Appunti Analisi 2

Analisi delle derivate parziali di ordine successivo

Sia r ≥ 1, f ∈ C^r(x₀), x^k ∈ ℝ^m. Le derivate parziali ∂^k x₁, x₂, ..., x_r di f(x₀) sono definite come ∂^rf(x₀)/∂x₁...∂x_r. Le derivate miste sono definite come segue: se f ∈ C^r(x₀), allora ∂^r(πy, z) = ∂^r(πz, y).

Teorema di Schwarz

Sia απr un insieme aperto o, A π ⊂ απn, sia x₀ π α π πn. Per le derivate ∂x x₀, tendendo a un punto x₀, si ha che ∂^πx(x₀) = FX(x₀).

Matrice Hessiana

La matrice hessiana è la matrice delle derivate seconde (a valori scalari). Indichiamo con H@x₀(f) quando sono verificate le ipotesi di Schwarz (derivate seconde continue). Allora H&(r^c) è simmetrica, e la sua traccia è detta Laplaciano (vale ovunque).

Matrice Jacobiana

La matrice Jacobiana è la matrice delle derivate prime (a valori vettoriali). ∂J(F) @x: ℝ^m -> ℝⁿ. Il determinante di questa matrice è detto Jacobiano se π α, e la sua traccia è detta divergenza D/F = ∂R / dI * (∂F/ dX₁ ... dX_m).

Funzioni composte

Data F: ℝ^m -> ℝ con FB: π@ ℝ^m, si dicono π(a(b))-1. ∂G: ℝⁿ -> ℝ con F IR e FU(IN TORNO XO E BO > (BO-H) PER OGNI M. 4 E ALLORA F(X, PX)_xo = F_YX(X_o) + (X_o).

Matrice Hessiana: è la matrice delle derivate seconde (a valori scalari) ^d2F. Se e solo verificano le ipotesi di Schwarz (derivate seconde continue), allora H(F) è simmetrica, e la traccia è detta Laplaciano: ≜ A vale su di XO + V(X~OH ha der. sulla diagonale).

Matrice Jacobiana: è la matrice delle derivate prime (a valori vettoriali). J(F): • IRⁿ -> IR(S).[(^df₁/_dx1....^df₁/_dxn), ^ddx_n]. Il determinante è detto Jacobiano se F è surgettiva, e la sua traccia è detta divergenza di F > • TR(F) = ^d./_....D._x.

Funzioni composte: data ^A: ==> B:^c:: ==> D: allora G: |X(G)3.