Appunti Analisi 2

A

piano per

passante o ,

S ,

al di f

grafico

tangente

e di differenziabilità

regole E

differenziable VIX

x 4)

p

#X ) +

= ,

, et derivabile su

Ulti = 1

et sup

differenziabile

+

y)) è

U(f(x =

, derivable

è Ea

F

Se in punto interno

un

dominio

al è derivabile di

nell'intorno le

- Fo

se e

parzali

derivate Fa

di fin Se

sono continue è

discontinuita bisogna la

vallare

hanno funzione

se

una differenziabile

differenziabile

è

allora f Fo

in percé

quel punto

in concludere

può

si

on

Subito

de è

non

considerando differenziabile

A

insieme aperto se

Un sopraelencata

le

=> caratteristiche si

ha /A)

di

è Classe

f

dice che del gradiente

Formula

ef differenziale e

e

-v Vorodotto

Fo

Fo y scalate

versare le direzionali

di calcolare derivate

consente senza

applicare definizione

la

problemi di liberi

minimo

massimo e

alcuni Veder

e se

subasta

casi

ci cui

in

sono

disposta la

com'è funzione

immediati

più

e

Sene more di

è relativo

Se minimo/

fo massimo

punto

un

#FIFol

allora =

accade stazionari

I questo

punti sono

cui punti

in

c'è

quando stazionario in

punto Cvi

un

nel la ha

funzione unico

intorno

suo un

non sella

di

quel

dica è

punto

segno si che

determinate dato

Per e

Se punto

un

di sella costruisce

si

min e

max ,

la fessiona

matrice : variabilit

due

↑

Ex

( Fre

H la

- componenti sono

= =3 le

- seconde

derivate

Tutte

- ↑

( Fu

Fu Z variabiliy

#re

H Fre

= Z

1

M Tzx

- z

zx

è quindi

quindi

He Fox

Fun

simmetrica =

detiata

solo

basta trovare miste

una

det /Hfl

Definita of

Positiva relativo

a

>

>

- minimo

>

-

rit)

+ >

def massino

Definita negative relati e

de

Indefinita Sella

>

- de

semidefinita positivi di

e massi

det è

semidefinita 0)e

(Hf) minimo

di

Negativa non

- =

/20

+

+(H =

di quelli

Se punti min sono

esistono may in

o

gradiente

il bisogna

annulla Ma

cur si prestare

considerare

molta i punti

a

attenzione Tutti :

y) 1

24(n(2 42)

f(x = +

=

,

((x 70)

y)/2 4

D aperto

= -

,

&

=

x

2(n(2

= 21 0

+ =

= - analizza

~ si

* 0

=

0 cri

= tutti In

casi

i

* annulla

la

= funzione si

- y 0

= è

seconda

la ed

se =o (nz

2(n2 1

21 0

+ =

= - -

1

Se 0 -

=

1) xz

(12 19

125X

0es 2

2 =

= =

-

- lo, nel 0

01

possibili 10

10

questi

si punti

hanno : , , ,

,

calcola la Hessiona

questo

a matrica

punto si stabilisce

punti si

tutti e

i

Su cosa sono vincolati

di

Problemi minimo

massimo e

delle condizioni

vincoli legano

: sono ce

varabili

le che questa

hanno forma :

((4 ye 0

(g(x y)

2 =

= ,

, è implicita

vincola

y)

3(x il in forma

0

=

, è

dalla possibile

relazione y

se gir ricavate

o

=

, dell'altra può

variabile si

funzione

una in a se semplice

regolare

parametrizzare con curva

una a

è esprimibile

allora esplicita

vincolo

il in forma

esplicitizzabile

vincolo

il

in

caso sia

cui di

il vincolo può scrivere sottoforma

si

parametrizzazione

Fitf

calcola FIFIEI

Si si trova i suoi

e ad

di dimensione

massimo

punti saranno una

che

, di alla

si sostituiscono massimo

: punti -

quindi il

Parametrizzazione massimo

se e

,

calcola risultato

Fitol il

to 5

in e all'interro

di

è della

l massimo funzione

Punto

del vincola esplicitizzabili

vincoli

caso cui

in i sono

non

((y 0)

dato A(g(x

y y)

a =

= =

,

,

è di

to)

140 massimo,

se minimo

punto

un

,

relativo e

ristretta

per se

e

a

allor

10)

#gia t

,

* Pol

Sol Eglos

Er Io

t c =

.

. ,

quindi %1 generale

(40 in Si

trovare

per ,

deve risolvere il sistema :

↑ 1)

y)

(x 1941x

= = ,

,

x (4 198(4 4)

4)

= =

- ,

4)

S(4 0

=

, 4

Egiy

i cui

oppure punti in o

=

, richieda

problema

nel il

cur

caso in come

vincol curva ma arez

una Un

non considere

1214

x2

per Si

esempio

come + 1224

dominio

il travando

+

Prima interno la fessiona

minimi

massimi matrice

e

i con

considera la

poi some

si frontiera

e

vincol trovando

1

12 massimi

i e

+ =

di

minimi su essa di

e Ca

quando 61x1c

l'insieme = , ,

è al

rettangolo base

esso con e

un

altezza Cd

INTEGRALI Doppi

domini rettangolari

su è rettangolo

f R

continua

se Su

è integrabile

allora R

su

d)

b)

(a

R (c

= +

, ,

d)

se

5 variabil sa

R

domini regolari

semplici e

dominio semplice

1-

(14 911411119214))

6)

y)) e (a

A +

= ,

, ,

allora

& - = d

(

↑ dade

fix)

A

- D

-S

& 6

2

dominio semplice

X- (4) =4znz))))

((x y))1 d)

(a

B n

e

= , , .

,

=

l'unione

è domini

di semplic

regolare

dominio

un dominio regolare misurabile

ha

un area :

/idede

Di = degli

valgono integrali

le proprieta

tutte

singoli di variabili

cambiamento

I e cambiare mode da

di

il deforme

variabili

le

quelle in

concetto e se

semplice

(f(xit

f(x /dei Jelt

dade sideds

4) 5) 41t

= , , ,

,

, -

D d

S))

-(d(t

, determinante della

d(D) 1 -

= Jacobiana

Matrice

↑

1

Jo Attenzione ottenere

= Per

: quindi

la si

curra

nuova le

sostituisce funzioni con

del

e variabili

Funzi associate

le a

nuova nella

quelle recchia

veccive

curva coordinata

ad le

esempio

Serve trasformate

Per

coordinate mebrit

in 01

+10

paso (pcoso

/e pseno

4 si

= = , => =

, ,

04

Pseno 4/p

4 de

=

= (al

, p

+ =

la circonferenza

de era si

che una

curra rettangolo

nella R

trasforma e un

cre

curva dipende

di dal è dall'angolo

grandezza raggio

che

della circonferenza

Simmetrie all'asse

dominio

in y

rispetto

simmetrico

un se :

ad X

y)

F1x y) F14 rispetto

· pari

= ,

, 2((f(x

() d)

4)dade y)d

f(x +

= ,

,

- Ta

Ta

T Te te simmetrici

Tz

+ e

= ad

dispari

1)

4) -f(x

Fr- rispetto

· = ,

,

(f(x y) 0

=

,

- l'asse

vale la simmetria

Stesso y

per con

quantità doppi

integrali

calcolabili gli

fisiche con

massa e densiti

da y)

PIX =

, superflette

da

Baricentro =

fu 4)dade

+ +(0(x

I +

= - , dall'asse

delle

) coordinate di

distanza

( simmetria

↓ =

,

Integrali TRIPL

parallelepipedo

domini a ba

621

& 6.1 Jaz (az

a +

., , ,

zidadedadfd

#F ,

&

domini semplici

(14 1))

dezeS14

z))(4 4) 314

ed

m 1

= ,

,

, .

, , -

/D può

Sa D

continue si

Se su

e vierire

anche

condizioni

da per

queste esemio

l'insieme

si che

fat siz

per non

nullo

())

# zidadida zidz de

=

, ,

può

Si quata

fissare zo

anche una

Per Za

an

elz

attiene

si

cui una curvo = di

quindi D

si

in in

pratica funzione

scrive

Z e in

zidddd

F , è

d rispetti

con se

a compreso

cui

numeri in

e

all'asse z denivo

vale

lo concetto get

stesse e

ur alise

all'asse

semplice rispetto

trova e

cui si o

Per

esempi in cui fissata quota

viene una

sostituzione

integrazione per

è doper

degli integrali

il la

principio stesso zu

wi ↑

4(s Xw

t X

- = s

, =

,

4/S wi Jo

1 -

E

t =

= , wi

t

z)s

z = , , (1)

#Fr (50))dsdedu

will

zidedede f(bist det

4, = ,

s di

le riù

sostituzioni che sono

usano

cilindriche

coordinate / (50)

z) det

100 P

=

=

, z z

=

- 2t]

fo Io

Io

r] no

= , ,

,

P 8 Z

coordinate statiche cosa

& 4

5

P/p 4

0 =

, , P

z cos

= un pz

P"sent

det 1Jd =

=

R]

= ,

Fo

10 21] Do

+ ,

, Y

&

P

quantità calcolabili integrali tripli

fisiche con

-[i densità

d/x 21 o

1 >

, , / zidededz

dix

Massa i

= ,

,

= di

&

Baricentro Zzdz dedid

CAMPI VETTORIALI

3

=: (R-

/filx z1)

= Fal

z) fal

z) z)

i 1

1 1

1

= , ,

,

,

, ,

, ,

, ,

di

di

integrale linea o specie

2

de ele

Le. Fide

.

&

& due

scalare

prodotto vettori

: