Appunti Analisi 2

TEOREMA DI WEIESTRASS

Per : ⊆ ℝ → ℝ

Se A è un insieme chiuso e limitato e se la funzione è continua in A, allora

f ammette massimo e minimo assoluto 23

Condizione necessaria ma non sufficiente per i punti di massimo e minimo

relativo ( )

; = 0

( )

; ( )

; = 0

( )

; è

Condizione sufficiente ( )

; > 0

( )

; > 0 ( )

; < 0

( )

; = 0

( )

; < 0 è

: ⊆ ℝ → ℝ

Se A non è limitato

1. Calcola e

=0

2. risolvere il sistema

=0

3. Studiare H dove si annullano e

Se A è limitato

1. Uguale

2. Uguale

3. Uguale

4. Confrontare i punti trovati con H con la frontiera

Definizione ( )

; = 0

è un punto critico se

( )

; ( )

; = 0

TEOREMA DI FERMAT

Se è un punto di massimo o minimo, allora è un punto critico.

( )

; 24

Quando f si dice differenziabile

f differenziabile in se:

( )

;

1) Esistono e

( ) ( )

; ;

2) ) ( )ℎ ( )

( + ℎ; + ) − ( ; − ; − ;

lim =0

( )→( )

; ; +

√ℎ

⟨∇;

∙ ℎ + ∙ = (ℎ; )⟩

) ⟨∇; (ℎ;

( + ℎ; + ) − ( ; ≅ )⟩ + ( ℎ + )

) ( )( ) ( )( )

= ( ; + ; − + ; −

TEOREMA dim

f differenziabile in ( ) ( )

; ⇒ ;

|(

lim + ℎ; + ) − ( ; )|

( )→( )

; ; ⟨∇; (ℎ;

lim )⟩ + ( ℎ + ) = 0

( )→( )

; ; 25

TEOREMA DEL DIFFERENZIALE TOTALE ( )

∈ ⇒ è ;

) ( ) ( )

( + ℎ; + ) − ( ; − ; ∙ ℎ − ; ∙

lim =0

( ; )→( ; ) +

√ℎ

)

( + ℎ; + ) − ( ; )

= ( + ℎ; + ) − ( ; + ) + ( ; + ) − ( ;

Ricordo il teorema di Lagrange () − ()

()

= − (̅

( + ℎ; + ) − ( ; + ) = ; + ) ∙ ℎ

) ( )

( ; + ) − ( ; = ; ∙

segnato perché compreso fra ]

̅ ; + ℎ[

Quindi, tornando alla prima formula

(̅ ( ) ( ) ( )

; + ) ∙ ℎ + ; ∙ − ; ∙ ℎ − ; ∙

lim =0

( ; )→( ; ) +

√ℎ

ℎ

[ (̅ ( )] ( ) ( )

lim ; + ) − ; ∙ + ; − ; ∙ =0

( ; )→( ; ) + +

√ℎ √ℎ

( )

∈ ⇒ è ; ⇒ lim ∈

26

: → ℝ : → ℝ

→ () → (); ()

: → ℝ : ℝ → ℝ

(;

→ () ) → (; )

[;

= ]

Funzione composta (F)

→ℝ →ℝ

→ (); () → (); () : → ℝ

→ (); ()

Es.

() = + 1 () = − 1 (; ) = + + 2

( (

: → + 1) + − 1) + 2( + 1)( − 1)

() () ()

= (); () + (); ()

Si può fare solo se x e y sono derivabili e F è differenziabile

Osserviamo che è un punto di massimo o minimo relativo per f

)

( ; () ( ) (

() = + ; + ; + )

() = + = 1

() (0) ( )

() = = 0 = ; = 0

27

TEOREMA DEL DINI O DI INVERTIBILITÀ LOCALE

Supponiamo che e

∈ () ≡ ( ; ) ∈

HP e

) ( )

( ; = 0 ; ≠ 0

Allora esiste un intorno U di ed un intorno V di ed esiste

ℎ: →

)

( ; = 0 ⇔ = ℎ()

(, ℎ())

()

ℎ = − (, ℎ())

Supponiamo di voler trovare max e min di f in un chiuso e limitato A la cui frontiera ha equazione

(; ) = 0

Ricordando che : ⊆ ℝ → ℝ

(; ) → (; )

() = ; ℎ()

()

= ; ℎ() + ; ℎ() ∙ ℎ ()

(, ℎ())

()

= ; ℎ() − ; ℎ() ∙ (, ℎ())

; ℎ() ; ℎ() = (; ℎ()) (; ℎ())

Accade solamente quando =

=

e sono proporzionali con la stessa costante di proporzionalità di e

moltiplicatore di Lagrange

= 28

Per trovare max e min vincolati

=0

1) e, se i punti sono interni al dominio, fare la condizione necessaria

=0

2) Studio dell’Hessiano (cond. Sufficiente)

3) Studio della frontiera

a. Se il limite non è lineare, moltiplicatore di Lagrange

b. Se i limiti sono rette, diventano funzioni di una sola variabile

Domini

Trovare l’insieme di definizione della funzione di due variabili

Es. )

(; ) = sin( +

Questa funzione è definita per )

sin( + ≥ 0

Questo avviene quando ( )

0 ≤ + ≤

Ricordando la periodicità del seno, si può dire che la soluzione è

( )

2 ≤ + ≤ (2 + 1)

Ossia una serie di corone circolari 29

EQUAZIONI DIFFERENZIALI

(); ()

; (); … ; = 0

Ove derivabile k volte ed F è un’equazione differenziale di ordine k.

() → ℝ

Es. + + () = −25

Equazione differenziale di secondo ordine

() (); ())

= (; (); … ;

Questa viene detta forma normale.

() () () () ()()

+ + + ⋯ + = 0

Ove sono continue

(); (); (); ()

… ; è applicazione lineare

() () () () ()()

: → + + + ⋯ + =

) )

( + = ( + ( )

sono due funzioni continue e derivabili k volte

∈ ℝ; ∈ ℝ

() () () () ()

= + + ⋯ + = () ∈

() () () () ()

= + + ⋯ + = ()

)

( − = − = − = 0

() () () () ()()

= + + + ⋯ + = ()

Bisogna trovare tutte le soluzioni di

() () () () ()()

= + + + ⋯ + = 0

Integrale o soluzioni generali

Poi si deve trovare una soluzione di

() () () () ()()

= + + + ⋯ + = ()

Integrale o soluzione particolare 30

Equazione differenziale lineare ()

= () ()

( ) con

= () () ≠ 0

( ) ()

= ()

()

Attraverso il metodo della sostituzione, poniamo:

= ()

()

=

E quindi:

= () → log() = () +

∫ ∫ ( ) ( ) ( )

= = =

Si è così riusciti a trovare la soluzione generale. 31

Avendo ormai a nostra disposizione una soluzione, ossia:

( )

()

= () () → () =

Prendendo l’equazione differenziale:

()

= () () + () ()

Si ricorda che le soluzioni si dividono in

() = 1() + 2()

Soluzione generale Soluzione particolare

( ) ( ) ( )

() () ()

= () () = + () ()

Portando questi risultati nella formula ():

( ) ( ) ( )

()

+ () () = () () + ()

Si ottiene, quindi: ( )

()

= ()

( ) ( )

()

= () () = ()

∫

Introducendo questi risultati nella formula (): ( ) ( )

()

= ()

∫

Quindi: ( ) ( )

= + = + ()

32

Risolvere le equazioni differenziali

()

= ()() + ()

Equazione differenziale lineare

Per risolverla, trovare a(x), farne la primitiva A(x) e trovare b(x)

Fatto questo, non resta che applicare la formula

( ) ( )

() = + () ∙

()

= ()()

Equazione differenziale a variabili separabili

Se divido a destra e sinistra per

() ≠ 0, ()

= ()

()

Ricordando che

=

Si trova = ()

()

Si fa l’integrale a destra e a sinistra e si chiama la primitiva di “Giovanni”