Appunti Analisi matematica 2

Vettori n-dimensionali

• Chiamiamo R^m insieme dei vettori m-dimensionali, quando diciamo che x ∈ R^m, ovvero intendiamo che x è un vettore.
• Il particolare di alcuni dei vettori:

x ∈ R^m, y ∈ R^m, Δ ∈ R

(numero) x_i = (x_i1, ..., x_im)

Componenti (Le componenti di un vettore sono numeri)

N.B.: L’ordine è importante (2,3,1) ≠ (1,2,3)

Che operazioni possiamo fare?

• x + y → Vettore avente come componenti la somma delle componenti:(x₁ + y₁, ..., x_m + y_m)
• λx → Vettore avente come componente il prodotto di un numero per un vettore:(λx₁, ..., λx_m)

Norma di un vettore (modulo di un vettore)

La norma di un vettore si indica || x || ed è, per quanto possibile, la distanza del punto P dall'origine.

Teorema di Pitagora

Se il punto P posso identificarlo come la somma vettoriale.

N.B.: La norma è ≥ 0 per i vettori, quando il valore assoluto è l'area in numeri.

Quando si ha la norma del vettore (supponiamo P)

Per conoscere la distanza tra i punti P e Q (vettori):

• dist (P, Q) = distanza tra P e Q, ovvero, tra x e y

dist (x, y) = √((x₁ - y₁)² + (x₂ - y₂)² + ... + (x_m - y_m)²)

La distanza è la norma differenza dei vettori

OSS: la distanza tra x e y è uguale alla norma del vettore

x-y=(x₁-y₁, x₂-y₂,…, x_m-y_m)

PRODOTTO SCALARE TRA DUE VETTORI x e y

Il prodotto scalare tra x=(x₁, x₂,… , x_n) e

y=(y₁, y₂,… , y_n) è il prodotto degli n componenti dei vettori. Il risultato

è un numero:

x∙y = x₁y₁+ x₂y₂+… + x_my_m

COSA COLLEGA LA NORMA CON IL PRODOTTO SCALARE?

La norma di un vettore è uguale alla radice di un prodotto scalare del

vettore con se stesso.

‖x‖= √(x∙x) —> ‖x‖²

COSA COLLEGA LA DISTANZA CON IL PRODOTTO SCALARE?

La distanza di due vettori è uguale alla radice del prodotto scalare

del vettore (x-y)∙(x-y)

‖x-y‖ = √(x-y)∙(x-y) = √(x₁-y₁)∙(x₁-y₁) + (x₂-y₂)+…+ (x_y-y_y)=

= √(‖x‖² + ‖y‖² - 2(x∙y))

GEOMETRICAMENTE PARLANDO, IL PRODOTTO SCALARE

x∙y = ‖x‖ ‖y‖ cosθ

COSA VUOL DIRE SE IL PRODOTTO SCALARE TRA x e y = 0 ?

CASO BANALE → x=0

y=0

VETTORE NULLO COMPONENTI=0

SE x≠0 e y≠0 x∙y=0 (⇔) x e y sono perpendicolari

(θ=90 —> cos90=0)

COME SI DETERMINA IL DOMINIO DI UNA FUNZIONE A 2 VARIABILI

Data una funzione z = f(x, y) ma non viene messa informazione del dominio,allora il dominio sarà dato da tutti i punti del piano x-y (cioè insiemise si trova) nei quali la funzione può essere definita.

Ci hanno due situazioni in cui una funzione f non può essere definitain un punto (x₀, y₀).

• f(x₀, y₀) non è un numero reale
• g(x₀, y₀) assume valori ∞ o -∞

ESEMPIO 1

Sia data una funzione z = f(x, y) = x³ + x y₄

È definita per tutti i valori di x e di y, perché qualunque sia lacoppia (x, y), la funzione assume sempre valori reali.

ESEMPIO 2

Sia z = g(x, y) = 5 - (1 - x y) con 0 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ 2 - x y³

In tale caso, la funzione è assegnata su uno specifico dominio,quindi anche se la funzione è ben definita per tutti i valori di xe di y, il dominio in cui va studiata e i dato, vada a direx ϵ [0, 2] e y ϵ [0, 3], quando x = 0, mentre x = 2, e y = 0ciò significa che l'insieme di definizione è dato dal triangolodi estremi (0, 0), (0, 2), (2, 0)

Limite di una funzione di più variabili

Consideriamo una funzione di più variabili f(x,y).

Diciamo che il limite della funzione f(x,y)=L( per (x,y) che tende a (x₀,y₀) e scriviamo:

lim_{(x,y)→(x0,y0)} f(x,y) = L

• =∞
• =−∞
• N.E.

Se tutti i punti di aplame intorno di (x₀,y₀), senza considerare il punto (x₀,y₀) appartenogano al dominio della funzione e se f(x,y) tende a L quando (x,y) tende a (x₀,y₀), più vicino e il punto (x,y) a (x₀,y₀), più il valore della funzione tende al valore del limite.

Definizione

Siano dati una funzione f: I→ℝ, con I⊆ℝ, e il punto di accumulazione per I, L∈ℝ, diciamo che:

lim_{(x,y)→(x0,y0)} f(x,y) = L

Sè:

• Ciascun intorno di P₀ contiene punti del dominio di definizione dell I (unica eccezione può essere data dal punto P₀).
• Se e solo se, ∀ɛ>0, ∃δ>0 t.c. se α(|x−k|)=(y−y₀), s.d. allora |f(x,y)−L|0, ∃δ>0 t.c. ∀P∈I, P₁<δ⇒|f(P)−L|<ɛ, qualunque sia il punto P∈I.

Dimostrazione esistenza del limite:

lim_{(x,y)→(0,0)} x_y² / (x⁴+y²) = 0

F.I 0/0 → 0

x²y² ≤ x²(x² + y²)

[quando x² <= (x⁴ + y²)]

Teorema del confronto

x_y² / (x⁴+y²) > -|x|

-x < |x|

…

|x| < 0 …

…

Per il teorema del confronto (analisi) tende a 0 quando (x,y) → (0,0)

RICAPITOLANDO

FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI

(x, y)

(x, y, z)

(x₁, x₂, x₃, ..., xₙ)

(x)

x ∈ ℝ^m

DERIVATA DIREZIONALE

∂/∂x (₀, ₀) = lim ( → 0) [(₀ + ℎ) - (₀, ₀)]/ℎ

= (, )

² + ² ≥ 0

lim (ℎ → 0) [(₀ + ℎ, ₀ + ℎ) - (₀, ₀)]/ℎ

GEOMETRICAMENTE INDICA LA DIREZIONE AL PUNTO (₀, ₀)

DEFINIZIONI IN NOTAZIONE VETTORIALE

• Sia : ℝ^m → ℝ
• Sia ∈ ℝⁿ
• VETTORE FISSATO (ABBIAMO SEGMENTO) (₀, ₀)
• Sia ∈ ℝ^m
• DIREZIONE || = 0
• - NUMERO

lim (ℎ → 0) [(₀ + ℎ) - (₀)]/ℎ

DERIVATA DIREZIONALE CON VETTORE

DERIVATA PARZIALE RISPETTO A X_i: i-ESIMA COMPONENTE IN ℝ^m

Poniamo ₁, ₂, ..., ₙ BASE CANONICA DI ℝⁿ

₁ (1, 0, ..., 0) ₁ (0, ,... 0, 1)

lim (ℎ → 0) [(₀ + ℎ) - (₀)]/ℎ

AGGIUNGO ℎ ALL'I-ESIMA VARIABILE E LASCIO LE ALTRE INVARIATE