Appunti analisi matematica 2

DERIVATE SECONDE DI UNA FUNZIONE IN PIÙ VARIABILI

Teorema di Schwarz

Se allora

All’insieme delle derivate seconde di una funzione si associa una matrice, detta matrice hessiana:

matrice hessiana in per la funzione è la matrice

Osserviamo che se allora e è simmetrica.

Def. Se si dice differenziale secondo di in la funzione:

Il differenziale secondo applicato all’incremento assume la forma:

Se si può scrivere la formula di Taylor al secondo ordine con resto di Peano:

MINIMI E MASSIMI DI UNA FUNZIONE IN PIÙ VARIABILI

Data una funzione

Def. Si dicono estremi liberi della funzione gli estremi assunti in punti interni ad .

Teorema di Fermat

Data una funzione con aperto, se:

è un punto di minimo o massimo relativo

- è derivabile in

-

Allora e i punti che annullano il gradiente si dicono stazionari o critici.

Il teorema di Fermat ci dice che, per funzioni derivabili, gli estremi del dominio sono punti stazionari.

Def. Un punto stazionario che non è punto di massimo o di minimo relativo si dice punto di sella o colle.

Es. è un punto di minimo assoluto poiché

quindi è un punto stazionario.

Consideriamo la funzione del paraboloide iperbolico

Determiniamo i punti stazionari: è un punto stazionario.

soddisfa la condizione di Fermat, ora dobbiamo valutare se è un estremo del dominio.

Per farlo è necessario considerare:

Se allora è minimo della funzione

Se allora è massimo della funzione

Se non si verifica nessuna di queste due condizioni allora è un punto di colle.

In questo caso e in cui il segno di sia costante, quindi è un punto

di sella.

Abbiamo quindi dimostrato che la condizione di Fermat è necessaria ma non sufficiente.

Ora osserviamo che in se la funzione è due volte derivabile e è un punto stazionario, allora:

Se allora e è punto di minimo

Se allora e è punto di massimo

Teorema

Data una funzione con aperto e e :

1) Se allora è un punto di minimo

2) Se allora è un punto di massimo

3) Se il caso è dubbio ed è necessario studiare il segno della funzione

4) Se allora è un punto di sella

Es. Determinare gli estremi liberi di .

Per prima cosa determiniamo i punti stazionari:

La prima soluzione per è , quindi sostituiamo nella prima equazione e otteniamo:

La seconda soluzione per è , quindi sostituiamo nella prima equazione e otteniamo:

Abbiamo determinato 3 punti stazionari:

In

Per verificare che sia un punto di minimo o di massimo utilizziamo la matrice hessiana:

quindi è punto di minimo.

Verifichiamo se e sono punti di massimo o minimo: quindi è un punto di sella.

quindi è un punto di sella.

DERIVATE SECONDE DI UNA FUNZIONE IN PIÙ VARIABILI

Teorema di Schwarz

Se allora

All’insieme delle derivate seconde di una funzione si associa una matrice, detta matrice hessiana:

matrice hessiana in per la funzione è la matrice

Osserviamo che se allora e è simmetrica.

Def. Se si dice differenziale secondo di in la funzione:

Il differenziale secondo applicato all’incremento assume la forma:

Se si può scrivere la formula di Taylor al secondo ordine con resto di Peano:

MINIMI E MASSIMI DI UNA FUNZIONE IN PIÙ VARIABILI

Data una funzione

Def. Si dicono estremi liberi della funzione gli estremi assunti in punti interni ad .

Teorema di Fermat

Data una funzione con aperto, se:

è un punto di minimo o massimo relativo

- è derivabile in

-

Allora e i punti che annullano il gradiente si dicono stazionari o critici.

Il teorema di Fermat ci dice che, per funzioni derivabili, gli estremi del dominio sono punti stazionari.

Def. Un punto stazionario che non è punto di massimo o di minimo relativo si dice punto di sella o colle.

Es. è un punto di minimo assoluto poiché

quindi è un punto stazionario.

Consideriamo la funzione del paraboloide iperbolico

Determiniamo i punti stazionari: è un punto stazionario.

soddisfa la condizione di Fermat, ora dobbiamo valutare se è un estremo del dominio.

Per farlo è necessario considerare:

Se allora è minimo della funzione

Se allora è massimo della funzione

Se non si verifica nessuna di queste due condizioni allora è un punto di colle.

In questo caso e in cui il segno di sia costante, quindi è un punto

di sella.

Abbiamo quindi dimostrato che la condizione di Fermat è necessaria ma non sufficiente.

Ora osserviamo che in se la funzione è due volte derivabile e è un punto stazionario, allora:

Se allora e è punto di minimo

Se allora e è punto di massimo

Teorema

Data una funzione con aperto e e :

5) Se allora è un punto di minimo

6) Se allora è un punto di massimo

7) Se il caso è dubbio ed è necessario studiare il segno della funzione

8) Se allora è un punto di sella

Es. Determinare gli estremi liberi di .

Per prima cosa determiniamo i punti stazionari:

La prima soluzione per è , quindi sostituiamo nella prima equazione e otteniamo:

La seconda soluzione per è , quindi sostituiamo nella prima equazione e otteniamo:

Abbiamo determinato 3 punti stazionari:

In

Per verificare che sia un punto di minimo o di massimo utilizziamo la matrice hessiana:

quindi è punto di minimo.

Verifichiamo se e sono punti di massimo o minimo: quindi è un punto di sella.

quindi è un punto di sella.

INTEGRALI DOPPI

Richiamiamo alcuni concetti dell’analisi di funzioni in una variabile:

Suddividiamo l’intervallo in sottointervalli di uguale ampiezza ,

a questo punto si ha la somma di Cauchy:

Se in allora l’integrale definito è l’area sottesa dalla

funzione in . Quest’area si dice trapezoide. Se non è sempre

positiva l’area risulta essere:

Per quanto riguarda gli integrali doppi, suddividiamo il loro studio in due casi:

Primo caso: la funzione è definita su un rettangolo con i lati paralleli agli assi cartesiani.

Con dominio .

Dividiamo in sottointervalli di uguale ampiezza e in intervalli

di ampiezza : in questo modo il rettangolo di dominio è diviso in rettangoli

. Scegliendo un punto in , in particolare il più lontano dall’origine, si ha che:

Osservazione: per gli integrali doppi valgono le stesse proprietà degli integrali semplici (linearità, additività,

monotonia, teorema della media ecc.)

Es. Calcolare mediante la definizione il seguente integrale:

Significato geometrico dell’integrale doppio:

Dato che è l’area di ogni singolo rettangolo , significa che

rappresenta il volume del parallelepipedo avente per base

e per altezza . A questo punto è chiaro che la sommatoria

rappresenta il volume del solido avente per base

il dominio e sotteso dalla funzione stessa. Se la funzione non è

sempre positiva in , allora l’area di detto solido è calcolata con

Secondo caso: la funzione è definita su un sottoinsieme di

Def. Si dice y-semplice un insieme del tipo: con e definite e continue su .

Si dice x-semplice un insieme del tipo: con e definite e continue su .

Def. Un sottoinsieme di si dice regolare se lo si può esprimere come unione di un insieme finito di insiemi

semplici.

Es. 1 Il dominio rappresentato in figura è un insieme sia x-semplice che y-semplice:

Es. 2 Il dominio rappresentato in figura è y-semplice: ma non è x-semplice,

infatti si hanno 2 regioni: una in cui ed un’altra in cui

Es. 3 Il dominio rappresentato in figura non è y-semplice, ma è regolare,

poiché può essere scritto come unione di più insiemi

y-semplici: dove

Il dominio è anche x-semplice:

Teorema

Se

Def. Un insieme limitato si dice misurabile se la funzione costante pari a 1 è integrabile in . La

misura di è:

Es. y-semplice

CALCOLO DEGLI INTEGRALI DOPPI

Teorema di riduzione

Se e è integrabile, allora:

Osservazione: nell’integrale più interno la variabile che non si integra si comporta come una costante.

Nel caso di funzioni del tipo: anche l’integrale si fattorizza:

Es. Calcolare il seguente integrale:

Teorema di Fubini

Se è y-semplice e è continua in , allora

Se è x-semplice invece:

Se è sia x-semplice che y-semplice valgono entrambe le formule. Se l’insieme è regolare, cioè

Es. e il dominio è sia y-semplice che x-semplice.

Risolviamo l’integrale doppio della funzione in entrambi i modi che il

teorema di Fubini ci suggerisce. Primo modo: è y-semplice.

Secondo modo: x-semplice.

Cambiamento di coordinate

Ricordiamo che per le funzioni in una variabile la sostituzione di variabile nell’integrale avveniva così:

Per le funzioni in più variabili il procedimento è analogo:

Es. Consideriamo un dominio e svolgiamo l’integrale:

Passaggio a coordinate polari nel piano

La sostituzione da effettuare per il passaggio a coordinate polari è la seguente:

Es. Svolgere un integrale del genere è complicato, quindi passiamo alle coordinate

polari, data la simmetria del dominio. rappresenterà la distanza dall’origine,

l’angolo tra la retta e il vettore .

I punti della circonferenza hanno , quindi il dominio si può esprimere come:

PROPRIETÀ DI SIMMETRIA DEGLI INTEGRALI DOPPI

1) Se il dominio di integrazione è simmetrico rispetto all’asse e è dispari in , cioè

allora:

2) Se è simmetrico rispetto all’asse e è dispari in , cioè , allora:

3) Se è simmetrico rispetto all’asse e è pari in , cioè , allora:

Essendo il dominio

4) Se è simmetrico rispetto all’asse e è pari in , cioè , allora:

Essendo il dominio

Es. Calcolare attraverso un integrale doppio l’area di un cerchio generico di raggio .

Es. Calcolare il seguente integrale sul dominio in figura:

INTEGRALI DOPPI GENERALIZZATI

Calcoliamo il volume sotteso dalla superficie gaussiana :

Dove è l’area sottesa dalla curva gaussiana in una variabile . Ma allora .

Calcoliamo quindi per conoscere anche l’area sottesa dalla curva gaussiana in una variabile. Per farlo

utilizziamo una restrizione del dominio ad un cerchio di centro l’origine e raggio . Facendo il limite per

tendente ad infinito di tale integrale otterremo il valore cercato.

E allora

INTERPRETAZIONE GEOMETRICA DEGLI INTEGRALI DOPPI

L’integrale doppio

rappresenta il volume del cilindroide a generatrici parallele all’asse compreso tra il grafico della funzione e

il dominio .

Es. Calcolare il volume del cilindroide