Appunti Analisi matematica 2

SUCCESSIONI DI FUNZIONI (Appunti scritti da Giovanni Celentano)

→

CONVERGENZA PUNTUALE

converge puntualmente ad se: (fissato un nel dominio di )

ѵ > ѵ => | − | <

per ogni positivo esiste un naturale tale che, per ogni

, ,

per capire: considerata la funzione limite, consideriamo un intorno tubolare di di raggio definito da

[ + , − ] . . , ѵ

lungo tutta Fissiamo un punto Ora, scelto un qualsiasi valore di si trova un valore

)

(di tale che, per ogni più grande, la del punto fissato si trova all'interno dell'intorno tubolare.

lim ()

se esiste ed è finito, è la funzione limite

→∞

intervallo di convergenza: dominio della funzione limite.

=>

CONVERGENZA UNIFORME

converge uniformemente ad se:

ѵ > ѵ => | − | <

per ogni positivo esiste un naturale tale che per ogni , per ogni nel dominio.

per capire: ora non si parla più di un punto fissato, ma di tutto il grafico di . Si determina, quindi, un

. ѵ ѵ

intorno tubolare di di raggio Si determina poi un tale che, per ogni valore superiore a , tutta si

trovi all'interno dell'intorno. ()

| () − ()| < | − ()| → 0

o anche se il

è possibile verificarlo in diversi modi:

| () − ()| ) → ∞

-Maggiorare con una successione (indipendente da infinitesima per

| () − ()|

-Altrimenti, derivare e ricercarne il (derivata positiva e poi negativa),

. → ∞

sostituendolo poi al posto della Calcolare dunque il limite per della successione numerica

ottenuta.

E' possibile, in alcuni casi, ridurre il dominio fissando un valore "a" reale, che sia il massimo finito.

Se è impossibile trovarlo, la funzione non converge uniformemente.

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SERIE DI FUNZIONI (),

Data una successione di funzioni la somma di tutte le funzioni che la compongono, ovvero

() + ()+. . . + () definisce la successione delle somme parziali:

1 2

= ()

1 1

= () + ()

2 1 2

... =1

∑

() ()+ () ()

= + . . . + =

1 2

=1 ∞

∑ ∑

() ()

lim =

Serie di funzioni:

=1

→∞

() − ()

resto ennesimo:

per capire: la serie è una somma di infiniti termini. La successione di somme parziali rappresenta lo

→ ∞.

strumento attraverso cui è possibile studiare la serie, calcolandone il limite per lim = 0

NOTA: la condizione NECESSARIA di convergenza di una serie numerica è che il

→∞

NOTA: Quando possibile, ricondursi a serie di potenze. , .

NOTA: La somma di una serie di funzioni reali e continue in insieme di definizione, è continua in

CONVERGENZA PUNTUALE (in un punto fissato)

()

lim = () (() è la somma della serie)

→∞ ,

Dovendo fissare il punto la serie diventa una serie numerica. Pertanto, la si può trattare come tale:

applicare prima uno dei criteri di convergenza e poi determinare i valori della per la convergenza.

opzioni possibili:

1) Tentare di ricondurre la serie ad una serie di potenze ponendo “espressione con x” = t.

2) Se di segno alterno, studiarne la convergenza assoluta (se non converge assolutamente, nulla si può dire)

3) Se di segno alterno e non converge assolutamente, applicare leibniz (se possibile)

∑(−1)

Applicazione del criterio di leibniz: data una serie del tipo

(−1)

lim = 0

a) verificare che (quindi, togliendo il );

→∞ +1

< − < 0 <1

b) verificare che e quindi che o anche che

+1 +1

Se valgono queste due condizioni, allora la serie converge.

NOTA: Il criterio di Leibniz è una condizione SUFFICIENTE.

4) Se è a termini positivi, applicare uno dei criteri e determinare i valori della affinchè la serie converga.

CONVERGENZA ASSOLUTA

∞

∑ | ()|

Si ha se converge puntualmente

=1

NOTA: Se la serie non converge assolutamente, non si può dire se essa converga puntualmente o no.

In quel caso, applicare (se possibile) il criterio di Leibniz.

CONVERGENZA UNIFORME ()

=> | − ()| → 0

Si ha se ovvero se

() ().

NOTA: in generale, non si può ricavare esplicitamente la successione e quindi nemmeno

Quindi, per studiare la convergenza uniforme, si studia quella totale.

CONVERGENZA TOTALE (due modi) ∞

∑

= | ()|

sia finito, si ha convergenza totale se converge puntualmente

=1

| ()| ≤

(ovvero, se e la serie di termine generale (positiva) è convergente)

vi sono due modi per studiare la convergenza totale: ()|

| , , ()

1) sostituire alla il suo valore massimo: derivare rispetto alla trovare il sostituirlo a e

osservare se la serie converge (ricordarsi di eliminare il valore assoluto dopo essersi accertati che

l'espressione è tutta positiva) ∞

∑

| ()|

2) maggiorare con una successione a termini positivi e verificare che converga.

=1

NOTA: Si osserva che, in questo caso, la serie si studia attraverso il termine generale la cui espressione

esplicita è sempre nota.

TEOREMI DI INTEGRAZIONE E DERIVAZIONE PER SERIE

[, ]

Siano successioni di funzioni continue definite in

,

-Se la serie di termine generale converge uniformemente a allora l'integrale di è uguale alla

sommatoria degli integrali delle funzioni (integrale della somma è uguale alla somma degli integrali)

[, ]

Siano successioni di funzioni derivabili con derivata continua in

,

-Se la serie di termine generale converge uniformemente a allora la derivata di è uguale alla

sommatoria delle derivate delle funzioni (derivata della somma è uguale alla somma delle derivate)

SERIE DI POTENZE

,

dato un punto di data successione di numeri reali, si definisce serie di potenze di coefficienti e

0

punto iniziale la seguente serie:

0

+∞

∑ ( )

−

0

=0

NOTA: nel punto , la serie converge sempre ad e l'insieme di convergenza è non-vuoto.

0 0 0, = +

NOTA: E' sempre possibile ricondursi ad una serie di potenze di punto iniziale basta porre 0

( ≥ 0)

dato raggio di convergenza

= 0,

1) se la serie di potenze converge puntualmente solo in 0

= +,

2) se la serie di potenze converge

- puntualmente in ogni di [ − , + ] > 0

- totalmente in ogni intervallo chiuso e limitato con

0 0

0 < < +,

3) se la serie di potenze ( − , + )

- converge assolutamente nell'intervallo 0 0 [ − , + ] 0 < <

- converge totalmente in ogni intervallo chiuso e limitato con

0 0

| − | >

- non converge in alcun punto x tale che 0

= − = + .

nulla si può dire se oppure

0 0

Bisogna verificare manualmente: sostituire alla gli estremi e verificare se la serie converge.

NOTA: Se ci si è ricondotti ad una serie di potenze da una serie di funzioni, il raggio di convergenza deve

essere espresso in termini di ma, per valutare il comportamento della serie negli estremi, utilizzare il .

raggio di convergenza in termini della nuova variabile di sostituzione () ed operare sulla serie ottenuta in

CRITERIO DI CAUCHY HADAMARD (DELLA RADICE)

+∞

∑ ( )

−

Sia una serie di potenze di punto iniziale .

0 0

=0 1

lim | = =

Se esiste il allora

√|

→∞

(vale anche se è infinito o zero, in quel caso le relazioni sono al limite)

CRITERIO DI D'ALEMBERT (DEL RAPPORTO)

0

Data una serie di potenze di punto iniziale con diverso da per ogni appartenente ad

0

1

+1

lim | | = =

Se esiste il allora

→∞

(vale anche se è infinito o zero, in quel caso le relazioni sono al limite)

CRITERIO DI ABEL (CONVERGENZA UNIFORME)

| − | < ,

Data una serie di potenze convergente per 0

= +

1) se la serie converge in 0 ( − , + ]

allora la serie converge uniformemente in 0 0

= −

2) se la serie converge in 0 [ − , + )

allora la serie converge uniformemente in 0 0

= − , = +

3) se la serie converge in 0 0

[ − , + ]

allora la serie converge uniformemente in 0 0

SERIE DERIVATA E SERIE INTEGRALE

+∞

∑ ( )

−

Data una serie di potenze , si definisce:

0

=0

+∞ −1

∑ ( )

−

serie derivata: 0

=0

+∞ +1

∑ ( )

−

serie integrale: 0

=0 +1

TEOREMI DI DERIVAZIONE E INTEGRAZIONE PER SERIE DI POTENZE

> 0, ( − , + )

Data una serie di potenze di raggio allora, per ogni in 0 0

-la sua serie derivata ha lo stesso raggio di convergenza della serie di partenza

-la funzione somma della serie di potenze è derivabile e la sua derivata è uguale alla serie derivata

-la sua serie integrale ha lo stesso raggio di convergenza della serie di partenza

-la funzione somma della serie di potenze è integrabile e la sua primitiva è uguale alla serie integrale

() = .

NOTA: dicendo "funzione somma" si intende: porre

Per capire: il teorema ci dice che è possibile, in determinate condizioni, portare il segno di integrale e

derivata all'interno della sommatoria.

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COORDINATE POLARI

= () ≥ 0 0 ≤ < 2

nota: e

= ()

2 2

= + (, )

√ ovvero la distanza fra l'origine degli assi ed il punto

(0,0) (, )

è l'angolo che la semiretta generata da e crea con l'asse delle ascisse.

Jacobiano =

COORDINATE SFERICHE

se fi rappresenta la colatitudine:

= ()() ≥ 0, 0 ≤ < 2, 0 ≤ ≤

con

= ()()

= () 2

()

Jacobiano =

se fi rappresenta la latitudine:

= ()() ≥ 0, 0 ≤ < 2, − /2 ≤ ≤ /2

con

= ()()

= ()

COORDINATE CILINDRICHE

= () ≥ 0, 0 ≤ < 2,

con finito

= ()

=

Jacobiano =

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FUNZIONI A DUE VARIABILI

immagine di una funzione (sottoinsieme del codominio generato da tutti i valori che la funzione assume)

metodo 1: determinare i valori di per cui le curve di livello non sono un insieme vuoto, ovvero, porre

(, ) = , .

isolare la e calcolare il dominio della funzione dipendente da e da

metodo 2: calcolare il minimo ed il massimo della funzione che saranno gli estremi dell'intervallo immagine

(se è continua)

ESISTENZA DEL LIMITE (condizione necessaria, dimostra solo la eventuale non esistenza del limite)

( ):

lim (, ), ,

Per calcolare sostituire alla il fascio di rette passanti per 0 0

(,)→( )

,

0 0

)

= + ( − −> .

e calcolare il limite per . Il limite non deve dipendere da

0 0 0

lim (, ) lim ( , )

oppure valutare se sono uguali e

0 0

−> −>

0 0 ( ),

,

NOTA: per avere un quadro completo del limite lungo tutte le rette per utilizzare il metodo del

0 0

= 0

fascio e poi verificare il limite sulla retta (sull'asse delle ascisse) che altrimenti non verrebbe

lim (0, )

considerato: −>

0

CALCOLO DEL LIMITE |(, ) − |

metodo 1: maggiorare l'espressione con una funzione che tenda a zero e che non dipenda da

(coefficiente angolare) |((), ()) − |

metodo 2: passare a coordinate polari, maggiorare l'espressione con una

.

funzione che tenda a zero che dipenda solo da

CONTINUITÀ ( ) )

, lim (, ) = ( ,

la funzione è continua in se

0 0 0 0

)

(,)−>( ,

0 0 ( )

,

o anche se per ogni epsilon positivo esiste un intorno di raggio di tale che

0 0

|(, ) − ( , )| <

0 0

LIMITATEZZA

stimare la funzione (se è un rapporto) , ,

valutare il limite agli estremi del dominio, prima sull'asse delle poi su quello delle poi sulla bisettrice

ecc..

CURVE DI LIVELLO

(, ) =

porre isolare la (o la se più comodo) nella funzione e trovare la curva che dipende da

) .

(rispettivamente da e 2 2

+ =

(riconoscere i casi in cui si trova che è una funzione radiale)

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DERIVATE PARZIALI ,

derivare rispetto alla considerando la costante e viceversa

il gradiente è il vettore che ha per componenti le derivate parziali

NOTA: la derivabilità parziale non implica la continuità

DIFFERENZIABILITA'

una funzione è differenziabile in un punto se in quel punto

1) è continua

2) è derivabile parzialmente [()−( )−( )(− )]

0 0 0

= (, ) = ( , ) lim =0

3) dato e esiste il

0 0 0 ||

||−

→ 0

0

)−f (x )h−f (x )k]

+h,y +k)−f(x ,y ,y +y

[f(x

0 0 0 0 x 0 0 y 0 0

lim =0

ovvero: 2 2

√h +k

(h,k)−>(0,0)

( ) = ( ) + ( )

NOTA: 0 0 0

se è differenziabile in , in tale punto è approssimabile con un piano tangente

0

TEOREMA DEL DIFFERENZIALE

è differenziabile in se le derivate parziali sono continue in .

0 0

(, ) ( , )

EQUAZIONE DEL PIANO TANGENTE a in 0 0

= ( , ) + ( , )( − ) + ( , )( − )

0 0 0 0 0 0 0 0

DIFFERENZIALE DI UNA FUNZIONE ′ ()∆

= ∆)

definizione di differenziale: (derivata prima calcolata nel punto per l'incremento

= (, )∆ + (, )∆+ . . . + (, )∆

a più variabili:

= ()−> = ′∆ = ′()∆

sostituzione di una funzione:

DERIVAZIONE DELLE FUNZIONI COMPOSTE

() = ((), ()) ′() = ((), ())′() + ((), ())′()

Data la sua derivata è:

((), ()) )

(derivare la funzione ottenuta sostituendo alla e alla le loro parametrizzaz. rispetto a

DERIVATE DIREZIONALI

(, ),

dato un punto la drivata direzionale nel punto vale:

[f(x+ta,y+tb)−f(x,y)]

lim = (, )

con vettore di modulo 1

t

→0

DERIVATA DIREZIONALE DI UNA FUNZIONE DIFFERENZIABILE

(basta che le derivate parziali siano continue nel punto)

(, )

sia differenziabile in = (, )

allora essa ammette derivata direzionale per qualsiasi direzione ed essa sarà:

= (, ) + (, )

(nota: verificare che abbia norma 1)

DERIVATE SUCCESSIVE (teorema di Schwartz)

(, ) ( , ).

data una funzione ed un punto 0 0 ( ),

,

se ed (derivate seconde miste) so