Appunti Analisi Vettoriale

Def: La distanza d:ℝ² × ℝ² → [0, +∞) ai due punti P₁=(x_a,y_a) e Q=(x_a,y_a) è definita come l_a lunghezza del vettore QP

d(P,Q) = ‖P-Q‖ = √( (x_a-x_a)² + (y_e-y_a)² )

Def: Una Sottinsieme A⊂ℝ² si dice P_lviato se ∃ λ > 0  ∋ ∀P ∈ A   x ‖P−M‖ < λ (M ∈ A)

Proprietà della distanza:

• A. d(P,Q)=0 ⇔ P≡Q
• B. d(P,Q) = d(Q,P) (simmetria)
• C. d(P,Q)≤d(P,R)+d(R,Q) (disuguaglianza Triangolare)

Def: Uno spazio metrico è una struttura matematica costituito da una coppia (X,d) col X insieme e d distanza (l0  ∃mε ∋  ( ‖p_n−p_m‖_n,l < ε § ∀m,n>mε

Teorema

• A. Ogni successione di Cauchy è limitata
• B. Ogni successione convergente è di Cauchy
• C. Ogni successione di Cauchy è convergente

Def: Uno spazio normato nel quale tutte le successioni di Cauchy sono convergenti si può sono completo.

Def: P è un punto esterno ad un insieme S se ∃ ci sono un disco aperto di centro P completamente intero ad S.

P è un punto ostacolo ad un insieme S se ∃ ci sono un disco aperto di centro P che non intersecca S ovvero tutto contenuto nel complementare di S.

P è un punto di Rockefeller dell’insieme S se ogni δ-intorno di P contiene punti di S e punti del complementario di S.

L’insieme dei punti di frontiera e la frontiera del S e è denotato col FS o ∂S.

Def: A⊂ℝ² è un insieme aperto se i suoi punti sono tutti interni

C⊂ℝ² è un insieme chiuso se il suo complementatore è aperto.

Teorema:

Un insieme A ≠ ƒ è aperto se A∩∂A = ∅

Un insieme è chiuso se contiene tutti i suoi eventuali punti di frontiera.

Def.

La distanza d: ℝ² × ℝ² → [0,+∞) ai due punti P₁(x_a,y_a) e Q₂(x_b,y_b) si definisce come la norma del vettore Q-P

d(P,Q) = ||P - Q|| = √((x_b - x_a)² + (y_b - y_a)²)

Def.

Una Sottosucc ≤ A ⊆ ℝ² si dice limitata se ∃ M > 0 tc ∀P ∈ A

si ha ||P|| < M.

Proprietà distanza

• A. d(P,Q) = 0 sse P ≡ Q
• B. d(P,Q) = d(Q,P) ( Simmetria )
• C. d(P,Q) ≤ d(P,R) + d(R,Q) ( disuguaglianza triangolare )

Def.

Uno spazio metrico è una struttura matematica costituita da una coppia (X, d) col X insieme e d distanza (metrica).

Def.

Una successione {P_n}∈ℝ² è una successione di Cauchy (o successione fondamentale) sse

∀ε > 0 ∃m∈ ℕ tc ||P_n - P_m|| < ε ∀n,m > m.

Teorema

• A. Ogni successione di Cauchy è limitata
• B. Ogni successione convergente è di Cauchy
• C. Ogni successione di Cauchy è convergente

Def.

Uno spazio normato nel quale tutte le successioni di Cauchy non convergenti si nulla sono completo .

Def.

P è un punto interno ad un insieme S se ∃ ε centro un disco aperto di centro P completamente interno ad S.

P è un punto esterno ad un insieme S se ∃ ε centro un disco aperto di centro P che non interseca S ovvero tutto contenuto nel complementare di S.

P è un punto di frontiera dell'insieme S se ogni δ-intorno di P contiene punti di S e punti del complementare di S.

L'insieme dei punti di frontiera è frontiera di S e è denotata con ∂S o ∂.

Def.

A⊆ℝ² e un insieme aperto se i suoi punti sono tutti interni

C⊆ℝ² e un insieme chiuso se il suo complementare è aperto

Teorema

Un insieme A è aperto se A∩∂A = ø

Un insieme è chiuso se contiene tutti i suoi eventuali punti di frontiera.

Metriche equivalenti

A. d₂((x_e, y_e)) = || (x_e, y_e) ||₂ = √(x² + y²)

B. d₁((x_e