (1+e) – ev

1f cm 1i 2f cm 2i

Posso poi sostituire v che è la solita

cm v = (m v + m v )/(m + m )

cm 1 1 2 2 1 2

Ricavando v = [(m – em )v + m (1+e)v ]/(m +m )

1f 1 2 1i 2 2i 1 2

v = [m (1+e)v + (m – em )v ]/(m +m )

2f 1 1i 2 1 2i 1 2

Si nota come se si riottiene l’equazione dell’urto elastico; se si riottiene l’equazione dell’urto

e = 1 e = 0

completamente anelastico.

1.5 C

ORPO RIGIDO

1.5.1 Moto

Il lavoro delle forze interne è 0, per cui le leggi fondamentali sono:

R = m a M = dL/dt ΔEc = W

cm

senza appunto il contributo delle forze interne.

1.5.1.1 Traslazione

- Gli assi restano paralleli

- La dinamica è quella di un punto materiale

- Quantità di moto q = m v

cm

- Energia cinetica E = ½ m v ²

c cm

- Equazione del moto R = m a cm

- Momento angolare L = L = r × q = r × m v

cm cm cm cm

- Momento della forza M = r × R = dL / dt

cm

1.5.1.2 Rotazione

- Tutti i punti ruotano con lo stesso asse

- La velocità angolare è la stessa per tutti i punti ed è un vettore lungo l’asse di rotazione

ω

- La velocità lineare dipende dalla distanza dall’asse di rotazione

v = ω r

i i

- Se l’asse di rotazione è fisso nel tempo, cambia in modulo (se rallenta/accelera) e in verso (se

ω

cambia orario/antiorario)

- L’equazione dinamica di base è M = dL / dt

I due moti sono generalizzabili come una singola rototraslazione, che si descrive con il teorema del

moto del centro di massa e il teorema del momento angolare:

R = m a M = r × R = dL / dt

cm cm

La descrizione del moto di un corpo rigido però non è univoca (sbarretta: v = v + ω × QP)

p q

1.5.2 Densità e centro di massa

Il rapporto tra la massa infinitesima e il volume infinitesimo che occupa ρ = dm/dV

In un corpo omogeneo la densità è costante, per cui e

ρ = m/V m = ρV

Nel caso di superfici si ha la densità superficiale ρ = dm/dS

s

Nel caso di fili o bacchette si ha la densità lineare ρ = dm/dl

l

Calco