Appunti Analisi 2

Dispense di analisi 2

Daniele Palma Esposito

SNAMO

Indice

• Numeri complessi 2
• Serie numeriche 6
• Funzioni di due variabili 18
• Equazioni differenziali 30
• Integrali doppi 39
• Curve 43
• Forme differenziali 49

Uno speciale ringraziamento va a Giacomo Luca Tandurella e Salvatore Melograno per il contributo dato alla realizzazione dell’elaborato.

Numeri complessi

= − = + = (cos + sin )

Forma algebrica e forma trigonometrica

Per le somme fra numeri complessi, conviene la forma algebrica; per i prodotti fra numeri complessi, conviene la forma trigonometrica. Perché?

La somma di due numeri complessi in forma algebrica è la semplice addizione delle componenti reali e immaginarie = (1 + 2) + (1 + 2)

Il prodotto di due numeri complessi in forma trigonometrica è uguale a:

(( = ∗ + ) + ( + ))

Dimostrazione

(cos ) (cos ) = ∗ + sin ∗ + sin (cos ) = ∗ ∗ cos + sin ∗ cos + sin cos − sin sin

Si nota che, facendo un raccoglimento parziale per i, nella parentesi risulta esserci il seno di una somma, mentre gli elementi che non presentano la i, risulta esserci il coseno di una somma, ossia:

(( = ∗ + ) + ( + ))

In maniera analoga si tratta il rapporto. Per le potenze, si eleva ρ per l’esponente e si moltiplica ϑ per l’esponente. Per le radici, si fa la radice di ρ e si divide ϑ per l’indice della radice.

Come rappresentare i numeri complessi

I numeri complessi si possono rappresentare sul piano di Gauss, tenendo bene a mente che la parte immaginaria, ossia la b, non è altro che un numero Reale e, quindi, rappresentabile.

Esercizi sui numeri complessi

Scrivere z in forma trigonometrica = + Trovare ϑ può risultare un po’ più difficoltoso, perché deve soddisfare ben due equazioni, ossia: = =

Possiamo ricavare queste formule anche solo guardando il piano di Gauss ed osservando che a non è altro che la proiezione del vettore dall’origine al punto P’, di modulo ρ, sull’asse delle ascisse, mentre b è la proiezione sull’asse delle ordinate. Risolvendo questo sistema, si trova il valore di ϑ. La forma trigonometrica si può allora scrivere come: = ( + )

Esercizi sui numeri complessi

Gli esercizi possono basarsi su:

• Portare la notazione da algebrica a trigonometrica;
• Portare la notazione da trigonometrica ad algebrica;
• Trovare le soluzioni ad un’equazione;
• Trovare l’insieme delle soluzioni che, elevate alla n (numero casuale, scelto per l’occasione), diano come risultato x.

Dando per scontato che i primi due tipi siano chiari per la spiegazione di cui sopra, si può procedere allo svolgimento dei restanti due problemi.

Equazioni con numeri complessi

Avendo come espressione: + + = Si procede con il calcolo del discriminante ∆= − = − ∙ = −− ± − ± √−√∆ = =

Solitamente, ci saremmo fermati qui perché c’è una radice di un numero negativo, ma, per nostra fortuna, abbiamo da poco introdotto l’unità immaginaria, ossia quel numero il cui quadrato corrisponde a -1, quindi: √− ± − ± √ = =

In questo passaggio si è semplicemente considerato il segno meno come un e lo si è portato fuori dalla radice, ottenendo: √ √ = =

Da questo esercizio si ha appreso che per ogni risultato complesso, risulta come risultato anche la sua complessa coniugata.

Trovare l’insieme delle soluzioni n

Dato un numero complesso z, si trovi l’insieme delle soluzioni per cui z = a+ib Per essere più chiari, si prenda un esempio a cui rapportarsi. = che, portato nella sua forma trigonometrica, sarebbe= = + 3

Questi, però, sono i risultati di z, non di z, quindi: {, = = ∈ , , … , − } √

Considerando n l’esponente iniziale di z, si può dire che il modulo è uguale alla radice ennesima di e che l’angolo è uguale all’angolo diviso per n. Le soluzioni risultano, quindi:

• ( ) = + √
• ( ) = + √
• ( ) = + √

Nel caso in cui la traccia fosse qualcosa del tipo √ = + Lo si considererà come quella z per cui = + Riportandosi così al problema appena studiato.

Perché? Si desidera porre l’attenzione sul motivo per cui sia semplicemente e sia semplicemente la radice cubica di Questo avviene perché, dovendone fare la radice cubica, si utilizza il teorema spiegato nella pag.2

Serie numeriche

Introduciamo ora le serie numeriche distinguendole in due tipologie.

Avendo: ≥ 0 ∀ ∈ ℕ > 0 ∀ ∈ ℕ

Il limite di una successione numerica è solo perché questo è l’unico punto di +∞ accumulazione di ℕ, tutti gli altri sono punti isolati.

Teorema

Una serie a termini positivi non è indeterminata.

Dimostrazione

Avendo = = + = + + Quindi: < < è strettamente crescente Quindi: Esiste il limite per il teorema delle successioni monotone.

Teorema

Condizione necessaria per la convergenza di una serie è → =

Dimostrazione

HP lim = − =0 = + + + ⋯+ = + + + ⋯+ +

Le serie sono la sommatoria di tutti i termini generali e le due sommatorie differiscono solo per .

Si può dire che:

( ) ) lim − = lim(( + + ⋯ + − ( + + ⋯ + + )

Quindi: ( ) lim − = lim

Ricordando che per il limite per n che tende a di è uguale a S, allora ∞ − =0 Il primo membro tende a 0 e, quindi, anche il secondo dovrà fare lo stesso. = Come volevasi dimostrare.

Serie armonica - Teorema

Hp Si vuol dimostrare che la serie armonica, di cui sotto, diverga. =+ + +⋯

Si nota che e = lim = 0

Dimostrazione

Fisso e prendo quindi ≤ ∈ ℕ ≥ 1 1 ≤ 1[log []] ≤ 1( + 1) − log() ≤ 1( + 1) − log() ≤

Andando a svolgere la sommatoria, troviamo che a sinistra c’è (log (log (log (log2 − log 1) + 3 − log 2) + 4 − log 3) + ⋯ + − log( − 1))

Si eliminano tutti gli elementi, tranne log − log 1 Ma quindi la sommatoria è proprio uguale a log 1=0, log Visto che il primo membro della diseguaglianza diverge, anche il secondo, maggiore uguale, deve divergere. Il secondo termine è proprio la serie armonica. La serie armonica diverge, come volevasi dimostrare.

Serie armonica generalizzata

Diverge sempre? No. ∑ Dalla serie armonica si può ricavare la serie armonica generalizzata. La serie armonica si può considerare come un caso particolare della serie armonica generalizzata, ossia il caso in cui α=0

Avendo Si può dire, per che la serie diverge > 0, ∀ ≤ 1 La serie converge ∀ > 1 Eppure anche i casi in cui α<1 soddisfano la condizione necessaria per la convergenza, eppure divergono. Perché? Perché la condizione è, per l’appunto, necessaria, non sufficiente.

Per determinare la convergenza di una serie, il primo passo è sempre verificare la condizione necessaria. Nel caso in cui questa sia uguale a 0, allora la serie potrebbe divergere. Per verificarlo, si possono utilizzare quattro criteri:

1. Criterio del rapporto;
2. Criterio della radice;
3. Criterio degli infinitesimi;
4. Criterio del confronto.

Per verificare la convergenza di una serie, quindi, basta:

1. Verificare la condizione necessaria per la convergenza di una serie, ovvero sia il in caso contrario la serie diverge. lim = 0,
2. Se la condizione è soddisfatta, si sceglie uno dei quattro criteri e, se soddisfatti, si può dire che la serie converge. Se non vengono soddisfatte, le serie divergono.

Perché la serie non fa altro che convergere e divergere? Non può essere irregolare? No, per il teorema esposto a pag. 6

Criterio del rapporto

∈ℝ Se la serie converge 0 ≤ < 1 Se la serie diverge > 1,Se non si sa nulla, probabilmente si sta utilizzando il criterio sbagliato. = 1,

Si usa quando numeratore e denominatore sono formati da funzioni differenti.

Criterio della radice

= ∈ ℝ Se la serie converge 0 ≤ < 1 Se la serie diverge > 1,Se non si sa nulla, probabilmente si sta utilizzando il criterio sbagliato. = 1, n

Si usa quando contiene un esponenziale (es. aⁿ).

Criterio degli infinitesimi

Se ∙ = ∈ℝ Allora la serie ha lo stesso carattere di che è la serie armonica generalizzata di cui già conosciamo il carattere.

Criterio del confronto

Certe volte, delle serie sono troppo complicate per essere studiate così come ci appaiono, quindi le dobbiamo confrontare con altre.

Si prenda, ad esempio, il sin :

Quest’ultimo, immesso in una sommatoria, è di difficile studio (anche perché il suo limite per n che tende ad infinito non esiste).

Si prenda ad esempio la serie: |sin |

Visto che il ci dà fastidio, possiamo scrivere che sin |sin | 1≤

Del membro a destra si conosce già il carattere, essendo questa una serie armonica generalizzata e, quindi, si può già dire che converge. Di conseguenza, convergerà anche il membro di sinistra, essendo minore.

Caso diverso è, invece, |sin | Perché si dovrà confrontare con |sin | 1≤ E si sa già che il membro di destra diverge. Questo significa che il membro a sinistra diverge? NO. Semplicemente, non possiamo dire nulla.

Serie a segno variabile

Nello scorso esercizio siamo stati aiutati dalla fortuna, perché ci siamo ritrovati ad analizzare |sin | E non: sin La differenza fra le due serie è che la prima ha sempre segno positivo, mentre la seconda varia il suo segno. Per risolverla, allora dobbiamo affidarci ad un teorema.

Teorema

Se è assolutamente convergente, allora è anche convergente.

Che significa? Che, per risolvere le serie a segno variabile, basta studiare il modulo di a_n. In pratica, se converge | | Allora la serie iniziale converge. Es. sin Questa serie è a segno variabile, ma, studiandone il valore assoluto, si ricade nell’esercizio di pagina 10, quindi sappiamo già che la serie è assolutamente convergente e, quindi, converge.

Serie a segno alterno

La serie a segno alterno è una serie particolare caratterizzata da (−1)(−1) = − + − + − ⋯ Si può risolvere con lo stesso metodo esposto nella pagina precedente, ossia vedendo se la serie converge assolutamente.

Quindi è necessario che converga assolutamente affinché la serie converga? No, una serie può convergere anche se non assolutamente.

Per verificare questi casi, si utilizza il criterio di Leibniz

Criterio di Leibniz

HP Se e è una successione decrescente, ovvero lim = 0 ≤+1 → ≥ ∀ ∈ ℕ allora TH (−1) è convergente

Nei casi in cui la serie converge per il criterio di Leibniz e non con il teorema della convergenza assoluta, si dice che la serie è convergente ma non assolutamente convergente.

Teorema serie geometrica

Si vuol dimostrare che: 1−1 + + + + ⋯+ = 1−

Per farlo, si richiama alla memoria il principio d’induzione, ossia:

Sia P una proprietà che dipende dal numero naturale n. n Supponiamo che:

1. P sia vera;0
2. Per ogni se P è vera, allora anche P è vera. ∈ ℕ, n n+1

Allora P è vera per ogni ∈ ℕ. n

Si prenda la successione 1 + + + + ⋯+ +

Per dimostrare la validità di quello detto sopra, proviamo ad utilizzarla

( )1 − + =1−

Si faccia il minimo comune multiplo (11 − + − ) =1−

Si svolga la parentesi e si elidano le quantità opposte 1− + − =1−

Ottenendo così proprio quello che cercavamo. 1−1−

Visto che questo teorema vale per un k generico, possiamo dire che ∀ ∈ ℕ. Come volevasi dimostrare.