Appunti Analisi Vettoriale

Def:

La distanza d:ℝ² x ℝ² = [0,+∞) ai due punti P=(x₁,y₁) e Q=(x₂,y₂) si definisce come ||_VQ

• d(P,Q) = ||(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²

Def:

Un sottinsieme A ⊂ ℝ² si dice limitato se ∃ M > 0 t.c. ∀P ∈ A si ha ||P|| < M.

Proprietà distanza:

1. A. d(P,Q) = 0 sse P = Q
2. B. d(P,Q) = d(Q,P) (Simmetria)
3. C. d(P,Q) ≤ d(P,R) + d(R,Q) (diseguaglianza triangolare)

Def:

Uno spazio metrico è una struttura matematica costituito da una coppia (X,d) con X insieme e d distanza (metrica).

Def:

Una successione {P_n} ⊂ ℝ² è una successione di Cauchy (o successione fondamentale) sse

• ∀ε > 0 ∃m ∈ ℕ t.c. ||P_n - P_m|| < ε ∀n,m > m

Teorema:

1. A. Ogni successione di Cauchy è limitata
2. B. Ogni successione convergente è di Cauchy
3. C. Ogni successione di Cauchy è convergente

Def:

Uno spazio numerato nel quale tutte le successioni di Cauchy sono convergenti si dice spazio completo.

Def:

P è un punto interno ad un insieme S se ∃ ε cerchio un disco aperto di centro P completamente incluso

P è un punto esterno ad un insieme S se ∃ cerchio un disco aperto di centro P che non interseca S o esso tutto

P è un punto di frontiera di un insieme S se ogni S-intorno di P contiene punti di S e punti del complementario di S.

L'insieme dei punti di frontiera è la frontiera di S, ed è indicata F_S o ∂S.

Def:

A⊂ℝ² é un insieme aperto se i suoi punti sono tutti interni

C⊂ℝ² é un insieme chiuso se il suo complementario è aperto

Teorema:

Un insieme A è aperto se A ∩ ∂A = ∅

Un insieme è chiuso se contiene tutti i suoi eventuali punti di frontiera.

Metiche equivalenti

A. d((x₁, y₁), (x₂, y₂))₁ = ||(x₂ - x₁), (y₂ - y₁)||₁ = √x² + y²

B. d₂((x₁, y₁), (x₂, y₂))₃ = ||(x₂ - x₁), (y₂ - y₁)||₂

C. d₃((x₁, y₁), (x₂, y₂))₃ = max (|x₂ - x₁|, |y₂ - y₁|)

R^m ⇒

L'insieme di R^m è dato dagli elementi (x₁, x_n) con x_i ∈ R

Sono penibili: operazioni

A. Somma

(R^m × Rⁿ) → (R^m)

{(x₁, x_n), (x₁, x_n)}

(x₁ + y₁, x_n + y_n)

B. Moltiplicazione per uno scalare

(Rⁿ × Rⁿ) → Rⁿ

(λ, x_n) → (λx_n, λx_n)

R^m è uno spazio vettoriale su avvero

(x₁, x_n), (x₁, x_n) ∈ R^m e α, β ∈ R allora

αx + px = αx_n + βx_n ∈ Rⁿ

Def: Sia F = (x₁, x_n) ∈ R^m si chiama norma (o modulo) di P il numero reale non negativo definito da:

||P|| = √x² + x²

Norma euclidea

Def: Lo spazio vettoriale R^m dotato della norma si dice spazio vettoriale normato

Proprietà della norma

A. ∀P ∈ R^m → ||P||≥ 0 (possitività)

B. ∀P ∈ R^m, λ ∈ R → ||λP|| = |λ|||P|| (omogeneità

C. ∀P, Q ∈ R^m → ||P + v≤ ||P|| + ||Q||

(diseguaglianza triangolare)

Teorema: Equivalenza tra le norme (equilibrio topologico)

Sia ||P|| la norma euclidea e sia ||P|| un'altra norma che soddisfi 3˚ proprietà.

Allora ∃ m, M ∈ ℝ⁺ tc:

m||P|| ≤ ||P|| ≤ M||P||

Dimostrazione:

A. ||P|| = √x² + y² ≤ |x₂| + |y₂| = ||P||₂

||P||₂ = |x₂| + |y₂| ≤ 2 √x² + y² = 2||P||

m||P|| = ||P|| ≤ 2||P||

B. ||P|| > √x₂ + y₂ ≤ 2 max (|x₂|, |y₂|) = 2||P||₃

||P||₃ = 2 √x² + y² = 2||P||

1/2||P|| = ||P||₃≤ 2||P||

Def: Un insieme A ⊆ R^m si dice aperto se x₀ ∈ A ⇒ x₀ intorno.

Ovvero A = Ă

Un insieme A ⊂ R^m si dice chiuso se A^C è aperto.

Si definisce chiusura di A

Ē = Ă∪∂A

Def: Dati i punti x, y ∈ R^m

x = (x₁, ..., x_m) y = (y₁, ..., y_m) poniamo

il segmento che li unisce x^t

la cui equazione è x^t = x + (y-x) ∈ R^m, t ∈ [0, 1]

Grazie al parametro t, il segmento risiede su ordinamento

dei punti.

Def: Dati x₁, ..., x_k e.k. punti di R^m possiamo introdurre l'insieme

k-1

∪ x_ix_i+1

i = 1

poligonale in R^m

Def: Un insieme A si dice convesso se ∀x, y ∈ A x^t ∈ A

Def: Un insieme S si dice convesso per poligonali se ∀x, y ∈ A ∃

una poligonale tutta contenuta in A da partire da x a arrivare

a y.

Teorema: Un aperto A è convesso se e solo se è convesso per poligonali.

Prop: La chiusura di nu aperto convesso è convessa per poligonali.

Teorema: Bolzano-Weierstrass

Sia A compatto allora data una successione {x_k}_k∈N ∈ A

∃ sempre una sottosuccessione estratta da {x_k}_k∈N che

converge ad un elemento μ ∈ A.

Def: Limite di Funzioni

Sia A ⊆ R^m R^p

f: A ⊆ R^m → R^m

x₀ un punto di accumulazione per A.

Diciamo che lim_x→x0 f(x) = ȳ ∈ R^p se ∀ ε > 0 ∃ δ=δ(ε) tt

∀ x∈(Ŝ(x₀) ∩ A) f(x) ∈ I_ε(ộ|)

Equivalente tt ∃ε>0 ∃δ=δ(ε) tt ⩶ x∈A 0