Appunti Analisi 2

23/02/2018

EQUAZIONI DIFFERENZIALI

y' = x²     sotto in forma normale

y = y₁y₁^''

y'‘

y(3) = 5

EQUAZIONE DIFFERENZIALE ORDINARIA

+ funzioni in una... sola variabile di cui se danno un rapporto che coinvolge fino a le sue derivate

ORDINE DELL'EQUAZIONE

= ordine massimo di derivata

y = 2x³ + 3x

F(x) = ∫ (x²3)x  dx = x³ + 3x + c

PROBLEMA DI CAUCHY

u'(t) = pu(t)

u(0) = u₀

CONDIZIONE INIZIALE

u(t) = Ae^pt

u(0) = A = 0 = A_p⁰ = A

UNA SOLUZIONE

ESEMPIO

• y' = x² + 3
• y(1) = 5

y(x) = 2x³ + 3x + c

y(1) = 2 + 3 + c = 5   => c = 2 - 2

y(x) = x² + 3x + 2 - 2

Per le equazioni differenziali ... primo ordine la condizione esistente condizione …... gaussiana è l'unicità della soluzione.

y' = ^{x + 3}/_{x² - 6x}

y(x) = ∫ ^{(x + 3)}/_{x² - 6x}   dx

• y(1) = 1
• y(x) = 3 log |x - 6| - 1/2 log |x| + c
• y'(1) = 1/2 3 log |5| - 1/2 c + 1
• (y₁)’² + 1 = 0
• (y_1²)^'' = -1

Non sempre = gaussiano l'unicità

∫ y^'(x) = 3y²/3

y(x) = ax + b   y(0) = 0 + b = 0   y(x) = ax   y’(x) = a

y(0) = 0   a = 3x(x) = 3a²x³    ∀ C    p = ∞    f = costante

y(x) = 0    ∀ x

Per dire che non c’è unicità devo trovare un'altra soluzione

y(x)=x³

y'=3x²; 3(x³)²; 3x²

            ∀ a>0

y(x)=⎧

  x<-a

            | 0

            |

  (x-1)³

  x>0

  x=-2

DECADIMENTO DI UN PROTONE

N(t)→p⁺ + e^- + ν

N'(t) = -pN(t)

N(0)=N₀

N(t)=N₀e^-pt soluzioni uniche

N(t)=N₀e^-pt

N(t)=N₀e^-pt

N(t)=N₀e^-pt

T₀P₁T₀ B₀ C₀

C_im arcate con questa legge

numero isotopo

e^pt→pt=lul(p(Ht) - lur Psi)

p(t)=a{υ(t)u(t)b(t)}

y''=x

y'(y')' = x

z' : z

z=x² - c

y₁=z₂ - c

y(x)=∫(x²/2 - c e)dx - x³ + cx + C

y(0)=-1 - C

Per l'arbitrarietà di c ho infinite soluzioni

y'₁(a)=0 - c

Per le equazioni differenziali di secondo ordine ci vogliamo alcune condizioni per riempire la condizione

Ammette soluzione uno non ∀x

y' = y²

y(0)=1

y'=y²

y^'1=1/y²

∫₀x(1/y²)dx=∫₀x 1dx - x

∫g(x)f(x)f(x)dx = ∫[f(H)t]dt

t=y(u)

f(1/t³ e dt = t) t = y(u), x

             1/y(a) = 1/g(a)

y(x) = 1/x + c

y(a)= - 1/c; c=0

Dimostrazione

Ipotesi:

y^c(x) = a(x)y + b(x)

y^p(x) = a(x)g + b(x)

sono due soluzioni

(y₁ - y₂)' = y^c, a(x)y + b(x) -(a(x)g + b(x))

= a(x)(y + b(x) - a(x)g + b(x) = a(x)(y - g)

= a(x)(y₁ - y₂)

Corollario

Se y_g è una soluzione di (1) ogni altra soluzione y sarà del tipo.

y = y_g + z dove z è la soluzione di un problema inverso associato.

c'1 e^-a(x)

e^x(x) = b(x) e^-a(x)t

= c → y(x) = ∫_x^b b(s)ds = ∫_x b(s)e^-a(x)t ds

g_x(x) = [∫_x b(s) e^-a(x)t ds ] e^x(x)

y=[∫_x b(s) e^-a(x)t ds ]e^x(x) + c e^x(x)

→

y(x) = [∫_x b(s)e^-a(x)t ds + c ] e^x(x)

Integrale Generale

Esempio

y(x₁)=y_p

y_p= y(x₁)=c

con y_g le soluzioni del problema = unica

y(x) = [∫_x b(x)e^-a(x)

∫_x b(x)e^-a(x)

15/03/2018

y^c(x)=a x y+b

y^c(x)-y

y(x)= ∫_x^b e^-a(x)t ds + y_g →

Ipotesi: a₀,a₁,...,a_n-1, .∈C(I)

2° PROBLEMA: esponenziali complesse

y'' + y = 0 → x² + 1 = 0 → x = ±i

e^ix = cos(x) + i sin(x)   e^-ix = cos(-x) + i sin(-x)

Complessi coniugati: hanno stessa parte reale e parte immaginaria cambiata di segno.

• (a+ib), (a-ib) → cos(bx) + i sin(bx) = u₁
• l^xe^ix = e^-ix[cos(bx) - i sin(bx)] = u₂

Compless. coniugati

u₁ e u₂ sono ancora soluzioni

u₁ + u₂ = 2e^axcos(bx)   u₁ - u₂ = 2i e^axsin(bx)

• Ottergo una soluzione chenon è pur riguard allo altri
• La funzione in genera le soluzioni costruite

\(\tilde{u}_1 = e^{ax} \cos(bx)\)   \(\tilde{u}_2 = e^{ax} \sin(bx)\)

u soluzioni distinte

y(x) = c₁cos(kx) + c₂sin(kx)

1° CASO due radici reali e distinte (Δ > 0)

• α1, α2
• y(x) = c₁e^α1x + c₂e^α2x

esempio:   y'' + 4y = 0   x² + 4x = 0   x(x + 4) = 0   x = 0, x = -4

y(x) = c_R1 e^R_-xx

2° CASO due radici coincidenti (Δ = 0)

y(x) = c_R^x + e_R-xx

esempio:   y'' - 6y' + 9y = 0   x² - 6x + 9 = 0   (x - 3)² = 0   x = 3, x = 3

y(x) = e₁ x^3x + e₂ x^3x

3° CASO due soluzioni complesse coniugate (Δ < 0)

• α - iβ, α + iβ
• y(x) = e^αx cos(βx) + c₂ e^αx sin(βx)

esempio:   y'' + y' + 2y = 0   x² + x + 2 = 0   x = −1 ± √2/2   α = −1/2   β = √2/2

y(x) = e^{(x/2) cos(√2/2)} + c₂e^{(x/2) sin(√2/2)}

R

R x V → V

λ x V → λv

1. v = v ∀ v ∈ V (elemento nullo)

s(tu) = (st)v ∀ v ∈ V s,t ∈ R

t(u+v) = tu + tv t ∈ R ∀ v,w ∈ V

Definizione: u,v ∈ V: u è parallelo a v (u ‖ v) sse:

∃λ ∈ R: v = λu

v ⋅ w = v1w1 + v2w2 (prodotto scalare)

v = (v1, v2) w = (w1, w2)

1. V ⋅ w = w ⋅ v è commutativo
2. v(v+v) = λv + λw
3. v(eventi - eventi) v ∀ v ∈ V ∀ v,w ∈ V
4. v ⋅ v > 0 v ⋅ v = 0 ↔ v = o

Definizione: prodotto scalare VxV → R valgono tutte le proprietà

v, w, variables ∈ w, u,w ∈ R

esempio:

• V = Rⁿ
• v = (v₁, ..., v_n)
• v ⋅ w = v₁w₁ + ... + v_nw_n

funzioni continue su [a, b] derivative e limitate

b ⋅ g = ∫_a^b f(x) g(x) dx

f ⋅ f = ∫_a^b t² t(x) dx (possibile definizione di prodotto scalari)

il prodotto scalare non è un parallelepipedo del piano

Definizione:

v

v = 1 a w sse v ⋅ w = 0

Definizione:

|v| = √v ⋅ v

|v|

Definizione:

v₁, ..., v_n sono linearmente indipendenti sse

∃ e_i cx ∈ R : e₁v₁ + ... + e_nv_n = 0

non tutti sono nulli

Corollario: se C ≠ 0

e₁v₁ + ... + e_nv_n = 0 → v₁ + C₂v₂ + ... + C_nv_n = 0

v₂ - C₂/C₁

C_n/C₁

posso scrivere uno in funzione degli altri

Definizione:

v₁, ..., v_n sono linearmente indipendenti se non sono linearmente dependenti ossia ...

e₁v₁ + ... + e_nv_n = 0 → c_i = c₂ = ... = c_n

nessuno di questi vettori si può esprimere in funzione degli altri