Appunti analisi matematica 2

Generalità sulle equazioni differenziali

Le equazioni differenziali ordinarie sono equazioni che hanno come incognita una funzione e non più un valore, cioè dove è la variabile indipendente.

Definizioni fondamentali

Def. Forma normale di un’equazione differenziale: Data l’equazione, si dice forma normale dell’equazione la scrittura.

Def. Ordine di un’equazione differenziale: Data l’equazione, si dice ordine dell’equazione differenziale l’ordine della derivata di ordine massimo della funzione incognita.

Def. Soluzione di un’equazione differenziale: Si dice soluzione dell’equazione differenziale una funzione definita in un intervallo tale che.

Def. Integrale generale: Si dice integrale generale l’insieme di tutte le soluzioni di un’equazione differenziale.

Def. Integrale particolare: Si dice integrale particolare una soluzione particolare di un’equazione differenziale.

Def. Integrale singolare: Si dice integrale singolare di un’equazione differenziale una soluzione non ottenibile per una scelta particolare delle costanti.

Def. Problema di Cauchy: Si dice problema di Cauchy un sistema in cui ad un’equazione differenziale si associa una particolare condizione iniziale che porta ad ottenere una soluzione particolare all’equazione.

Es. Data l’equazione differenziale in forma normale calcolare le soluzioni.

Equazioni differenziali del primo ordine

Come abbiamo visto, un’equazione differenziale del primo ordine in forma normale sarà un’equazione del tipo:.

Esistono due casi particolari:

• Equazioni differenziali a variabili separabili

Sono equazioni differenziali del primo ordine in cui il secondo membro sia fattorizzato come prodotto di due funzioni: una che dipenda dalla variabile indipendente ed una che dipenda dalla funzione soluzione.

Procedimento di risoluzione

• Si calcolano le prime soluzioni ricorrendo all’integrale singolare: L’integrale singolare può anche non esistere, ma se esiste è una funzione costante del tipo , dove è lo zero di .
• Si calcola l’integrale generale, ponendo e procedendo con i calcoli: dove è una qualunque primitiva di e è una qualunque primitiva di . A questo punto, se è invertibile, si ha:

Esistono, come abbiamo detto, casi in cui non è possibile scrivere l’integrale singolare, come nel seguente: In questo caso non è nemmeno possibile esplicitare la soluzione generale dell’equazione, infatti: Ma noi non siamo in grado di esplicitare il primo membro, quindi non potremo esplicitare nemmeno la soluzione dell’equazione.

Alcune equazioni particolari

Equazione di Malthus: integrale singolare:

Equazione logistica: integrale singolare:

Se allora

Problema di Cauchy per un’equazione a variabili separabili

Teor. Se è una funzione continua in un intorno e è continua in un intorno allora soluzione del problema di Cauchy

Esistono alcuni tipi di equazioni differenziali riconducibili ad equazioni a variabili separabili:

Equazioni differenziali omogenee

Un’equazione differenziale omogenea in forma normale è del tipo:

Per risolvere questo tipo di equazioni si utilizza la sostituzione ovvero quindi: definisce l’integrale singolare A questo punto rimane solo da esplicitare il risultato: trovare e poi ricondursi a

Equazioni lineari del primo ordine

Si dice equazione differenziale lineare del primo ordine un’equazione del tipo:

Se allora l’equazione è omogenea, altrimenti l’equazione è completa.

Teor. L’integrale generale di un’equazione completa si ottiene sommando all’integrale generale dell’equazione omogenea un integrale particolare dell’equazione completa.

Dim. Data l’equazione completa e un suo integrale particolare, sottraendo membro a membro si ottiene: quindi è soluzione dell’equazione:

Viceversa: Sommando membro a membro: è soluzione dell’equazione completa.

In conclusione, per determinare la soluzione dell’equazione completa è necessario:

• Determinare l’integrale generale della funzione omogenea
• Determinare un integrale particolare della funzione completa
• Sommare i due risultati.

Svolgiamo il procedimento: La sostituzione che abbiamo operato introducendo il parametro porta ad un’imprecisione: infatti questo parametro può assumere il valore 0, mentre è sempre diverso da 0. Abbiamo quindi determinato l’integrale generale della funzione omogenea: Ora dobbiamo determinare un integrale particolare della funzione completa. Utilizziamo il metodo di Lagrange di variazione delle costanti. Determiniamo : derivando i membri della precedente equazione si ottiene Sostituendo in si ha Abbiamo determinato un integrale particolare della funzione completa, ora sommiamo i due risultati ottenuti per ricavare la soluzione generale dell’equazione completa:

Problema di Cauchy per l’equazione completa

Teor. Se e sono continue in un intorno allora il problema di Cauchy associato all’equazione completa ha una ed una sola soluzione

Equazioni di Bernoulli

Si dice equazione di Bernoulli un’equazione differenziale del tipo:

Analizziamo i casi limite: equazione lineare completa equazione a variabili separabili

Procedimento di risoluzione

• Dividere entrambi i membri per
• Operare la sostituzione
• Risolvere l’equazione in questa equazione si riconduce quindi ad un’equazione lineare in che sappiamo risolvere grazie al procedimento spiegato sopra;
• Determinare la soluzione

Es. Risolvere la seguente equazione di Bernoulli: opero la sostituzione risolvo l’equazione lineare ottenuta:

Equazioni lineari del secondo ordine

L’equazione si dice omogenea

Es. Problema di Cauchy associato:

Teorema: soluzione del problema di Cauchy tale che

Queste equazioni si dicono lineari poiché si applica ad un operatore lineare :

• Equazione omogenea
• Se è soluzione dell’equazione omogenea anche lo è;
• Se e sono soluzioni dell’equazione omogenea anche la loro somma lo è.

Queste due proprietà possono essere sintetizzate in una sola proprietà:

Se e sono soluzioni dell’equazione omogenea allora una qualunque combinazione lineare di e è anch’essa soluzione. A noi interessa trovare quindi due soluzioni linearmente indipendenti, cioè o, in modo equivalente:

Teorema: le soluzioni linearmente indipendenti dell’equazione sono 2:

Lo spazio vettoriale delle soluzioni di ha dimensione 2.

Equazione completa

Teorema: l’integrale generale dell’equazione completa si ottiene sommando all’integrale generale dell’equazione omogenea un integrale particolare dell’equazione completa.

Dove e sono soluzioni linearmente indipendenti dell’equazione omogenea e è una soluzione particolare dell’equazione completa.

Equazione lineare del secondo ordine a coefficienti costanti

Per prima cosa cerchiamo le soluzioni del tipo con Sostituisco: Questa equazione aritmetica di secondo grado si dice equazione caratteristica associata all’equazione differenziale. Questa conclusione porta notevoli vantaggi per quanto riguarda la risoluzione delle equazioni differenziali, infatti basta sostituire con , con e con 1, a questo punto è soluzione dell’equazione differenziale.

Casi nella risoluzione dell’equazione caratteristica

• Se l’equazione caratteristica ha 2 soluzioni
• Se l’equazione caratteristica ha 2 soluzioni complesse coniugate :

Per ricavare le soluzioni reali dell’equazione differenziale si procede così: e sono soluzioni reali linearmente indipendenti.

• Se allora

Come determinare la seconda soluzione? Si usa il metodo delle costanti arbitrarie. Dove è una funzione da determinare imponendo che risolva l’equazione. Quindi è necessario risolvere in la seguente equazione: Sostituiamo in e raccogliamo: se voglio che la seconda soluzione sia linearmente indipendente dalla prima devo porre: Quindi, in conclusione, l’integrale generale dell’equazione è

Procedimento

• Scrivere l’equazione caratteristica
• Calcolare il :
• Scrivere le soluzioni:
• Scrivere l’integrale generale:

Esempi:

• Integrale generale:

Questo metodo può essere generalizzato anche ad equazioni di ordine superiore: Integrale generale:

Sin ora abbiamo visto le risoluzioni di equazioni omogenee, per quanto riguarda le equazioni complete sappiamo che l’integrale generale dell’equazione completa si ottiene sommando all’integrale generale dell’equazione omogenea un integrale particolare dell’equazione completa .

Per determinare utilizziamo il metodo di somiglianza, la cui idea è quella di cercare un integrale particolare che “assomigli” al termine forzante: cioè, se il termine forzante è un polinomio di grado in , allora:

Esempi:

• Ora devo determinare e in modo tale che sia soluzione dell’equazione completa. Sostituisco nell’equazione:

• -- integrale generale dell’equazione omogenea: integrale particolare dell’equazione completa: Sostituisco nell’equazione iniziale:

Equazioni complete

Abbiamo visto come si compie la ricerca dell’integrale particolare di un’equazione lineare completa di secondo ordine del tipo . Ora vediamo altri due casi, cioè ricerchiamo gli integrali particolari per equazioni del tipo e .