Teorema: CRITERIO DEL CONFRONTO x LE SERIE (Analisi 2)
Sono date le serie ∑ak e ∑bk a termini positivi.
- Se ak ∽ bk allora ∑ak e ∑bk hanno lo stesso carattere
dim. Se ak ∽ bk allora limk→+∞ ak/bk = 1.
Allora per definizione di limite si ha: ∀ ε > 0 ∃ nε > 0 t.c. ∀ n > nε
da cui: 1 - ε < ak/bk < 1 + ε
da cui: (1 - ε)bk < ak < (1 + ε)bk ① A quest'ultima si può applicare il criterio del confronto x serie
- Se ∑ak converge, allora dalla ① > ak < (1 + ε)bk per il criterio del confronto anche ∑bk diverge.
Teorema: MAX. MIN. RELATIVI
Premessa: Sia f: A⊆ℝ2→ℝ, (x,y)↦f(x,y) e f∈C2(A).
Alloraf(x,y) = f(x0,y0) + ∇f (x0,y0) ⋅ (x-x0,y-y0)+1/2(x-x0,y-y0)[H(x0,y0)](x-x0,y-y0)T + o(‖x̄ - x̄0‖2)
Sia stazionario un punto di f (x0,y0). Allora:-f(x,y) = f(x0,y0) + 1/2 [y-y0 [ H(x0,y0) y-y0 ] == -f(x0,y0) + 1/2 [ fxx(x0,y0)(x-x0)2 + 2 fxy(x0,y0)(x-x0)(y-y0) + fyy(x0,y0)(y-y0)2 ] + o(‖x̄ - x̄0‖2)
Abbiamo che in (x0,y0)
z = f(x0,y0) + 1/2 [ fxx(x0,y0)(x-x0)2 + 2 fxy(x0,y0)(x-x0)(y-y0) + fyy(x0,y0)(y-y0)2 ]
z è il polinomio di 2° grado che meglio approssima f in un opportuno intorno di f.Geometricamente Z è un paraboloide ellittico o un paraboloide iperbolico. Per capire che tipo di paraboloide è e dobbiamo trovare la forma canonica:
z = λ1x2 + λ2y2
Si può dimostrare che, nella forma canonica, λ1 e λ2 sono gli autovalori della matrice H(x0,y0):
- Se λ1, λ2 hanno lo stesso segno allora z è un paraboloide ellittico.
Teor. CRITERIO DEL CONFRONTO x LE SERIE
Sono date le serie k=0∞ ak e k=0∞ bk a termini positivi.
→ Se ak~bk allora k=0∞ ak e k=0∞ bk hanno lo stesso carattere
dim. Se ak~bk allora lim k→+∞ ak/bk = 1
Allora per definizione di limite si ha: ∀ ε > 0 ∃ nε > 0 + C. n > nε → |ak/bk -1| < ε
da cui: 1 - ε < ak / bk < 1 + ε
da cui: (1-ε)bk < ak < (1+ε) bk 1. A quest'ultima si può applicare il criterio del confronto x serie
Se k=0∞ ak converge, allora dalla 1 → ak < (1+ε)bk per il criterio del confronto anche k=0∞ bk diverge.
Teor. MAX. MIN. RELATIVI
Premessa: Sia f: A ⊂ IR2 → IR, (x,y)1 → f(x,y)1 e f ε C1(A).
Allora
f(x,y)1 = f(xo,yo) + ∇f (xo,yo)(x-xo, y-yo) + 1/2 [ (x-xo)/(y-yo) ] H[(xo,yo)] [(x-xo)/(y-yo)] + o( ||x̅-x̅o||2 )
Sia stazionario un punto di f (xo,yo). Allora:
f-x(x,y)1 = f(xo,yo) + 1/2 [ (x-xo)/(y-yo) ] H[(xo,yo)][ (x-xo)/(y-yo) ] =
= f(xo,yo) + 1/2 [ fxx(xo,yo)(x-xo)2 + 2fxy(xo,yo)(x-xo)(y-yo) + fyy(xo,yo)(y-yo)2 ] + o(|| x̅-x̅o ||3)
Abbiamo che in (xo,y
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