Appunti analisi matematica 2

Ellisse e Iperbole

Ellisse

Fuochi: F₁=(-c,0), F₂=(c,0).
Supponiamo che a > b, quindi ha i fuochi sull'asse delle x:
^x/_a + ^y/_b = 1 , c = √(a²-b²).

Iperbole

Se l'iperbole interseca l'asse delle x:
^x/_a - ^y/_b = 1, y = ± ^b/_a x,
F₁=(+c,0), F₂=(-c,0), c = √(a²+b²).

Seconda equazione:
x²/a² - y²/b² = 1
y = ±b/a x,
F₁ = (0,c), F₂ = (0,-c).

Parabola

y = ax² + by + c → asse parallelo all’asse y
V = (-b/2a | -Δ/4a) vertice
F = (1/4a | -b/2a) fuoco
x = -b/a asse, y = -(1+Δ)/4a direttrice

x = ay² + by + c → asse parallelo all’asse x
V = (-Δ/4a | -b/2a) vertice
F = (1-Δ/4a | -b/2a) fuoco
x = -(1+Δ)/4a direttrice, y = -b/2a asse

Riconoscere una curva

a₁₁x² + 2a₁₂xy + a₂₂y² + 2a₁₃x + 2a₂₃y + a₃₃ = 0

M = ( a₁₁   a₁₂   a₁₃
a₁₂   a₂₂   a₂₃
a₁₃   a₂₃   a₃₃ )

M₃₃ = ( a₁₁   a₁₂
a₁₂   a₂₂ )

• se det M₃₃ > 0 e a₁₁ det M ≤ 0 → ellisse
• se det M₃₃ ≥ 0 e a₁₁ det M > 0 → insieme vuoto
• se det M₃₃ < 0 → iperbole
• se det M₃₃ = 0 → parabola

Funzioni di due variabili

f: A ⊆ ℝ² → ℝ
(x, y) ∈ ℝ² → f(x, y) ∈ ℝ = z

Topologia

A aperto ⇔ ∀(x, y) ∈ A, ∃B((x,y), δ) ⊆ A

Limite:
Punto di accumulazione per A(x₀, y₀) è un punto di accumulazione per A
∀B((x₀,y₀), δ)∃(x,y) ∈ A ∩ B((x₀,y₀), δ)(x,y) ≠ (x₀,y₀)

Se (x₀, y₀) è un punto di accumulazione per A:
lim_{(x,y)→(x0,y0)} f(x,y) = l ∈ ℝ ⇔∀ε>0 ∃δ>0 t.c.|f(x,y) − l| < ε,
∀(x,y) ∈ B((x₀,y₀), δ) − {(x₀,y₀)}

⇒∀(x,y) ≠ (x₀,y₀) / (x−x₀)² + (y−y₀)² < δ
⇒ che è la norma (distanza dal centro)
⇒ ||(x,y) − (x₀,y₀)|| ⇒ ||(x−x₀),(y−y₀)||

Esercizio

(1) f(x,y) = ^x/_√(x²+y²) ℝ² \{(0,0)}

Dimostrare che il limite è 0:
|f(x,y) - ℓ| < ε
|^x/_√(x²+y²)| = |^x²/_x²+y²| = √(x²+y²)

Basta dimostrare tendere questa quantità primo di ε grandi o (x,y) ∈ B((x₀,y₀), δ)∃
δ t.c. √(x²+y²) < ε
∀ (x,y) ∈ B((x₀,y₀), δ)√(x²+y²) = δ
δ = ε

(2) lim (x,y) → (x₀,y₀) f(x,y) = ℓ ⇔ ∀ ε > 0, ∃ δ > 0 t.c. |f(x,y) - θ| < ε ∀ (x,y) ∈ B((x₀,y₀), δ), (x,y) ≠ (x₀,y₀)

y = y₀ + m (x - x₀)

Quindi la funzione in cui fare il limite diventa:
f (x, y₀ + m ( x - x₀)).
f (x) = ^x2/_{√( x² + y² )}(x₀, y₀) = ( 0,0 )
(x,y) → (x₀, y₀) per calcolare faccio il limite su una generica retta passante per x