Appunti Analisi 2

ANALISI II

• ALGEBRA LINEARE
• EQ DIFFERENZIALI 2° ORDINE
• SERIE NUMERICHE DI FOURIER

MATRICI: vengono indicate con lettere maiuscole. Le matrici sono elementi disposti in righe e colonne. Vengono individuate dalle righe e delle colonne. A (3x2) = 3 righe e 2 colonne.

A: ^| [ 2 ] _| [ x ]

Uso le lettere minuscole per indicare un elemento di una matrice e uso il carattere minuscolo e del indice della matrice (a_ij: 2).

Posso indicare anche solo il rigo

A₁: [ 4 5 8 ] [ 4 5 8 ]

R₁=(4,5,8) C₁=(1,4) C₂(5,5) R₂=(4,5,8) C₃(8,8)

Le matrici e abbastanza semplice, e può essere integrato in maniera differente.

Deg: le matrici A e B sono uguali (A=B), se sono dello stesso tipo, cioè hanno lo stesso numero di righe e di colonne e gli elementi che rioccupano la stessa posizione devono essere uguali.

Con questa scrittura: Mat (m, n, R) Introdurremo l’insieme delle matrici del tipo mxn, con a_ij∈R.

SOMMA: (A, B) —>A+B. Devono essere matrici dello stesso tipo, e ho come risultato una matrice (m, n, K), quindi le matrici di partenza A e B sono dello stesso tipo. (A+B) = a_ij + b_ij ∀ i j

esempio: A: [ 2 3 ]

A+B: [ 5 4 11 ]

B: [ 3 4 6 ]

PRODOTTO: calcolare matrici: moltiplica una matrice per un numero. K * Mat (m, n, K)

_{( x, Δ )} il primo elemento è sempre un numero, non posso indicare perché (xA)_ij= X (A_ij) + x_ij.

es: A : [ 3 2 ] x=3

=3A = ( -3 | -6 | -9 ) = -3x

Trasposizione

Mat(m, n, K) ⟶ Mat(n, m, K)

inverto righe e colonne.

(tA)_ij = a_ji

es. A = ^{1 2 3} tA = ^{1 4}

   4 5 6   2 5

   3 6

Proprietà:

Trasponendo, quando c’è ■ vedo sempre la stessa

matrice ottenendo matrice di partenza.

t(tA) = A   ∀ A ∈ Mat(m, n, K)

(tA)_ji = (A_ij) = a_ij

(t(A))_ij = (tA)_ij = (A)_ji = a_ji

tA m × n → A, t(tA) sono dello stesso tipo.

Somma: (A + B) + C = A + (B + C)   ∀ A, B, C ∈ Mat(m, n, K).

Vedo la proprietà associativa.

A + B = B + A   ∀ A, B ∈ Mat(m, n, K). Vedi la proprietà

commutativa.

La matrice O ∈ Mat(m, n, K)   (O)_ij = 0 ∀ i, j

è matrice nulla. A + O = A   ∀ A ∈ Mat(m, n, K). Con O ∈ Mat(m, n, K).

Dim: A m × n 0 m × n → A + O m × n

→ A, A + O sono di tipo m × n.

(A + O)_ij = (A)_ij + (O)_ij (A)_ij ∀ i, ... ∀i_j, ... h

Teorema:

Se A + B = A   ∀ A ∈ Mat(m, n, K) con B

∈ Mat(m, n, K) allora B = O di tipo m × n → A + B = B + Ø = B

Quindi O (A + B - B + Ø = B,

Dato A di tipo m × n, si chiama “opposto” di A, -A, ed

è matrice di tipo m × n + C. = (-A)_ij = -a_ij ∀ i, j

Teorema:

Dato A di tipo m × n A + (-A) = O se

A + B = Ø, B m × n → B = -A.

t(A + B) = tA + tB   tA = A

c(yA) = (cy)A = x(yA)   t(cA) = c^tA

x(A + B) = xA + xB

(xA)^t = xA^t + yA^t

Teorema (Binet)

Siano A, B n*n allora det(AB) = det(A) det(B)

Corollario:

Siano A, B, C n*n, allora det(AB) = det(BA)

Dim:

det(AB) = det(A) det(B), det(B) det(A) = det(BA)

Oss:

A, B n*m

Det(A) e det(B) → det(AB), non sono legati da alcuna relazione.

Teorema:

Sia A invertibile → se det(A) ≠ 0

Dim:

IP A e invertibile → ∃ A^-1 n*n tc AA^-1 = I = A^-1 A

Teò:

det(A) ≠ 0 det(AA^-1) = det(I) appplico Binet: quindi:

det(A) * det(A^-1) = det(I) (det(I) = 1)

det(A) * det(A^-1) = 1 → det(A) ≠ 0 det(A^-1) = ¹/_det(A)

Lem(1)_{2 sei a B n*n}

Taò...

Allora det(B) = a₁₁ b₂₂ ... b_nn

Se tutti gli elementi sopra o sotto c...

^... sono zero, cioe se è una matrice triangolare superiore o...

...

inferiore, il determinante si ottiene moltiplicando gli elementi

che si trovano sulla diagonale principale.

Dim:

B =

(^*/_0^*...

...

(^o/_0^o)

det(B) = b₁₁ c_......

cos...

di Lap...

Se elimino ... un... ...ano in una matrice

triangolare superiore o inferiore, ottengo una matrice

triangolare sup... ...^...

n = 2 B

^b_ii/_bi2

^o/_b22

det(B) = b_ii b₂₂→...

...

det(B) = b₁₁ det(B') cio... ...

b_1n ... ...

(^{b₁₁ b₁₂}/_b21)

B → ^{b₁₁ b_1n}/₀...

(^o/_b22) ... ...

det(B) = b_i(n-1) det(B') = b_ii(b₂₂ ... b_nn)

A m x n

Def: A è ridotta per righe se su ogni riga non nullo esiste un elemento ≠ 0 (elemento speciale) ed il sotto del quale ci sono tutti elementi = 0.

Δ ₁ 1 0 0 - elemento speciale

0 1 0 - non verifico condizione, no n è ridotta per righe

A. ₂ - elemento speciale R₁0 1 2 - elemento speciale rig₂1 0 1 - elemento speciale rig₃ - sotto la terza riga non dobbiamo niente.

La riga 2 viene scambiata con per testualmente.

Teorema:* Dato p> matrice o m×n. Esiste una successione finita di operazioni elementari che trasformano p in una matrice ridotta per righe.

B non è unica, ma tutte le matrici ottenute in questo modo hanno lo stesso numero di righe non nulle.

Def: Se A è ridotta per righe, chiamiamo r(A), rango ai A, il numero di elementi speciali. Se A non è ridotta per righe chiamiamo ranga di A r(A) = r(B) con B ridotta per righe e ottenuto da A con operazioni elementari.

A:1 2 1 - 2 devo far diventare nullo l'elemento o 33 0 2 R₁ + 1 R₃ - R₃ 0 3 2 2 3 Ø

(1 2 -2) devo far diventare elemento 34 o (2 -R₂ + R₃ 5 = 0 1) 0 0

(1 0 -5)2 0 00 0

Matric e ridotto per righe

Es: (A₁ 3 2) → I (1 0)3 0) 0 (-3 R₁ + 1 R₂ -R₂, 1 2) (-R₁ + R₃) cambio e (0 00 1) -2 R₂ + 1 R₁ - 0 2 I(1 0) (1 0)0 1) (7, -2) -0 inversa(-3)

Ax = A(x+y) = A•x+Ay = B+Ay = B+φ = B

A = B i.e. φ

Ax = B ha soluzione

• 1 soluzione: x t+y, prendo to come soluzione tutte e altre si ottengono sommando del maggioro.
• Quante soluzioni ha As=0? 1 sse0 e y=0

0 soluzioni, risolvo il sistema.

quindi y = (t/u/v) − b risolve le sistemi omogenee associate.

Sono le soluzioni di As=σ

OSS: Ax=0 ha soluzioni: Ingshtf Ad= e

NB: non vale lo legge di annullamento del prodotto righe x colonne.

Produttrice A, M

inverbile:

Allora, se Ax=0, t=0

Dim Per cruzmer x=A⁻¹b=0=φ.

La legge di annullamento del prodotto vale per motti ineribibi.

De3: Siano A, C m×n, e B, D n+1

Supponiamo che Ax=b e Cx=D debbiano soluzioni

I due sistemi sono equivalenti se hanno le stesse soluzioni.

Questi sono le preposizioni che devo gioie per gioi diventi due sistemi equivalenti:

1. x + y=1

Posso convertire d'ordine to cinque equazioni.

1. x+2y=z x+3y=g cosi seconoio re righe R_i -> R_j
2. 1/2 + 1/2g = 1/2 → x + 4 g - o medi reciprocal es a rigto 2

x + g =l

2+ 4g -2 quindi posso multiplicitor per um ecofactor x R_i -> R_j

1. x + y=1

Le accertain equivalenti - se le righe (aib) è tg reaccionato n A-B in un