il
cioè
tolgo quadrato
del termine
secondo res
in caso
questo GRAPH
Lungh
SI E
VA f
raro
ad
di
avrò µ
un'equaz
µ smog la funzione
Dunque
scrivo
della
funzione
in param
della
della modulo
curva
della
derivata curva
è
Se a
regolare
una
curva
e è
tratti curvilineo
integri
la int tratti
suivari
degli
somma la
al
denon
dia
definizione
Iuds
soloche
1
µ
avremo
spesso alla
equivale
perciò
d i
u na
curva
lingua
Una è
funzione
continua se
L esiste
Mx.gl
sexy
Le
ed flxo.ge
La difix è
in
x
a Gogol
derivataparziale g rispetto aiace
non
ah sarebbe
fcxo.gs
limp fcxoth.ygl finiti
Perciò derivabile
devono
esistere ofxcxagdedfylxo.gl
essere
per La
derivabilità
non
la
differenziabilità
basta
per
Una dice
funzione se
differenziabile
si
le
derivate
parziali
esistono Elanyoth fcxo.yolfxlxo.yolh
fylxo.y.lk
limoni o
su e questione
dove in
xoey.ee
p unto
Seè è
la è
è cont
se
es non
non
studio continuità differenza
continua negli
differenza perciò
armille
4
f In caso
questo
poi
e
applico IR
Parto
a t
da cioèda f
cui poi
alti
applico e
a della
consignanza
della
catena
regola è alle
il
gradiente
livello
di va
curve e
le direzioni
più
verso
alte
da
Massimi di funzioni variabili
di
minimi
e più
Vediamo le di
candidati
condizioni i min
necessarie max o
essere
punti
e per
di Fay
la di
Diamo definizione e
max min
ne cosa
per prima
Fla Fse
locale di
è
b
1 massimo
un
fa FCX del
b 7 dominio
x
y punto y
ogni
per la
nel disco
che b
centrato
contenuto
sia in I
Fla Fse
locale
2 di
è
b minimo
un
fa E FCX del
b dominio
x
y punto y
ogni
per la
nel disco
che b
centrato
contenuto
sia in
nelle
Come funzioni variabile
di una locali sulle
criterio studiare prime
basato
estremi derivate
gli
useremo un per
Fermat
di
Regola
Se ha
Flay in in esistono
interno
min cui
max un
un o un punto
fila
le allora fy
la Questo
b
derivate teorema
b 0 0
parziali e
prime la valori
funzione
che gli
dice estremi
può
in assumere
unici cui
punti I frontiera
frontiera
critici di
i di
sono punti sono
punti
i punti
e I
D
chedelimitano il dominio critici in cui
quelli sono quelli
punti
Perciò
fila tra dovrò
critici
fy b vedere
b quali
i
0
io a sono
punti
e tra critici di
che né
i i
min quelli Max
punti sono
non
max e
di
né detti sella
di
min sono punti delle
Punti critici derive parziali o
Esempio e
si Punti
Sia Flay critici
3yd
2x by troviamo
critico pe
pay o.o e
g o
xy Devo
2 selle
Abbiamo critici studiare
devo risolvere
min
sono max
punti se o
la funzione
delle esistano in cui
punti
ragionando se assume
disequazioni Ciò
Flo
di risulta criteri
valori scomodo
o O usiamo più
o perciò pratici
Teorema dell'Hessiana
criterio
Sia f le derivate pela
b
seconde continue
X e sue e
y e
prime
interno f
D critico
e
a per fa
la Fy
ha Lab
locale b
1 in o
Fxxfyy
si co in
massimo
un se e
Ce Yy y i
fa
la fy
ha Lab
locale b
si in
minimo o
Fxxfyy
2 in
o
se
un e
la
sella
si fy
di
ha
3 Lab
b
in o
Fxxfyy in
un se
punto
il
4 è
criterio 0
Fg
conclusivo se
non Fxxfyy
Fy il di di
discriminante hes
Fxxfyy siano
L'espressione nome o
prende
f facile
ed da
è ricordare determinante
più come
magari
fxxfyyfxytefxxfx fxyfy tsemp.io
Min Locali
MAX E
Determinare locali
gli 3x
ftp.yl
di
estremi 2y 6y
3ya
Vedo Dovrà
frontiera
di
è il
definita ha
tutto
che punti
non
su perciò
piano
allora critici il
studiare solo sistema
Imposto
i punti
Fx 60
6
by 0 2,2
y 1
g 12
6
G g 0
o le
Ora critici calcoliamo derivate
classificare seconde
i punti perciò
voglio
Fxx fy
6 fy 6 6
12g
Il Fg
discriminante è 72
36
Fxxfyy 36 1 e
y
729 dunque
Fxx sella
lo d di
6 72
discre punto
per f 8
Fxx locale è
2,2 6 72 che
discreti 2,2
massimo
per
Massimi limitata
assoluti chiuse
minimi e
in
e regioni
La fasi
limitata articola
regionechiusa
estremi 3
si
degli
ricerca in in
una e
Si ad
critici
1 i candidati
interni
elencano cioè i
punti essere max
punti
Per le
farlo delle
risolvo trovo
derivate vedo
i
parziali
min punti e
o equazioni
la
vale funzione essi
in
quanto Per
Si farlo
frontiera
di
2 i in
elencano max min
avere
cui o
punti posso
le la nel Il
tipo
delimitano funzione dominio
che X
mia
uso equazioni la
fosse
1 funzione
definita studio sostituendo
in e
un
se quadrato
y f
flh.gl
nella formula tipo Ii
x
e
queste Ottengo
equazioni
1 è
funzione ad variabile intervalli
variabile che
vedo in
quella
una f
il
definita di dei
calcolo valore candidati
ottenendo
estremi
agli
e
Poi lati del la
la funzione
delimita
che studio
i
lungo perimetro
altri
derivate candidati
0 ottengo possibili
e
prima f
Il alto
il
3 valore di basso
assoluto sarà
o più
min
massimo più o
Assoluti
MIN
Esempio MAX E I
Determinare di Flay 2
assoluto 2
min
max 49
e y
nella del
delimitata delimitata
quadrante
regionetriangolare primo
dalle 9
rette X figura
0
x o y a
y
Devo frontiera
alla
studiare interni i
i punti
punti e
Punti interni
a
Fx Fli
2 2 7
xp
0 2
fy 4 29 0 a
y lati
Penti alla
b del
frontiera volta
di i
considero triangolo
uno
Studio la funzione
0A
Segmento lungo quel
1 segmento
yo
fix
f solo dove
di
che
2x è funzione
2
x in
o X
y Studio allora
tra
è nota
da dalla
9 figura
0 ex si
come
compresa di
gli estremi segmento
questo
flop 2
X o F
9 61
9,0 2718 81
X
Ora interni
studio i punti ovvero
a questo segmento f
FIX Fx
72
2 2 3
2 1,0
1
2x
o fy o
ii Studio la funzione
OB
Segmento X O lungo quel segmento
Flo
Flay 2 solo di
è
che funzione
4g in davey
y y y Studio allora
tra
è nota
da dalla
9 figura
0 come si
ey
compresa di
gli estremi segmento
questo
flop analizzato
2 già
o
y prima
f 43
9 0,9
g
Ora esattamente
interni
studio i come
punti prima
a questo segmento f
Fx
flo.gl 6
2 0,2
o
274g y
y fy 4 29 Ho
AB
iii 9
Segmento due
studiato gli estremi
X nei
già
y punti
interni
ai punti
perciò
precedenti passiamo
fly Fx FA
FCX 2 Ax
2 11
43
9 16 4
16
x 5
X
f 5
o y
Confronto tutti valori che
vedo
i cerchiati 43,6
7,2 61,3 11
c e
il
63
il assoluto assoluto
minimo
è
7 max e i il Rs
Tipo in
siamo
se gli di
integraliavvicinai
visto
Avevo
ad
il associa ogni
campo c
Rs fexy.atsuun
un cammino
funzioni
vettore
punto curvilinei
inun
vediamo
ora integrali c
curva
suona
vettoriale
campo
inf rtile
li da
dt.dy una
ycu.at Far o
che
Ovvio dovrei
è
conservativo
se
capire è
la
circuitazione
dove
indovinare è
se conservativo
come
capisco
conservativi
sono camminoinverso
su
proprietà 1
Fear
I
talare
i conservativi
campi i
esattamente
sono gradienti
campi
conservativi
infatti
sono
F è
Se un
forza
di
campo curvilineo
l'integrale
del si chiama
campo F
se
LAVORO
Tipo
forza e
costante
è una te
con
con
rca.ptera
I'F FPa
avrò pad
far
il
è su
canoro un
che segmento di
con
cammino
un
ma campo
sua
di
camera
siparla
forze
Campi irrotazionali Primadi
il test
Esiste delle
test è miste
ed derivate
è
vedere non
se
un un gradiente
per campo
dire è irrotazionale
cosavuol diremo
che che
vediamo un un
questo campo
spiegare DX
DX Fi iI
è cioè
irrotazionale gli
possoscambiare
con n componenti se
campo del
della
di
indici indici
gli
derivazione con componente campo
Che tra
è irrotazionali
è conservativi i
i
legame o
gradienti e campi
campi irrotazionale è
è il
conservativo Viceversa
Ogni ma vero
non
campo
Esempio fy Ma
è infatti
Fly è
irrotazionale conservativo se
non
i ya del cioè
6,0 che
vedo
circuito dominio
alla
attorno
un
prendo singolarità
Ma ha
il Fatto
Fdr il il
è dominio
che
to un
problema
qui proprio
alloradelle dominio
Vediamo
10,0 considerazioni sul
buco in
Domini connessi
semplicemente
Un nel
R
D dice dominio
di circuito
si connesso se
semplicemente
aperto ogni
fino ad
contrarre
si punto
un
può
Ecco irrotazionale
allora
che vale il nominato
VICEVERSA un
prima campo
è cioè
dominio conservativo gradiente
su un semplicemente connesso campo
Esempio Xixe IR
è
Fln
Il al 3 irrotazionale
2 e su quindi
1
campo Xie
U
Primitiva al
conservativo xe
radiali
Campi la
Puntano l'originedi hanno stessa
una
verso e
sorgente
fissato
sfera di
intensità su raggio
ogni
Si di
tratta ha
che l'aspetto
un campo
FAI del
ha vettore
txt direzione
perciò
g raggio
11 tax
unitario
vettore F data
è
radiale è di
Ogni gradiente e primitiva
un una
campo
campo
G G
da x con g
Esempio 17
Primitiva XER
FCX 1
di con
Vedo forma
nella
lo
è divido
radiale
che scrivo canonica moltiplica e
perciò È
Ix la
lx F È
x una
gradiente perciò primitiva
un
per campo
la U XI
19
trovo 1
di xi
Il
primitiva
prendendo Possousare
gli
integralidoppi
calcolare
anche per
per
la di
una
massa
esempio
laminache una
occupa la
certa
regioneavendo
densità day
dens il
calcolare
Oppure
per
di un
baricentro tramite
Étienne
1 day
Areato
ciòvale sennò
solo me
se
Duxaxay di
al
Ovvio<
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