Analisi Matematica III - Appunti

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Revisionato il 21/04/2026

di mazott

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Integrale doppio,curvilineo,di superficie,curva semplice chiusa regolare orientata,frontiere,ascissa curvilinea,forma differenziale esatta,lineare,chiusa,potenziale,teorema …

Esame Analisi Matematica III

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Calabrò Francesco

Università Università degli Studi di Cassino e del Lazio Meridionale

A.A. 2010-2011

147 pagine

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Appunto

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Estratto del documento

Integrali a 1 variabile

\(\int \frac{3x+2}{\sqrt{1-x^2}} \, dx\) = \(\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx + 2 \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx\) = 0 + 2 \(\int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx\) = \(\left[ 2 \arccos x \right]_{-1}^{1}\) = \(2\pi\)

\(\arctg(x)\) → derivata = \(\frac{1}{1+x^2}\)

\(\text{arcsen} x\) → derivata = \(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) (1)

\(\text{arcocs} x\) → derivata = -\(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) (2)

\(\text{arcsen} x + \text{arcocs} x = \frac{\pi}{2}\)

\(\arctg\left(\frac{1}{x}\right)\) → derivata = \(\frac{1}{1+\left(\frac{1}{x}\right)^2} \cdot -\frac{1}{x^2} \cdot (-\frac{1}{x})\) = \(-\frac{1}{1+x^2}\)

La derivata di \(\arctg\left(\frac{1}{x}\right)\) è opposta da quella della \(\arctg x\)

Integrali a 1 variabile

∫_-A^A ^3x+2⁄_√A-x² dx = 3∫_-A^A ^x⁄_√A-x² dx + 2∫_-A^A ¹⁄_√A-x² dx

^x⁄_√A-x² dx = -√A-x² + C = 0 + 2∫_-A^A ¹⁄_√A-x² dx = [ 2 arcsen x ]_-A^A = 2π

arc tg (x) → derivata: ¹⁄_1+x²

arc sen x → derivata: ¹⁄_√1-x² (1)

arc cos x → derivata: - ¹⁄_√1-x² (2)

arc sen x + arc cos x = π/2

arc tg ( ¹⁄_x ) → derivata: - ¹⁄_1+x²

la derivata di arc tg ( ¹⁄_x ) è opposta a quella della arc tg x

arctg x + arctg^(1/x) = ^π/2 questa è una funzione non costante ma che ha derivata nulla. (ciò è possibile poiché l'intervallo NON È CONNESSO [in 0 ho punto di discontinuità])

∫ ^3x+2/_(x+1)³ dx

A/_x+1 + B/_(x+1)² e si può continuare così; ma c'è anche un altro sistema

A/_x+1 + d/dx (B/_x+1) = A/x+1 - B/_(x+1)² = A(x+1)-B/_(x+1)²

A=3 B=1 = 3ln(3) - 1 + 1/₃ = 3ln3 - Δ1 + 1/₃

^{3 ln 3 - 2}/₃

∫ ¹/_(x²+1)² dx

Altro metodo: metodo di Hermite

Si usa quando le radici sono tiple quadrupole. Da le 2 radici doppie (±i ^{presa 2 volte} si inizia e sopra con il normale metodo delle parziali, poi però si somma la derivata di Ax + B; sotto noto il grado una volta all'inizio; relativo di ¹ sopra metto (Cx+D)² e proviene da ¹ grado rispetto al binomio nel denominatore

Formule di Prostaferesi: come ricordarle

Cos(β) - cos(α) = -2 sen _p+q/² sen _p-q/²
Sen(β) - sen(α) = 2 cos _p+q/² sen _p-q/²
Sen(β) + sen(α) = 2 cos _p-q/² cos _p+q/²
Cos(β) + cos(α) = 2 cos _p-q/² cos _p+q/²

Devo sempre a un rapporto incrementale ricordando la derivata di sen e cos

2) faccio un rapporto incrementale ^{sen(β) - sen(α)}/_p-q ≈ cos _p+q/²

\[\sin(P) - \sin(Q) = \cos \frac{P+Q}{2} \cdot 2 \left(\frac{P-Q}{2}\right)\]

→ siccome si cerca di capire 0, è abbastanza sostituire con \(\sin\frac{P-Q}{2}\)

Per evitare di sbagliare il calcolo, il fatto

\[\sin(P) - \sin(Q) = 2 \sin \frac{P-Q}{2} \cos \frac{P+Q}{2}\]

Se non ricordiamo il - per il rapporto incrementale possiamo ottenere considerando che

\[\left\{ \begin{array}{l} \sin(Q) = - \sin(-Q) \\ \cos(Q) = \cos(-Q) \\ \end{array} \right.\]

Formula di riduzione per integrali multipli

\[T = \left\{ (x; y) \in \mathbb{R}^2 \colon a \leq x \leq b, \alpha(x) \leq y \leq \beta(x) \right\}\]

Se consideriamo una funzione f: \[f \colon T \rightarrow \mathbb{R}\]

∏ ∑ \(f(x; y) \, dx \, dy = \int_{a}^{b} \left( \int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} f(x; y) \, dy \right) \, dx\)

Formula di riduzione

Se operiamo con una variabile \(\int_a^b f(x) \, dx\)

Integrale a una variabile

\[\sum_{i = a} \Delta x_i \cdot f(x_i) \\ \approx \int_a^b f(t) \, dx \]

Misura di un insieme bidimensionale → (è l'area della superficie)

↓ la misura di un insieme monodimensionale è la lunghezza

Si fa con (b-a) . (c-a) se l'insieme è un rettangolo

Se l'insieme non è un rettangolo:

Area ∑(∑(∈)) Δx_i Δx_j

Sommataria dei rettangolini che mi danno l'area

∑∑ f(x_i, y_j) Δx_i Δy_j = ⊗ f(x,y) dx dy

⊗ a^b(y)_a(x) dx dy

x² + y² = r²

y =

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