Appunti Brevi di Fisica Generale 1

Meccanica

Cinematica

Rettilineo uniforme: x(t) = x + vt, v(t) = v₀

Rettilineo uniformemente accelerato: x(t) = x + vt + ½at², v(t) = v + at, a(t) = a

v(x) = √(v² + aΔx), a(x) = ½v²

Circolare uniforme: θ(t) = θ + ωt, ω(t) = ω₀

Circolare uniformemente accelerato: θ(t) = θ + ωt + ½αt², ω(t) = ω + αt, α(t) = α

ω(θ) = √(ω² + αΔθ), α(θ) = ½ω²

Armonico semplice: x(t) = A sin(ωt + ø), v(t) = ωA cos(ωt + ø)

a(t) = –ω²A sin(ωt + ø)

v(x) = √(ω²(A² - x²)), a(x) = –ω²x

Dinamica

Leggi di Newton, forza

• 1^a legge - Inerzia: Se la risultante delle forze è 0, il corpo non cambia velocità.
• 2^a legge - Forza: Se la risultante delle forze non è 0, il corpo cambia velocità con un’accelerazione tale che F = ma.
• 3^a legge - Azione-Reazione

Equazioni del moto di varie forze

• Forza peso: F = mg
• Forza di attrito: F = μmg sin θ
• Forza elastica: F = –kx, la pulsazione è √(k/m)
• Forza centripeta: F = ω²mr

Quantità di moto

q = mv. Se la massa è costante, siccome la forza è la derivata della quantità di moto, F = ma = mdv/dt, F = dq/dt. Se la risultante delle forze è 0, l’accelerazione è 0 e la velocità resta costante: la quantità di moto si conserva.

Impulso

È stato detto che (una forza applicata in un tempo infinitesimo provoca una variazione infinitesima di quantità di moto e quindi della velocità):

F = dq/dt, Fdt = dq

Integrando: ∫Fdt = ∫dq = Δq, riassumendo l’impulso è essenzialmente una variazione di quantità di moto: J = mΔv = Δq = ∫Fdt

Momento angolare / Momento della quantità di moto

È il momento associato alla quantità di moto: L = r × q = r × mv, fornisce informazioni sulla velocità rispetto a un polo.

Momento della forza

È il momento associato alla forza: M = r × F = r × ma, e poiché r × ma = r × mdv/dt, si può dire che il momento della forza è la derivata del momento angolare rispetto al tempo (teorema del momento angolare).

Momento dell’impulso

L’inverso del teorema del momento angolare indica che l’integrale del momento della forza rispetto al tempo è una variazione del momento angolare: ∫Mdt = ΔL

Se l’intervallo di tempo è molto breve, r è quasi costante, perciò: ∫Mdt = ∫r × Fdt = r × ∫Fdt

Ma l’integrale della forza rispetto al tempo è l’impulso: r × ∫Fdt = r × J = ΔL

Risultante vettoriale delle forze

Se la risultante è 0 e la velocità è 0, il punto è in equilibrio statico. R = ΣFi

Lavoro ed energia cinetica

(Prodotto scalare forza-spostamento) W = FΔx cosα

• Se forza e spostamento sono paralleli, allora W = FΔx
• Se incidenti, allora W = FΔx cosα
• Se ortogonali, allora non compio lavoro
• Se nulli (uno o entrambi), allora non compio lavoro

Se il sistema compie uno spostamento A -> B a causa di una certa risultante di forze, il lavoro è uguale alla variazione dell’energia cinetica (finale e iniziale) W = ΔEc

La formula dell’energia cinetica è sempre Ec = ½mv²

Forze conservative, energia potenziale

Una forza è conservativa se il lavoro svolto su un corpo in un percorso chiuso è nullo. Se una forza è conservativa, viene associata una funzione di stato detta energia potenziale, definita come –ΔU = W

Va definito un polo di potenziale zero, in cui l’energia potenziale è nulla. Non esiste una formula univoca per l’energia potenziale, ma le più note sono:

• Energia potenziale gravitazionale: U = mgz
• Energia potenziale elastica: U = ½kx²

Conservazione dell’energia

Se le forze in gioco sono conservative, si conserva l’energia meccanica del sistema: E = U + Ec

In presenza di forze non conservative, posso comunque calcolare il loro lavoro come variazione di energia meccanica.

Formulario

• Momento angolare / Quantità di moto: q = mv, L = r × q = r × mv = Iω
• Forza: F = ma
• Momento della forza: M = r × F = r × ma
• Impulso: J = mΔv = Δq
• Momento dell’impulso: r × J = r × ∫Fdt = ΔL
• Massa: M
• Momento d’inerzia: I

Reazione vincolare

I vincoli esercitano forze che, per il principio di azione e reazione, sono uguali alle forze applicate in modulo e direzione, ma di segno opposto.

Reazione vincolare di un piano

È una forza ortogonale al piano stesso.

Reazione vincolare di un fulcro

Va tenuto conto di diverse componenti, primariamente la forza peso (sempre diretta verso il basso) e la forza centripeta in verso opposto al carico, F = mrω²

Sistemi di punti

La risultante delle forze interne è 0 per la terza legge di Newton (azione e reazione). Legge oraria, velocità e accelerazione dipendono tutti dal centro di massa.

In un sistema di riferimento inerziale, la risultante delle forze esterne è R(E) = ma, similmente ai punti materiali dove la forza era la derivata della quantità di moto R(E) = dq/dt

Conservazione della quantità di moto

Ricorda: la forza, in questo caso, è la derivata della quantità di moto. Se R(E) = 0, allora la quantità di moto si conserva (q = const.) e v = k.

Momento angolare / della quantità di moto e momento delle forze esterne

Si ha che la sua derivata è L = Σr × mv. dL/dt = M – v × mv

Se v × mv è 0 per i seguenti casi:

• Il polo non si muove, v = 0
• Il centro di massa non si muove, v = 0
• Polo e centro di massa coincidono o sono paralleli

Allora, il momento delle forze esterne è la derivata del momento della quantità di moto: dL/dt = M

Conservazione del momento angolare / della quantità di moto

In una situazione del tipo in cui è valido dL/dt = M, si conserva quando M = 0, cioè:

• La risultante delle forze esterne è nulla (R = 0)
• Oppure il momento è zero solo rispetto a un determinato polo

Se il momento angolare si conserva, allora R(E) = 0 e quindi la quantità di moto si conserva.

Sistema di riferimento del centro di massa (O’)

• L’origine è il centro di massa O’
• I versori di O’ sono paralleli a quelli di O
• In genere è un sistema di riferimento non inerziale, a meno che v_cm = const., r e v sono entrambi espressi come somma di posizione/velocità rispetto al centro di massa più posizione/velocità del centro di massa rispetto al sistema inerziale.

Ovviamente:

• r’_cm = 0 e v’_cm = 0 (il centro di massa ha posizione e velocità nulla rispetto a se stesso)
• Quindi Σmr’ = 0 e Σmv’ = 0 quando misurata rispetto al SDR del centro di massa
• Inoltre, il momento risultante è solo quello delle forze esterne; le forze di inerzia non contribuiscono
• Vale ancora il teorema del momento angolare, anche nel sistema di riferimento non inerziale del centro di massa (purché il polo di calcolo sia il centro di massa)

Primo teorema di König (momento angolare)

Si può scrivere il momento angolare del sistema come somma del momento angolare del centro di massa rispetto al SDR inerziale e del sistema rispetto al centro di massa: L = L’ + L_cm

Secondo teorema di König (energia cinetica)

Si può scrivere l’energia cinetica del sistema come somma dell’energia cinetica del centro di massa rispetto al SDR inerziale e del sistema rispetto al centro di massa: Ec = Ec’ + Ec_cm

Lavoro ed energia cinetica

Il lavoro totale è W = W_(I) + W_(E)

Stavolta però, in genere il lavoro delle forze interne non è generalmente zero (lo sarà nel corpo rigido). Perciò il teorema dell’energia cinetica si riscrive come W_(I) + W_(E) = ΔEc.

Come il solito, se le forze interne sono conservative, W_(I) = –ΔU_(I) e W_(E) = –ΔU_(E). Rimane il fatto che se tutte le forze sono conservative, l’energia meccanica del sistema si conserva: W = ΔEc = –ΔU, E = U + Ec.

Se non tutte le forze sono conservative, si può calcolare il loro lavoro come differenza dell’energia meccanica iniziale e finale.

Urti

In assenza di forze esterne, in un urto la quantità di moto totale si conserva. Non cambia la quantità di moto del centro di massa, però quelle dei due punti variano per effetto dell’impulso che si scambiano durante l’interazione (l’impulso infatti è una variazione di quantità di moto). Naturalmente i due impulsi e le due forze sono opposti l’uno all’altro.

Il momento angolare si conserva (ma ciò non aggiunge informazioni rilevanti): quando i due corpi si urtano, si ha quindi se come detto prima, allora r = r = r, P_i = P_f, L_i = r × P_i = L_f = r × P_f.

Conservazione dell’energia

Non si può dire a priori se l’energia meccanica si conserva, ma siccome la posizione dei corpi non cambia durante l’urto, sicuramente l’energia potenziale si conserva. Perciò è l’energia cinetica a non essere necessariamente la stessa prima e dopo l’urto.

Si può utilizzare il secondo teorema di König, in cui Ec = ½(m₁ + m₂)v_cm² + Ec’.

Il primo termine rimane costante perché la quantità di moto si conserva; il secondo, invece, l’energia cinetica rispetto al centro di massa, varia a seconda che le forze siano conservative o non conservative:

Ec’ = ½m₁v_1’² + ½m₂v_2’²

Casi diversi di urto avranno diversi casi di conservazione (o non conservazione) di questo parametro.

Urto completamente anelastico

I due punti rimangono attaccati dopo l’urto e formano un corpo unico di massa m₁ + m₂ = M.

Si vede subito con la conservazione di q che m₁v₁ + m₂v₂ = Mv’_cm

L’impulso di ciascuno dei punti è J₁ = Δq₁ = m₁v₁ – m₁v_cm e similmente per J₂. Si verifica che sono uguali in modulo e opposte in segno.

Per quanto riguarda l’energia cinetica, prima dell’urto (applicando König):

Ec_i = ½m₁v₁² + ½m₂v₂² = Ec’ + ½(m₁ + m₂)v_cm²

Mentre dopo l’urto Ec_f = ½(m₁ + m₂)v_cm²

Non c’è più il termine Ec’, ovviamente perché non c’è più moto rispetto al centro di massa essendo i due punti coincidenti (compenetrati l’uno con l’altro). Ec’ viene infatti assorbita: è il lavoro impiegato dai punti a compenetrare in un punto unico.

ΔEc = ½(m₁ + m₂)v_cm² – ½m₁v₁² – ½m₂v₂² = –Ec’

Urto elastico

Oltre alla quantità di moto, si conserva anche l’energia cinetica del sistema (quindi necessariamente le forze interne sono conservative). Si può quindi dire che E_ci = E_cf, q_i = q_f.

Ci sono dunque due equazioni di conservazione:

m₁v_1i + m₂v_2i = m₁v_1f + m₂v_2f = (m₁ + m₂)v_cm

½m₁v_1i² + ½m₂v_2i² = ½m₁v_1f² + ½m₂v_2f²

Mi interessa ora determinare v_1f e v_2f e per fare ciò mi torna utile considerare il sistema del centro di massa da cui ricavo che m₁v_1’i = - m₂v_2’i, m₁v_1’f = - m₂v_2’f

½m₁v_1’i² + ½m₂v_2’i² = ½m₁v_1’f² + ½m₂v_2’f²

Ovvero v_1’f = - v_1’i, v_2’f = -v_2’i; velocità e quantità di moto rimangono le stesse in modulo.

Poiché v_1i = v_1’i + v_cm e v_2i = v_2’i + v_cm, v_1f = v_1’f + v_cm e v_2f = v_2’f + v_cm.

v_cm = (m₁v_1i + m₂v_2i) / (m₁ + m₂)

Si ottiene:

v_1f = [(m₁ – m₂)v_1i + 2m₂v_2i] / (m₁ + m₂)

v_2f = [2m₁v_1i + (m₂ – m₁)v_2i] / (m₁ + m₂)

Urto anelastico

In questo caso, l’energia cinetica dell’impatto non viene assorbita completamente (come nell’urto completamente anelastico), ma una parte viene dissipata in altre forme di energia, come il calore o la deformazione permanente dei corpi.