Appunti Analisi matematica 2

PARAMETRIZZAZIONE

Circonferenza

= + () 0 ≤ ≤ 2

= + ()

ellisse

= + ()

= + ()

VERSO DI UNA CURVA

( , ( )) ( , ( ))

segue se segue

1 1 1 0 0 0 1 0

[, ] (): [, ])

CURVE EQUIVALENTI ((): e 1

() () : [, ]−> [, ]

le curve e si dicono equivalenti se esiste una funzione di classe e

[, ] () = (()) [, ] [, ])

strettamente monotona su tale che ( associa ad ogni in un in

()

trovo una funzione (strett. monotona) che assuma i valori di al variare di nel suo insieme di

definizione.

NOTA: due curve equivalenti hanno sempre lo stesso sostegno.

′()

se è positiva (la derivata prima), le due curve equivalenti avranno stesso verso.

Per capire: due curve equivalenti hanno, di differente, soltanto il parametro () ed il suo dominio, ma le

funzioni sono le stesse () = ( (), (), . . . , ())

LUNGHEZZA DI UNA CURVA (solo se la curva è regolare) 1 2

1′2 2′2 ′2

()

= ||′()|| = √ + () + . . . + () ′()

(attenzione, è la derivata)

∫ ∫

0

, ||′()||

ASCISSA CURVILINEA: integrale ristretto a : ∫

0 1 1

′() ()

VETTORE TANGENTE: (vettore che ha per componenti le componenti derivate di )

′()

VERSORE TANGENTE: || ′()||

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INTEGRALE CURVILINEO

()

data una curva (determinarne una parametrizzazione in se essa fosse espressa in forma cartesiana)

verificare la sua regolarità, calcolare il vettore derivata e calcolarne la norma.

∫ = ∫ (()) ∗ ||′()||

NOTA: Se F è un campo di forze e la curva è chiusa, utilizza gauss green.

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CURVE DI LIVELLO 2

(, ), (, ) = 0

presa una funzione ponendo (tagliandola con )

= ℎ() = ()

si definisce implicitamente una funzione o viceversa, una funzione

TEOREMA DEL DINI (sotto opportune condizioni si può esprimere una variabile in funzione dell'altra)

2 ( )

,

Sia un aperto di e un punto di

0 0

1

()

sia una funzione di classe

( , ) = 0 ( , ) ≠ 0.

0 0 0 0 , ℎ(): −>

allora esistono due intervalli reali tali da contenere e ed esiste un'unica funzione

0 0

1

ℎ( ) =

appartenente a tale che 0 0

, , (, ℎ())

ovvero nell’intervallo si può considerare funzione di una variabile e diventa

ℎ è derivabile nel rettangolino e vale

( )

,

0 0

ℎ′( ) = −

0 ( )

,

0 0

2 2

−2 +

( ))

ℎ′′( ) = − ,

(tutte calcolate nel punto

0 0 0

3

(0)

ℎ

=0

∑ di punto iniziale

Formula di taylor: (0)

!

APPLICAZIONE DEL TEOREMA:

()

Calcolare 2 2

(, ) ( , )

data definita in un aperto sottoinsieme di ed un punto di , verificare che

0 0

( , ) = 0

0 0

( , ) ≠ 0

0 0 (, ) = , (, ) − = (, ) (, )

Nota: nel caso in cui fosse porre e quindi applicare il teorema a

Per determinare la natura di un determinato punto dato , applicare la formula della derivata prima

0

( , )

calcolata in 0 0

Nel caso in cui questa sia uguale a zero, calcolare la derivata seconda e la sua positività per stabilire se è un

max o min. ℎ() (, ) = 0.

l'espressione di si può sempre lasciare in modo implicito come

la derivata prima e la derivata seconda si calcolano attraverso le formule.

ℎ(), ℎ′() ℎ′′(),

una volta dotati di e è possibile applicare taylor

(, ) = 0

(la formula ha punto iniziale , ricavare dall’espressione )

0 0

(, ) = ( , )

Equazione della retta tangente alla curva nel punto

( )

,

′ 0 0

( )( )

= + ℎ − → = − ( − )

L’equazione della tangente è 0 0 0 0 0

( )

,

0 0

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ESTREMI VINCOLATI

voglio trovare il massimo e il minimo di una funzione su una curva scelta

-parametrizzare la curva (se possibile) ponendo il vincolo uguale a zero;

(porre una funzione uguale a zero, significa tagliare il suo grafico tridimensionale con il piano ottenendo

l'intersezione.) , ;

-isolare una delle due variabili, ad esempio la in funzione di

,

-sostituire la con il parametro e determinare la in base all'espressione trovata;

= , = )

(si otterrà per es. espressione con

-sostituire i parametri nella funzione, derivare e calcolare gli estremi (segno della derivata) trovando il

),

punto di massimo o minimo (valore del parametro sostituire nella curva per trovare le coordinate del

punto, sostituire queste ultime nella funzione trovando i valori del massimo e del minimo.

TEOREMA DEI MOLTIPLICATORI DI LAGRANGE

1 1

(), (),

(, ) = 0

Data dato un vincolo non parametrizzabile tale che la condizione

( , )

necessaria affinchè sia un punto di estremo relativo per ristretta al vincolo dato è:

0 0

( , ) = 0

1) e derivate parziali non nulle

0 0

(, , ) = (, ) − (, ) ( , , )

2) esiste tale che il gradiente della funzione sia nullo in

0 0 0 0

Risolvere il sistema di tre equaz a tre incognite:

(x, (x, (x,

L y, λ) = 0 f y) − λ g y) = 0

x x x

(x, (x, (x,

L y, λ) = 0 f y) − λ g y) = 0

{ {

per definizione =>

y y x

(x,

L y, λ) = 0 (, ) = 0

λ λ)

le soluzioni per e (eliminando sono punti critici

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FORME DIFFERENZIALI

(una forma differenziale è da considerarsi come un lavoro infinitesimo lungo componenti)

= (, ) + (, ) , : , ,

sottoinsieme aperto di continue su A

INTEGRALE DI UNA FORMA DIFFERENZIALE SU UNA CURVA

() = ((), ())

Data una curva regolare a tratti, l’integrale di omega esteso gamma è:

′ ′

() ()

= ((), ()) + ((), ()) [, ]

intervallo di definizione di

∫ ∫

NOTA: se la forma è esatta, vai al teorema fondamentale per gli integrali curvilinei.

l'integrale è uguale se calcolato su curve equivalenti che hanno stesso verso. Se hanno verso opposto,

l'integrale è opposto. (, ) (, )

DOMINIO: sistema tra i domini delle due funzioni e

=

FORMA DIFFERENZIALE ESATTA: se esiste tale che

(il differenziale di è uguale a omega; è detta primitiva o potenziale di omega)

NOTA: Se una forma differenziale è esatta, il campo associato alle sue funzioni è conservativo.

(Se consideriamo le due funzioni come due forze e , il campo di forze sarà conservativo)

1 2 =

FORMA DIFFERENZIALE CHIUSA: se le derivate parziali in croce coincidono;

3

,

in , una forma è chiusa se il seguente determinante, il ROTORE DI è nullo:

| | Se la curva è chiusa, il campo si dice IRROTAZIONALE.

1 2 3

,

(, sono i versori degli assi)

, , )

(, rappresentano qui i simboli di derivazione rispetto a e

, ,

( sono le componenti della forma differenziale)

1 2 3

INTEGRALE DI UNA FORMA DIFFERENZIALE ESATTA (teorema fondamentale per gli integrali curvilinei)

Sia una forma differenziale esatta in sottoinsieme di e sia una sua primitiva.

sia una curva regolare con sostegno in di punto iniziale e punto finale

1 2

) )

= ( − (

allora: ∫ 2 1

NOTA: se la curva è chiusa, l'integrale di omega esteso alla curva gamma è NULLO.

FORME DIFFERENZIALI RADIALI ||

≤ ≤ , ≥ 0)

dato un dominio a corona circolare ( generico punto di tale che

2 2

(||) (|| = + )

√

una funzione del tipo si dice radiale.

= (||) + (||)

una forma differenziale del tipo si dice radiale.

NOTA: una forma radiale è sempre esatta. 2 2 2 2

(√ + ) + = .

√

Per calcolare la primitiva di una forma radiale, isolare la funzione e porre

2 2 2

+ = → 2 + 2 = 2 → + =

Differenziare:

Sostituire i termini in blu nella forma differenziale e integrare rispetto ad

2 2

, +

√

Sostituire ad nella primitiva, il suo valore in coordinate cartesiane .

NOTA: è possibile che la forma differenziale non sia centrata nell'origine.

2 2

) ( )

= − + −

√(

In tal caso, 0 0

FORMULA DI GAUSS-GREE