Appunti Analisi 2

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Università di Roma Tor Vergata – corso Morsella

Federico Casucci Federico Casucci ©

2 1 SOMMARIO

2 FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI _________________________________________________________________ 8

2.1 Funzioni scalari di variabili reali ________________________________________________________ 8

2.2 Funzioni vettoriali di variabili reali ______________________________________________________ 8

2.3 Proprietà di ℝ _________________________________________________________________________ 8

2.4 Sottoinsiemi di ℝ ______________________________________________________________________ 8

2.5 Teorema di Bolzano-Weierstrass __________________________________________________________ 9

3 LIMITI ___________________________________________________________________________________ 10

3.1 Limite di una funzione scalare in più variabili ______________________________________________ 10

3.2 Limite di una funzione vettoriale in più variabili ____________________________________________ 10

3.3 Algebra dei limiti ______________________________________________________________________ 11

3.4 Limite di una successione di punti ________________________________________________________ 11

3.5 Teorema ponte ________________________________________________________________________ 11

3.6 Non esistenza del limite ________________________________________________________________ 11

3.7 Calcolo del limite di funzioni scalari in coordinate polari _____________________________________ 12

4 CONTINUITÀ _____________________________________________________________________________ 13

4.1 Continuità ____________________________________________________________________________ 13

4.2 Algebra delle funzioni continue __________________________________________________________ 13

4.3 Proposizione __________________________________________________________________________ 13

4.4 Insieme connesso ≅ intervallo _________________________________________________________ 13

4.5 Teorema di esistenza degli zeri __________________________________________________________ 13

4.6 Teorema dei valori intermedi ____________________________________________________________ 14

4.7 Insieme compatto ≅ intervallo compatto ________________________________________________ 14

4.8 Teorema di Bolzano-Weierstrass _________________________________________________________ 14

4.9 Teorema di Weierstrass ________________________________________________________________ 14

4.10 Proposizione __________________________________________________________________________ 14

4.11 Uniforme continuità ___________________________________________________________________ 15

Teorema di Heine-Cantor

4.11.1 ___________________________________________________________ 15

5 DERIVABILITÀ ____________________________________________________________________________ 16

5.1 Derivata direzionale e derivata parziale ___________________________________________________ 16

5.2 Algebra delle funzioni derivabili _________________________________________________________ 16

6 DIFFERENZIABILITÀ _______________________________________________________________________ 17

6.1 Teorema su differenziabilità, derivabilità e continuità _______________________________________ 17

6.1.1 Implicazioni del teorema ___________________________________________________________ 17

6.1.2 Significato geometrico della differenziabilità e del gradiente per _____________________ 18

6.2 Algebra delle funzioni differenziabili ______________________________________________________ 19

6.3 Teorema del differenziale totale _________________________________________________________ 19

6.1 Regola della catena ≅derivata della funzione composta – caso particolare _____________________ 20

6.2 Segmento in ℝ _______________________________________________________________________ 21

Federico Casucci © 3

6.3 Teorema di Lagrange del valor medio ___________________________________________________ 21

6.4 Teorema sulla funzione costante _________________________________________________________ 21

7 DERIVABILITÀ E DIFFERENZIABILITÀ DI GRADO SUPERIORE AL PRIMO ___________________________ 22

7.1 Derivata seconda ______________________________________________________________________ 22

7.2 Differenziabilità per la seconda volta _____________________________________________________ 22

7.3 Teorema di Schwartz ___________________________________________________________________ 22

7.3.1 Teorema di Schwartz in forma matriciale ______________________________________________ 22

7.4 Polinomio di Taylor al secondo ordine ____________________________________________________ 23

7.5 Polinomio di Taylor al m-esimo ordine ____________________________________________________ 24

8 MASSIMI E MINIMI ________________________________________________________________________ 25

8.1 Punti estremali ________________________________________________________________________ 25

8.2 Punti stazionari _______________________________________________________________________ 25

8.3 Teorema di Fermat ____________________________________________________________________ 25

8.4 Matrici definite positive e negative _______________________________________________________ 25

8.4.1 Caratterizzazione spettrale di matrici definite positive/negative __________________________ 25

8.4.2 Caratterizzazione spettrale di matrici ____________________________________________ 26

8.5 Condizione sufficiente per l’estremalità ___________________________________________________ 26

9 DIFFERENZIABILITÀ DI FUNZIONI VETTORIALI ________________________________________________ 28

9.1 Regola della catena ____________________________________________________________________ 28

10 MASSIMI E MINIMI VINCOLATI ____________________________________________________________ 30

10.1 Teorema di Dini o della funzione implicita _________________________________________________ 30

10.1.1 Generalizzazione del problema della funzione implicita __________________________________ 31

10.1.2 Curva di livello, punto regolare e nuovo significato geometrico del gradiente in ℝ ___________ 31

10.2 Teorema di Dini generale _______________________________________________________________ 32

10.2.1 Generalizzazione del problema della funzione implicita __________________________________ 33

10.2.2 Superficie di livello, punto regolare e significato geometrico del gradiente in ℝ _____________ 33

10.2.3 Funzione di livello, punto regolare e proprietà del gradiente in ℝ ________________________ 33

10.3 Massimi e minimi vincolati ______________________________________________________________ 34

10.4 Teorema dei moltiplicatori di Lagrange ___________________________________________________ 34

10.4.1 Applicazione del teorema dei moltiplicatori di Lagrange _________________________________ 36

10.5 Ricerca massimi e minimi in un generico insieme ___________________________________________ 36

11 DIFFEOMORFISMI _______________________________________________________________________ 38

11.1 Teorema di inversione locale ____________________________________________________________ 38

11.1.1 Corollario ________________________________________________________________________ 38

12 INTEGRALI DOPPI _______________________________________________________________________ 41

12.1 Integrale di Riemann su un rettangolo ____________________________________________________ 41

12.1.1 Proprietà dell’integrale su un rettangolo ______________________________________________ 42

12.1.2 Formule di riduzione per gli integrali sui rettangoli _____________________________________ 42

12.2 Integrale di Riemann su un generico insieme _______________________________________________ 44

Federico Casucci ©

4 12.3 Insieme misurabile ____________________________________________________________________ 44

12.3.1 Lemma di caratterizzazione degli insiemi di misura nulla ________________________________ 44

12.3.2 Teorema di caratterizzazione degli insiemi misurabili ___________________________________ 45

12.3.3 Proprietà degli insiemi misurabili ____________________________________________________ 46

12.4 Integrabilità delle funzioni generalmente continue __________________________________________ 47

12.5 Integrabilità di funzioni continue su insiemi misurabili ______________________________________ 48

12.5.1 Proprietà dell’integrale su un insieme misurabile _______________________________________ 48

12.6 Insieme normale ______________________________________________________________________ 48

12.6.1 Teorema di misurabilità di un insieme normale ________________________________________ 49

12.6.2 Formule di riduzione per gli integrali su insiemi normali _________________________________ 50

12.7 Cambiamento di variabile per integrali doppi ______________________________________________ 51

13 INTEGRALI TRIPLI _______________________________________________________________________ 54

13.1 Insieme normale in ℝ _________________________________________________________________ 54

13.1.1 Teorema di misurabilità di un insieme normale in ℝ ___________________________________ 54

13.1.2 Formule di riduzione per gli integrali su insiemi normali in ℝ ____________________________ 54

13.2 Cambiamento di variabile per integrali tripli _______________________________________________ 55

13.3 Baricentro ____________________________________________________________________________ 55

13.4 Volume dei solidi di rotazione I teorema di Pappo-Guldino _________________________________ 55

14 INTEGRALI IMPROPRI IN PIÙ VARIABILI ____________________________________________________ 57

14.1 Insieme illimitato misurabile ____________________________________________________________ 57

14.1.1 Misura dell’insieme illimitato misurabile ______________________________________________ 57

14.2 Integrale improprio di funzioni non negative _______________________________________________ 57

14.3 Criterio del confronto __________________________________________________________________ 58

14.4 Integrale improprio di funzioni di segno variabile sommabilità ______________________________ 59

14.5 Teorema per il calcolo dell’integrale improprio _____________________________________________ 59

14.5.1 Integrali impropri notevoli __________________________________________________________ 60

14.6 Algoritmo di calcolo di un generico integrale improprio ______________________________________ 62

15 CURVE _________________________________________________________________________________ 63

15.1 Continuità di una funzione vettoriale in una sola variabile ____________________________________ 63

15.2 Curva parametrica _____________________________________________________________________ 63

15.3 Curva cartesiana ______________________________________________________________________ 63

15.4 Curva polare __________________________________________________________________________ 63

15.5 Curva chiusa __________________________________________________________________________ 64

15.6 Curva semplice ________________________________________________________________________ 64

15.7 Curve equivalenti ______________________________________________________________________ 64

15.8 Orientazione di una curva _______________________________________________________________ 64

Concatenazione tra curve

15.9 _______________________________________________________________ 64

15.10 Derivabilità di una curva ______________________________________________________________ 65

15.11 Curva rettificabile ___________________________________________________________________ 65

Federico Casucci © 5

15.12 Rettificabilità delle curve di classe ___________________________________________________ 66

15.12.1 Lunghezza di una curva cartesiana _________________________________________________ 66

15.12.2 Lunghezza di una curva polare _____________________________________________________ 66

15.13 Curva regolare ______________________________________________________________________ 66

15.13.1 Curva regolare a tratti ____________________________________________________________ 67

15.14 Curva omotopa ______________________________________________________________________ 67

15.15 Baricentro di una curva _______________________________________________________________ 67

16 CAMPI VETTORIALI e INTEGRALI CURVILINEI _______________________________________________ 68

16.1 Integrale curvilineo di un campo vettoriale ________________________________________________ 68

16.1.1 Invarianza dell’integrale curvilineo per riparametrizzazioni ______________________________ 68

16.2 Campo conservativo ___________________________________________________________________ 69

16.2.1 Potenziale del campo conservativo ___________________________________________________ 69

16.2.2 Integrale curvilineo di un campo conservativo _________________________________________ 69

16.2.3 Caratterizzazione dei campi conservativi ______________________________________________ 69

16.3 Campo irrotazionale ___________________________________________________________________ 71

16.4 Irrotazionalità e conservatività __________________________________________________________ 71

16.4.1 Irrotazionalità come condizione necessaria per la conservatività __________________________ 71

16.4.2 Invarianza omotopica dell’integrale curvilineo di un campo irrotazionale ___________________ 72

16.4.3 Insieme semplicemente connesso; insieme convesso ____________________________________ 72

16.4.4 Condizione sufficiente per la conservatività – corollario dell’invarianza omotopica ___________ 73

16.5 Algoritmo di calcolo di un generico integrale curvilineo ______________________________________ 73

16.6 Corrispondenza tra campo vettoriale e forma differenziale ___________________________________ 74

CAMPI VETTORIALI IN ℝ

17 ________________________________________________________________ 75

17.1 Teorema di derivazione sotto segno di integrale ____________________________________________ 75

17.1.1 Corollario ________________________________________________________________________ 75

17.2 Dominio regolare ______________________________________________________________________ 75

17.2.1 Dominio regolare normale __________________________________________________________ 75

17.2.2 Dominio regolare o di Green _________________________________________________________ 76

17.3 Rotore di un campo nel piano ____________________________________________________________ 76

17.4 Teorema di Gauss-Green ________________________________________________________________ 76

17.4.1 Corollario ________________________________________________________________________ 78

18 SUPERFICI _____________________________________________________________________________ 80

18.1 Superficie elementare o parametrica _____________________________________________________ 80

18.2 Superficie cartesiana ___________________________________________________________________ 81

18.3 Punti interni e bordo di una superficie ____________________________________________________ 81

18.4 Piano tangente a una superficie __________________________________________________________ 82

18.5 Superficie regolare _____________________________________________________________________ 83

18.6 Superficie orientabile __________________________________________________________________ 84

18.7 Superficie composta regolare a pezzi _____________________________________________________ 85

Federico Casucci ©

6 18.8 Superficie composta orientabile __________________________________________________________ 86

18.9 Superfici equivalenti ___________________________________________________________________ 86

18.10 Superfici di rotazione – parametrizzazione e area II teorema di Pappo-Guldino ______________ 86

e INTEGRALI SUPERFICIALI

19 CAMPI VETTORIALI IN ℝ ________________________________________ 88

19.1 Integrale superficiale di una funzione scalare ______________________________________________ 88

19.1.1 Invarianza dell’integrale di superficie per riparametrizzazioni ____________________________ 88

19.2 Flusso di un campo vettoriale ____________________________________________________________ 89

19.3 Dominio regolare ______________________________________________________________________ 89

19.3.1 Dominio regolare normale __________________________________________________________ 89

19.3.2 Dominio regolare __________________________________________________________________ 91

19.4 Divergenza di un campo vettoriale in ℝ __________________________________________________ 91

19.5 Teorema della divergenza _______________________________________________________________ 91

19.6 Rotore di un campo vettoriale in ℝ ______________________________________________________ 94

19.7 Teorema di Stokes _____________________________________________________________________ 94

20 SERIE NUMERICHE ______________________________________________________________________ 97

20.1 Condizione necessaria di convergenza ____________________________________________________ 98

20.2 Serie di numeri positivi _________________________________________________________________ 98

20.2.1 Criterio del confronto ______________________________________________________________ 98

20.2.2 Criterio del confronto asintotico _____________________________________________________ 99

20.2.3 Criterio del confronto integrale ______________________________________________________ 99

20.2.4 Criterio del rapporto ______________________________________________________________ 100

20.2.5 Criterio della radice _______________________________________________________________ 100

20.3 Convergenza assoluta _________________________________________________________________ 101

20.3.1 Teorema ________________________________________________________________________ 101

20.3.2 Criterio del rapporto per serie numeriche di un qualunque segno ________________________ 101

20.3.3 Criterio della radice per serie numeriche di un qualunque segno _________________________ 102

20.4 Serie di numeri di segni alterni _________________________________________________________ 102

20.4.1 Criterio di Leibniz ________________________________________________________________ 102

21 SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI ___________________________________________________ 103

21.1 Sistema in forma normale ________________________________