Appunti Biotecnologie microbiche industriali e ambientali - Modulo 2

LEZIONE 2

MODELLI (su slide)

Abbiamo delle variabili in ingresso, dette anche PARAMETRI, il nostro obiettivo è capire come

al variare dei parametri in ingresso? PARAMETRI OPERATIVI: temperatura, la lunghezza e il

diametro del reattore; quali sono le VARIABILI INDIPENDENTI alle quali siamo interessati? Se

il nostro obiettivo è la velocità di un microrganismo all’interno della nostra coltura; se il nostro

obiettivo è ottenere un metabolita attraverso la coltivazione di microrganismi, allora la

concentrazione di quel metabolita odi un farmaco; se l’applicazione considerata è la dilatazione

del substrato organico della fase liquida.

Ovviamente descrivere un modello in maniera precisa e dettagliata è complicato, per cui sono

state introdotte delle semplificazioni, delle APPROSSIMAZIONI che riguardano il mezzo di

coltura, l’ambiente all’interno del quale crescono i nostri microrganismi e delle approssimazioni

riguardanti la popolazione cellulare.

N.B. è importante descrivere l’evoluzione nel tempo la concentrazione di biomassa? No, perché

il campo di moto si sviluppa nel giro di pochi minuti, mentre il tempo caratteristico per avere delle

variazioni di concentrazione di biomassa è nell’ordine del giorno, quindi agli occhi delle cellule il

campo di moto è sempre lo stesso ed è quello che si sviluppa dopo pochi minuti, dopo aver

avviato il compressore (non si considera il campo di moto, perché la variazione sicuramente c’è,

ma la grandezza della misura rimane quella. Es. se in sec. Può essere di 10, 100, 120, ma non

sarà mai in giorni).

I modelli matematici si scrivono in forma di funzioni algebriche ed equazioni differenziali.

REATTORI IDEALI

Che cos’è un reattore? Altro non è che un volume, un ambiente, all’interno del quale avvengono

delle reazioni chimiche; può essere un contenitore, una cellula, l’atmosfera.

A cosa si riferisce il termine IDEALI? Si riferisce alle approssimazioni, che a breve andremo a

descrivere. (slide)

REATTORE BATCH

Un recipiente all’interno del quale avvengono le reazioni, in particolare, immaginiamo di avere

N componenti che partecipano a delle reazioni chimiche; vediamo un po’ dov’è l’idealità, è legata

a delle assunzioni.

1. Che il reattore sia perfettamente miscelato, vuol dire che tutte le variabili che definiscono lo

stato di questo sistema assumano, in ogni istante di tempo, lo stesso valore in ogni punto

del reattore, omogeneità spaziale dei valori di concentrazione all’interno del volume.

Quali sono le variabili indipendenti di nostro interesse? Sono le concentrazioni delle N specie

presenti nel volume di reazione nel tempo.

Che cosa vuol dire Batch? È un reattore nel quale si carica un sistema in fase liquida, chiudete

e aspettate, ad es. che la vostra coltivazione cellulare vada avanti.

2. Un’ulteriore ipotesi che dovete introdurre è che noi ci occuperemo di sistemi in un’unica fase,

tutte le specie che partecipano alla reazione di nostro interesse si trovano nella stessa fase,

ma assumendo che all’interno del reattore ci sia solo fase liquida ed è una semplificazione

molto importante, perché voi sapete che c’è, nella maggior parte delle applicazioni, la

presenza di più fasi.

Adesso vogliamo spiegare l’equazione che ci permette di determinare l’evoluzione nel tempo

delle nostre variabili dipendenti di nostro interesse, ovvero le C nel tempo.

i

Tutte le equazioni che governano la dinamica dei sistemi fisici sono EQUAZIONI DI BILANCIO

DI MATERIA, cosa vuol dire? Se io considero un volume, l’equazione di bilancio di materia, si

− + =

scrive in questo modo: .

Noi possiamo scrivere un’equazione di bilancio per ogni N specie, delle specie i, presenti nel

reattore.

La quantità di i-esimo che per unità di tempo entra all’interno di questo volume chi è? Entra

qualcosa? Se considerate come intervallo di tempo quello dal momento in cui abbiamo caricato

fino alla fine, entra qualcosa? NO. Esce qualcosa? NO. Non entra niente e non esce niente. Si

genera qualcosa? SI. Si consuma qualcosa? Il componente si genere, si consuma? All’interno

del reattore avvengono delle reazioni delle specie i, la quale può consumarsi o può essere

generata, può crescere, quindi il termine GEN≠0.

Allora avremo una certa velocità di generazione/consumo, che definiamo r che dimensioni ha

i,

questa velocità? La C intanto che dimensioni ha? Non lo so, ? r che dimensioni avrà?

i i

× ?

IN=0 e OUT=0, invece abbiamo una velocità, relativa alle componenti i-esime, che è r , ovvero

i

moli che per unità di tempo e unità di volume si generano o consumano all’interno del nostro

×

volume, io però sto scrivendo un’equazione di bilancio sul volume, quindi devo fare , in

questo modo si hanno le moli che per unità di tempo si generano all’interno del nostro volume.

× = , che cos’è? È la variazione per l’unità di tempo della massa del componente i

all’interno del nostro volume. È la massa delle componenti i all’istante di tempo (t+Δt).

( ) ( )

=

» velocità di variazione di massa del componente i,

ovvero le moli del componente i che si genera o consuma all’interno di tutto il volume nel corso

dell’intervallo di tempo.

Se faccio questa cosa per un Δt molto piccolo, ottengo l’accumulo istantaneo, ma soprattutto,

lim 0

dal punto di vista matematico, se faccio il di questa quantità qui, cosa ottengo? La

pendenza della retta che descrive l’aumento o la diminuzione della massa, cioè la derivata.

( )−

+ ( )

= ( )

=

Divido per Δt e faccio d indica una variazione molto piccola. La derivata

lim 0 »

è la variazione della variabile indipendente. ( ) ( )

=

Cosa descrive dM(T), cosa descrive? , esprimiamo questo in termini più

interessanti, io vi ho detto che il nostro interesse è andare a determinare Ci(t), la variazione nel

( ) ( )

=

tempo delle N specie presenti nel reattore » =

=

Essendo V costante lo elimino, EQUAZIONE DI BILANCIO

Ovviamente è un’equazione differenziale, in verità, parlando di N specie, abbiamo un set, un

sistema di N equazioni differenziali di incognite C .

i

La soluzione di un sistema di equazioni algebriche che cos’è? Sono numeri reali.

+ = 0,

Un’equazione algebrica è la soluzione di quest’equazione cos’è? Un numero, per

la verità 2, perché ha 2 soluzioni.

Quindi la soluzione del nostro sistema di equazioni differenziali cos’è? Innanzitutto si chiamano

equazioni differenziali perché le nostre incognite, che sono le C , compaiono sotto il segno di

i

derivata, di qui il termine differenziale. Le soluzioni di equazione differenziali sono funzioni, che

è qualcosa di diverso rispetto al numero, che è un valore, la funzione è qualcosa di

completamente diverso, è una corrispondenza univoca tra 2 insiemi, vi danno i numeri, che

assumono valori reali.

LE INCOGNITE SONO LE C

i

Secondo voi posso determinare le C con delle equazioni differenziali scritte con questa formula

i

r ? secondo voi la r dipende da C ? Sicuramente le r sono funzioni delle C . Le nostre equazioni

i i i i i

di bilancio (è al plurale perché le C vanno da C a C )= r C C , quindi fin quando io non ho

i n i i n

l’espressione di r di tutte le incognite C io non potrò risolvere la funzione.

i

LA VELOCITà DI REAZIONE DIPENDE DALLE N SPECIE

Se faccio un esperimento in Batch, sulla base di quello che ci siamo detti, ogni punto in Batch

ci dà informazioni sulla velocità di consumo/generazione delle specie all’interno del volume.

A voi basta sapere, in questo momento, che questi dati sono essenziali per andare

successivamente ad esprimere un’espressione cinetica, un’espressione analitica per la

dipendenza di r dalle concentrazioni C /C (questo è quello che dovete sapere adesso, anche

i 1 n

se non v’illustro come si fa).

Ci siamo detti delle cose importanti:

Queste sono equazioni differenziali

 Le incognite sono delle funzioni e non sono dei numeri, come nel caso delle equazioni

 algebriche

Sono funzioni del tempo



Come possiamo isolare queste incognite? Portate al 1° membro tutte le x (incognite), a questo

punto vi scrivete quella che si chiama equazione caratteristica, che è un’equazione algebrica,

−μ=0 =μ

» + = 0 λ+ =0 =−

» »

1. Prendete l’equazione differenziale lineare completa portando tutti i termini che includono

l’incognita x al 1° membro e lasciando tutto il resto al 2° membro

2. Andate a considerare l’equazione differenziale omogenea associata

3. Scrivete l’equazione caratteristica, che è un’equazione algebrica

Sono infinte le soluzioni che soddisfano queste equazioni differenziali, perché al variare di A

cambia il valore assunto dalla funzione. + μ = 0

Quell’equazione differenziale ammette una sola soluzione, a differenza algebrica

Per ottenere una sola soluzione è necessario l’accoppiare l’equazione differenziale ad una

CONDIZIONE INIZIALE, altrimenti ottengo infinite soluzioni.

Qui stiamo considerato sistemi multicomponente in un’unica fase.

LEZIONE 3

Assunzioni più importanti:

Problemi in un’unica fase

 Sistemi perfettamente miscelati, il che vuol dire che le incognite sono, in ogni istante, uniformi

 nello spazio

Noi faremo sempre riferimento a sistemi nei quali la t può assumersi costante, fissata

 dall’operatore

Sintesi: un reattore Batch, che io descrivo schematicamente come un becker con una paletta

che garantisce l’agitazione, quindi la perfetta miscelazione.

Che cos’è un reattore Batch? È un reattore in cui io carico, chiudo e aspetto.

Si desidera determinare l’equazione del tempo delle variabili che definiscono lo stato del

sistemai sono queste variabili? Sono le concentrazioni delle N specie, che possono essere

nutrienti, metaboliti, biomassa.

Quindi abbiamo N componenti e le nostre incognite sono le C (i= 1…N), come determiniamo le

i

C ? facendo i bilanci di materia.

i − + =

Tutte le equazioni di bilancio assumono la forma

Chiaramente r è la velocità di generazione/degrado della specie i-esima ed approdiamo a

i

questa equazione:

( ) ( )

Δ = (ottengo le moli che compaiono/scompaiono nell’unità di tempo)

lim 0, =

Divido per Δt e faccio ottengo

= =

Tenendo presente che , posso scrivere

Quindi abbiamo un set di N equazioni (equazioni di bilancio di materia parziali), sottolineo che

questa è un’equazione differenziale, non algebrica, quindi le sue soluzioni non sono numeri, ma

sono funzioni, funzioni del tempo, perché il tempo è la nostra variabile dipendente.

La scorsa volta ho dimostrato come un sistema di equazioni differenziali di questo tipo ammetta,

se ben posto, un numero infinito di soluzioni, quindi ci sono infinti set di soluzioni che soddisfano

questo sistema di equazione differenziali ordinarie, si chiamano così perché coinvolgono

equazione differenziali totali, le funzioni incognite sono funzioni di una sola variabile, il tempo.

Abbiamo detto che esistono infinite soluzioni per questo sistema di equazione differenziali, ogni

soluzione è un set di N funzioni [C (t)……,C (t)], per avere una ed una sola soluzione, che risolve

1 n

il nostro problema, che cosa manca? Immaginiamo che la componente sia solo una

( )

=

» , la nostra incognita è C(t). )

+ 2( + 1 = 0,

Se io un’equazione di questo tipo: la posso risolvere? Soltanto se vi do

( ),

l’equazione se non vi do questa espressione non la potete risolvere.

Quindi se devo trovare una C che soddisfa questa equazione, vuol dire che devo trovare una C

− = 0,

che rende nullo il 1°membro di questa equazione se r è un numero non ci sono

problemi, ma se r dipende dalla concentrazione C allora fin quando non vi avrò fornito

un’espressione per r, voi non sarete in grado di calcolare la soluzione di quest’equazione.

Questo è un punto, ma la mia domanda è un’altra. Ora indipendentemente dall’equazione r, se

r è una funzione sufficientemente buona, questa equazione ammette infinite soluzioni, vale a

dire che ci sono infinite funzioni C che soddisfano questa equazione differenziale. Quello che fa

la differenza a questa equazione qua, per avere una ed una sola soluzione, è accoppiare

l’equazione differenziale ad una condizione iniziale.

Sono 2 le cose che vi dovete ricordare:

Le soluzioni dell’equazioni differenziali sono funzioni, non sono numeri

 Per avere una ed una sola soluzione dell’equazione differenziale devo accoppiare delle

 condizioni iniziali ( ) =

In questo caso per risolvere questa equazione differenziale devo scrivere , devo

fissare il valore della mia funzione incognita C in un dato istante di tempo, che definisco lo 0 del

mio sistema. Se io vi do la condizione inziale, allora voi sarete in grado di trovare una soluzione

che soddisfa questo problema, questo viene anche detto problema di condizioni iniziali o

problema di Cauchy.

La scorsa volta vi ho dato la ricetta per risolvere l’equazione differenziale, oggi voglio farvi

vedere un altro approccio per risolverla. =

= μ

Facciamo un esempio: , dove la C è la [biomassa] =μ

Porto a 1° membro tutti i termini che coinvolgono la funzione incognita: =

−μ =0

EQUAZIONE DIFFERENZIALE OMOGENEA − μ = 0 = μ

Scrivo l’EQUAZIONE CARATTERISTICA ASSOCIATA »

( ) ( )=

= ( ) (μ )

Quindi la soluzione della FORMULA GENERALE è »

( ) (μ )

= = 0,

Qual è la funzione particolare della completa? È sempre una funzione

Come determiniamo la costante A? Se non determino questa costante ho infinite soluzioni.

Qual è la derivata della funzione generale rispetto al tempo?

(μ ) − μ

(μ ) − μ (μ ),

Ora sostituisco la C: quanto fa? Fa 0

(0) =

La condizione inziale mi dice quanto fa A, per determinare questa costante devo

imporre che all’istante t=0 la concentrazione assuma un valore ben preciso da me assegnato,

che è l’inoculo che avete messo dentro, e lo sapete! Quindi devo imporre che

(0) (0)

= = =

» ( )

= = exp (μ )

Quindi e

Quanto vale l’exp di 0? Vale 1.

μ

L’espressione è l’espressione che viene utilizzata per determinare la velocità di crescita di

una biomassa nella fase esponenziale. La velocità non è esponenziale, è lineare con la

[biomassa] all’interno del Batch, ma l’applicazione di un’espressione di questo tipo restituisce

un’evoluzione temporale della [biomassa] nel Batch che presenta una forma esponenziale.

Dal punto di vista fisico ci sono dei limiti all’applicazione di crescite esponenziali di questo tipo,

dove sono i limiti? Per t→+∞ la [biomassa] all’interno del Batch è infinita, violando la leggi di

conservazione della massa.

Voglio risolvere questa equazione differenziale in altro modo.

=μ

Io posso risolverla per separazione di variabili. Quali sono le variabili? t→ variabile dipendente

e C→ variabile indipendente.

Separare vuol dire portare a un membro tutte le variabili e far comparire all’altro membro le altre

variabili. = = μ

Se divido C per entrambi i membri e moltiplico per dt ottengo » , ho

fatto comparire la variabile Cal 1°membro e la variabile t al 2°.

A questo punto faccio l’integrale di entrambi i membri. ( )

( ) = =

L’integrale si scrive così , in questo caso

∫

( ) =∫ μ (tra istante 0 e C(t)/tra t=0 e t).

∫

Che cosa significa fare l’integrale? L’integrale si fa calcolando:

La primitiva della funzione, che è la funzione la cui derivata è uguale a f(x), in questo caso 1/C

( ) ( )−

= ( )

∫ Si scrive anche

[ ( )]

dove g è la primitiva della funzione f, vale a dire che è la funzione la cui derivata è la f

Chi è la funzione la cui derivata rispetto a C è 1/C? Il logaritmo naturale di C. Perché se faccio

la derivata rispetto a C del logaritmo naturale di C viene proprio 1/C? Chi è la funzione la cui

derivata rispetto a t è µ? Chi è l’integrale di t?

( ) [ln ] [μ ]

=∫ μ = ln − ln =μ

» »

∫ =

ln =μ

Assunto t=0: »

ESERCIZIO

Prendiamo un reattore Batch all’interno del quale avviene la reazione 2AB (2 molecole di A

reagiscono per darne 1 di B).

= , il quadrato esprime il fatto che si devono incrociare 2 molecole di A per dare B

Scrivere l’equazione di bilancio di materia e risolverla per la data condizione iniziale

(0) = =

EQUAZIONE DI BILANCIO

=−

» (K è una costante per cui è +)

Questa equazione non è lineare perché c’è ( ) ( )= ( )+

+ ( )]

[ è lineare se [ ]=

= = −∫

, faccio l’integrale: → la derivata di

∫ [− ]

? − =

Ora qual è la funzione la cui derivata è Basta che metto il - →

− − − = − + = =−

» » »

>

Per essere soddisfatta la matematica , è normale che la [A] nel tempo sia maggiore

della concentrazione iniziale? A si sta consumando, quindi la sua concentrazione deve

diminuire. Dov’è l’errore? Nell’equazi