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INTEGRALI A 1 VARIABILE
∫ (3x + 2) / √(1-x²) dx
= 3 ∫ x / √(1-x²) dx + 2 ∫ 1 / √(1-x²) dx
-aa (L'integrale dispari, dunque il integrale fa 0. Questo integrale si inverte:)
∫ x / √(1-x²) dx = -√(1-x²) + C
intervallo tra 1 e -1 esce 0
∫-aa 1 / √(1-x²) dx = [2 arcsenx]-aa = 2π
arctg(x) → derivata = 1 / 1 + x²
arcosenx → derivata = 1 / √(1-x²) (1)
arcocosx → derivata = - 1 / √(1-x²) (2)
arcosx + arcocosx = π / 2
Per ribellare la derivata alla funzione, riferisi al grafico di questa
arctg (1 / x) → derivata = 1 / 1 + (1/x)² • -1 / x² = 1 / 1 + x²
(la derivata di arctg (1/x) è opposta a quella della arctg x)
arctgx + arctg(1/x) = π/2
π/2
questa é una funzione non costante, ma che la derivata nulla.
(Ciò é possibile poiché l'intervallo NON É CONNESSO (in 0 ha punti di discontinuità))
∫3x+2 dx/ (x+1)2
A/(x+1) + B/(x+1)2
e, si può continuare così, ma c'è anche un altro sistema
(A/x+1 + d/dx(B/x+1) =
= (A/x+1 - B/(x+1)2) = A(x+1)/ (x+1)2 - B/ (x+1)2
A=3
B=1
= 3ln(3) -1 + 1/3 = 3ln3 - Δ 1 +1/3
3 ln 3 - 2/3
∫+ ∞ dx / (x2+1) 2
Ax+B/(x2+1) + Cx+D/(x2+1)2
Ax + B
B=0
C=0
D=1
altro metodo: METODO DI HERMIT
si usa quando le radici doppie, triple, quadruple
da lo 2 radici doppie...(±i prese 2 volte)
si inizia fare con il normale metodo della razionale, po però se somma la derivata di ( + sotto scritto il grado di sopra alla funzione relatato di ) sopra metto (Cx+D/y) + parlando da n grando sotto rispetto al grando max del denominatore
Capire quando f:ℝ2→ℝ si può integrare
D=ℝ2
- i punti di max e min sono quelli stazionari
- di non continuità
- di non derivabilità
DC=ℝ2 (insieme chiuso)
- i punti di max e min sono quelli stazionari
- di non continuità
- di non derivabilità
- punti sulla frontiera
Se ho una funzione a 1 variabile limitata se e solo se è integrabile questa funzione
È integrabile secondo Riemann:
cioè siano riusciti di si poter fare la somma integrale inferiore e superiore spezzettando in intervalli [xi;xi+1] la funzione ammette sempre min e max (per Weierstrass)
L'integrale di riemann è l'area del rettangolo
Se ho f:ℝ2→ℝ e voglio capire quando si può integrare estendendo a più variabili è quello fatto per funzioni a una variabile
Estendiamo a dominio DCℝ2 visto che possiamo avere diversi tipi di insiemi
Poi lavoriamo su domini normali
Dominio normale rispetto a x
- Considero D un dominio se è chiuso e limitato
Se la f è positiva ( f(x,y) > 0 ) l'integrale non può mai essere negativo
es.1
D = {(x,y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1 , x3 ≤ y ≤ x2}
∫x3x2 dx dy = ∫01dx ∫x3x2 dy = ∫01 dx [ x - x3 ] =[ x2 ]01 = ⅙+'
es.2
∫01 ∫1/x2x (x6 - x2y) dy dx
= ∫01dx ∫x2x(x6 + x4y) dy = ∫01 dx [ x8 + x3y ]x2x = ∫01(x8 + x5 - x-4) = ⅙'
=⅓(x2 x7 x8-2x8-x6 dx = ⅓/sub+x
Dunque in ogni punto della curva regolare ho la retta tangente (e ciò vuol dire
che non mi sto fermando sul sostegno). Ho quindi il vettore tangente e la
costruisco il regolante ins, perpendicolare de il invilo specie la curva non la
ampieo si punti angolari.
Se ho f: [a; b] → IR con f ∈ C(a';b)
definisco ψ(t) = (t; f(t)) t ∈ [a;b]
il grafico di f → e il sostegno della curva
la tangre del grafico → la tangrt alla curva
ψ e regolare ←→ ψ'(t) = (t; f(t))
ψ'(t) = (1; f(t') ψ (t)'), o≠(0;0) poichè la prima componente è sempre
Dal solo esistere della derivata di ψ posso dire che ψ è regolare
VERSERO TANGENTE alla curva (T)
- si ottiene normalizzando il vettore direzioni della retta tangente
- T = ψ'(t) = (x'(t))/(√x'(t)2 + y'(t)2); (y'(t'))/(√x'(t')2 + y'(t')2) = T
- possiano sempre dividere per questo poiché la curva è regolare e quindi per def √x'(t)2
VERSERO NORMALE alla curva (N)
- é quel versere la quello tangere la retta (N, T) coorate con (x', y' ➟
- Per la definizione si ottipa (N(y')/(√x'(t)2 + y'(t)2); -x'(t)/(√x'(t)2 + y'(t)2) 0 si dice CAMBIAMENTO AMMISSIBILE DI VARIABILE
- S è uno dei confrontanei di variabile e è ammissibile perchè mantiene il verso di percorrenza
la lunghezza di un arco di curva compreso tra i 2 punti P_1 =γ(s_1) e P_2 =γ(s_2) è S_2–S_1
Questo ∫_{S_1} ^{S_2} C ∫_{a} ^{b}
INTEGRALE CURVILINEO
∫_γ f ds integrale curvilineo di f esteso alla curva γ in ds
- La integrale a variabile, se vari l'origina o del esteta, l' integrale è sempre lo stessa
Quello che voglio far qui è la stesso cosa, voglio mostrare l' integrale independent del' origine di γ maço che un curva equivalete esso sempre la stessa cosa, dunque si integrale non dipendela dell' maggio strano pontente;; tale dal verso di riecorrenza di γ
INTEGRALE CURVILINEO DI UNA FORMA DIFFERENZIALE
FORMA DIFFERENZIALE LINEARE
sono oggetti che non sappiamo come funzioni; quelle variabili su un modo lungo x e in un altro lungo y
A⊂ℝ² aperta a(x,y) b(x,y): A → ℝ
queste due funzioni sono dette COEFFICIENTI DELLA FORMA DIFFERENZIALE
l' espressione a(x,y)dx + b(x,y)dy FORMA DIFFERENZIALE LINEARE (dx e dy ora sono operati tra loro)
-Se a,b sono continue, la forma ω(x,y) = a(x,y)dx + b(x,y)dy si dice di classe C⁰ -Se a,b sono dicelessi C¹(A), la forma ω(x,y) si dice di classe C¹(A)
Questi oggetti (forme differenziali) ora li integriamo lungo le curve: γ ⊂ A γ è una CURVA ORIENTATA REGOLARE (una linea anche regolare è tratti, tratti posso spezzarla in ∪ per regolaru)
Definizione: INTEGRALE DELLA FORMA DIFFERENZIALE ω ESSENDO ALLA CURVA ORIENTATA γ:
∫ adx + bdy = ∫[c,d] {a(x(t),y(t))*( x'(t) + b(x(t),y(t))* y'(t)} dt
dove γ è la curva γ: {x(t) y(t) con t ∈ [c,d]
- la curva deve essere regolare perchè devono esistere x'(t) e y'(t) -anche orientata perchè dipende dallo x'(t) e y'(t) da integrale (cioè A, secondo di come percorrere la curva, cambia il segno dell' integrale)
dx -> diventa x'(t) dy -> diventa y'(t)
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