Appunti Analisi 1a (fino alle funzioni)

A, B, C A C B

B A C

⏟

3 ∗ ⏟

2 ∗ ⏟

2 =6 B C A

1 2 3

° ° ° C A B

5! = 5 ∗ 4 ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1 = 120 C B A

(

() = ∗ − 1)( − 2) ∗ … ∗ 2 ∗ 1 = ! , ,

1! = 1

0! = 1 per definizione

Disposizioni di k elementi scelti tra n distinti A B

A C

B A

Scelgo 2 elementi su 3 B B

3 −(−1) C A

⏞

= ⏟

( − 1) ( − 2) ∗ … ∗ −+1

⏟

⏟ ⏟ C B

,

1 °

° 2 3

° °

Combinazioni di k elementi scelti tra n distinti

=5

=3

, , , ,

Diverse disposizioni (cambia l’ordine) rappresentano la stessa combinazione (gli

stessi elementi).

Per ogni combinazione quante si possono generare tante disposizioni quante sono le

permutazioni degli elementi scelti. (

( − 1) … − + 1) !

,

= ∗ ⟶ = = =

, , , (

! ! − )!

!

= =

( ) ,

(

! − )!

Formula di Newton per le potenze del binomio

!

−

( + ) =

∑ (

! − )!

=0

ℝ

Estensione di ̅ {−∞,

ℝ = ℝ ∪ +∞} − ∞, +∞ sono dei simboli

±∞

Non definiamo operazioni con ma definiamo la posizione d’ordine in cui si

−∞ ≤ , ∀ ∈ ℝ ≤ +∞, ∀ ∈ ℝ

collocano ponendo e

Intervalli ̅

⊆ ℝ

Un sottoinsieme si dice intervallo quando contiene tutti i punti compresi tra

∀, ∈ < < ∈

due qualsiasi suoi punti. Ovvero

Gli intervalli possono presentarsi in una delle seguenti forme:

̅

], [ ∶= { ∈ ℝ ∶ < < }

̅

[, ] ∶= { ∈ ℝ ∶ ≤ ≤ }

̅

[, [ ∶= { ∈ ℝ ∶ ≤ < }

̅

], ] ∶= { ∈ ℝ ∶ < ≤ }

̅

ℝ = [−∞, +∞]

ℝ = ] − ∞, +∞[

ℝ =]0, +∞[

+

Definizioni

• ≥ ∀ ∈

Diciamo che è maggiorante di se

• ≤ ∀ ∈

Diciamo che è minorante di se

•

Diciamo che è superiormente limitato se possiede almeno un maggiorante

reale.

•

Diciamo che è inferiormente limitato se possiede almeno un minorante reale.

• si dice limitato se è sia superiormente che inferiormente limitato.

• ∈ .

si dice massimo dell’insieme se è maggiorante dell’insieme

• ∈

si dice minimo dell’insieme se è minorante dell’insieme

Proprietà ̅

⊆ ℝ

- Dato un l’insieme dei maggioranti di è sempre un intervallo (se

> .

è maggiorante di e allora anche è maggiorante di

̅

⊆ ℝ

- Dato un l’insieme dei minoranti di è sempre un intervallo (se è

< .

minorante di e allora anche è minorante di

- Se il massimo di esiste allora esso è unico. Infatti supponiamo che e

.⇒ , ∈ .

siano massimi di

• ≥ ∈

(perché P è maggiorante di

• ≥ ∈

(perché Q è maggiorante di

• Per l’antisimmetria dell’ordine P = Q

- Se il minimo di esiste allora esso è unico. Infatti supponiamo che e

.⇒ , ∈ .

siano massimi di

• ≤ ∈

(perché P è minorante di

• ≤ ∈

(perché Q è minorante di

Per l’antisimmetria dell’ordine P = Q

Esempi.

[2,5]

= = 5 = 2

=]2,5[ ∄ ∄ ( )

• = sup ()

P si dice estremo superiore di E se P è il minimo dei maggioranti di E.

• = min

()

P si dice estremo inferiore di E se P è il massimo dei minoranti di E.

Proprietà

= sup() ∈

Se allora P è massimo di E

= max () = sup()

Se allora

[2,5]

= = 5 = sup = 2 = inf

()

=]2,5[ ∄ ∄ ( )

Assioma di completezza dei numeri reali

ℝ ≤ ∀ ∈ ∀ ∈

Siano A e B sottoinsiemi non vuoi di tali che

∈ ℝ:

Esiste un elemento separatore

≤ ≤ ∀ ∈ ∀ ∈

Proposizione.

⊆ ℝ ≠⊘ ∃ ∈ ℝ

e superiormente limitato, allora estremo superiore di

Dimostrazione.

= ≠ ⊘ = { } ≠⊘

Sia ∈ ∈ ℎ ∈

Se ∃ ∈ ℝ ∶ ≤ ≤ ∀

Per l’assioma di completezza = sup ()

S è il più piccolo tra i maggioranti di E

Esempi

sup(ℝ) = +∞ inf(ℝ) = −∞

sup(ℕ) = +∞ inf(ℕ) = −1

sup(⊘) = −∞ inf(⊘) = +∞

1 1 1 1 1

= ∶ ∈ ℕ} = , , , , …

{ {1, }

2 3 4 5

sup() = 1 = max()

inf

() = 0

(−1)

={ ∶ ∈ ℕ}

1

sup() = 2

inf() = −1

= ∗ ∶ ∈ ℕ}

{(−1) +1

sup() = 1

inf() = −1

1 1 1 1

{2

= ∶ ∈ ℕ} = , , , , …

{1, }

2 3 4 5

sup() = +∞

inf() = 2 =

1 1 1 1 1

= {( ∶ ∈ ℕ} = , , , , …

) {1, }

2 2 3 4 5

1

sup() = = max()

2

inf

() = 0

Disuguaglianza di Bernoulli

∀ ∈ ℕ

(1

∀ > −1 ℎ + ) ≥ 1 + ● = P(n)

Dimostrazione

≥ 0

Se

(1 + ) = = + + …

⏟ ≥ 1 +

∑ ( ) ( ) ( )

⏟ ⏟

0 1

=0 1

Dimostrazione generale, con il principio di induzione

Se n = 1 1

(1

(1) = ∀ > −1 ℎ + ) ≥ 1 + 1 vera ∈ ℕ,

Passo induttivo: suppongo che P(k) sia vera per un certo verifichiamo allora

che vale anche P(x+1)

Sia x > -1

+1 2

(1 (1

(1 + ) = (1 + ) ∗ + ) = + )(1 + ) = 1 + + +

2

( (

= 1 + + 1) +

⏟ ≥ 1 + + 1)

≥0

Il numero di Nepero

1

∀ ∈ ℕ + < 3

(1 )

Teorema:

Dimostrazione

1 1 ( − 1) ∗ … ∗ ( − − 1) 1

−

+ = 1 = ⏟

1 + ⏟

1 +∑ ∗

(1 ) ∑ ( ) ( )

!

=0 =1

=0 =2

⏞

( − 1) ∗ … ∗ ( − + 1 ) 1 1

2+∑ ∗ ≤2+∑

∗∗∗

⏟ ! !

=2 =2

1 1

≤2+1− =3− <3

è un numero irrazionale ed è circa 2,7…

1

≔ sup {(1 + : ∈ ℕ} ℝ

) Tale numero esiste in in virtù della proprietà di

completezza dei numeri reali essendo l’insieme non vuoto e superiormente limitato.

Potenze

= ⏟

∗ ∗ ∗…∗

0

= 1

1

−

=

−

Legge esponenziale

+

∗ =

Problema delle radici n-esime

∈ ℕ, ∈ ℝ ∶ = ?

Dato un numero reale e esiste

Lemma 1)

, ≥ 0 ∈ ℕ = ⟺ =

Se allora

Dimostrazione. −1

−1−

(

0 = − = − )

[∑ ]

=0

Per la legge di annullamento del prodotto. −1 −1−

( − ) = 0 = 0 ⟹ = 0

∑

=0

−1−

= 0

−1

= 0 ⟹ = 0

−1

= 0 ⟹ = 0

Lemma 2)

() ≥ 0 > 0 ∶ ≥ ∃ ∶ < >

Sia e sia

Dimostrazione. <

Basta scegliere

(−1)

− − + +

=− = = ≥0

−1 −1 −1

⏟

>0

− −

(1

= − = + = (1 + ) ≥ + )

( ) (1 ( ))

⏟ −1

∗

− − −

(