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Teorema: CRITERIO DEL CONFRONTO per LE SERIE (Analisi 2)
Sono date le serie ∞∑k=0ak e ∞∑k=0bk a termini positivi.
- Se ak∼bk allora ∞∑k=0ak e ∞∑k=0bk hanno lo stesso carattere
dim. Se ak∼bk allora k→∞lim (ak/bk) = 1
Allora per definizione di limite si ha: ∀ε > 0 ∃ n₀ > 0 . C n > n₀ → | ak/bk - 1 | < ε
da cui: 1 - ε < ak/bk < 1 + ε
da cui: (1 - ε) bk < ak < (1 + ε) bk 1 A quest'ultima si può applicare il criterio del confronto per serie
Se ∞∑k=0ak converge, allora dalla 1 ak < (1 + ε) bk per il criterio di confronto anche ∞∑k=0bk diverge.
Teorema: MAX MIN RELATIVI
Premessa: Sia f:A ⊆ ℝ² → ℝ, (x,y)↦f(x,y) e f ∈ C1(A).
Allora
f(x,y) = f(x₀,y₀) + ∇f (x₀,y₀)·(x-x₀,y-y₀) + 1/2 [ x-x₀T 1/2 y-y₀T ] H[(x₀,y₀)](x-x₀T y-y₀) + o(||x̅ - x̅₀||²)
Sia stazionario un punto di f (x₀,y₀): Allora:
f(x,y) = f(x₀,y₀) + 1/2 [ x-x₀T 1/2 y-y₀T ] H[(x₀,y₀)](x-x₀T y-y₀) =
= fxx(x₀,y₀)(x-x₀)² + 2fxy(x₀,y₀)(x-x₀)(y-y₀) + fyy(x₀,y₀)(y-y₀)² + o(||x̅ - x̅₀||²)
Abbiamo che in (x₀,y₀)
z = fxx(x₀,y₀)(x-x₀)² + 2fxy(x₀,y₀)(x-x₀)(y-y₀) + fyx(x₀,y₀)(y-y₀)²
è il polinomio di 2° grado che meglio approssima f in un opportuno intorno di f.
Geometricamente Z è un paraboloide ellittico o un paraboloide iperbolico. Per capire che tipo di paraboloide è, dobbiamo trovare la forma canonica:
z = λ1x² + λ2y².
Si può dimostrare che, nella forma canonica, λ1 e λ2 sono gli autovalori della matrice H(x₀,y₀):
Se λ1, λ2 hanno lo stesso segno allora Z è un paraboloide ellittico.
Se λ1 e λ2 hanno segno opposto, allora z è un paraboloide iperbolico.
NATURA DEI PUNTI STAZIONARI x FUNZIONI IR2→IR.
È data f: A⊂IR2→IR, (x,y)→f(x,y), f∈C2(A).
Sia (x0,y0)∈A punto stazionario di f. Allora, indicati con λ1, λ2 gli autovalori di H(x0,y0):
- Se λ10 allora (x0,y0) è punto di massimo relativo per f.
- Se λ1⋅λ20 allora (x0,y0) è punto di estremo relativo per f. In particolare si ha che:
- Se fxx (x0,y0)>0 allora (x0,y0) è punto di minimo relativo x f.
- Se fxx (x0,y0)
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