Appunti analisi 2

Appunti corso Analisi II – Prof. S. Giuga

Capitolo 1: Funzioni reali di più variabili

Ci proponiamo di studiare le funzioni reali di più variabili reali e cioè le funzioni f: Rⁿ → R con n > 1. Per motivi di semplicità ci riferiremo esclusivamente alle funzioni di due variabili estendendo poi i risultati ottenuti, quando è necessario, alle funzioni di tre o più variabili. A tale scopo è opportuno premettere le principali proprietà topologiche dell’insieme R² {(x, y) : x ∈ R e y ∈ R²} e cioè dell’insieme R² visto come oggetto geometrico. È noto che R² si rappresenta geometricamente sul piano mediante un sistema di assi cartesiani ortogonali.

Proprietà topologiche di R²

Definizione 1: Distanza

Siano P₀ = (x₀, y₀) e P₁ = (x₁, y₁) due elementi di R² o anche due punti di δR². Si chiama distanza di P₁ da P₀ il numero reale non negativo:

√((x₁ - x₀)² + (y₁ - y₀)²)

La distanza fra due punti è uguale alla lunghezza del segmento di estremi P₀ e P₁.

Definizione 2: Intorno

Sia P₀ = (x₀, y₀) un punto di R² e δ un numero reale positivo. Si chiama intorno (circolare) di centro P₀ e raggio δ > 0 l’insieme:

I_δ(P₀) = { (x, y) ∈ R² : √((x - x₀)² + (y - y₀)²) < δ }

Cioè l’insieme dei punti P = (x, y) ∈ R² che appartengono al disco di centro P₀ e raggio δ, privato della circonferenza (cerchio aperto).

Definizione 3: Punto interno e interno di un insieme

Sia A ⊆ R². Si dice che il punto P₀ = (x₀, y₀) ∈ A è interno ad A se esiste un intorno I_δ(P₀) di centro P₀ e raggio δ tutto contenuto in A. Si chiama interno di A e si denota con ∅ l’insieme dei punti interni ad A.

Definizione 4: Punto esterno

Sia A ⊆ R². Si dice che il punto P₀ = (x₀, y₀) non appartenente ad A è esterno ad A se esiste un intorno I_δ(P₀) che non contiene punti di A e cioè tale che I_δ(P₀) ∩ A = ∅. Evidentemente P₀ è esterno ad A se è intorno al complementare di A rispetto a R² e cioè se è interno all’unione R² – A.

Appunti scritti da Madeco per www.quellidiinformatica.org

Definizione 5: Punto frontiera e di frontiera

Sia A ⊆ R². Si dice che il punto P₀ = (x₀, y₀) ∈ R² è un punto frontiera di A se non è né interno né esterno ad A. Conseguentemente in ogni intorno di P₀ cadono sia punti di A sia punti che non appartengono ad A. L’insieme dei punti frontiera si chiama frontiera di A e si denota con ΔA.

Osservazione 1
Si noti che un punto frontiera non è tenuto ad appartenere all’insieme A. Ad esempio il cerchio di centro il punto P₀ = (x₀, y₀) e raggio r e lo stesso cerchio privato della circonferenza (cerchio aperto) hanno entrambi per frontiera la circonferenza di centro P₀ e raggio r. Nel primo caso la frontiera appartiene al cerchio, nel secondo caso non appartiene.

Definizione 6: Punto di accumulazione e insieme derivato

Sia A ⊆ R² e P₀ = (x₀, y₀) ∈ R². Si dice che P₀ è un punto di accumulazione di A se in ogni intorno I(P₀) = I(x₀, y₀) di centro P₀ cadono infiniti punti di A diversi da P₀. L’insieme dei punti di accumulazione di A si chiama il derivato di A.

Definizione 7: Insieme limitato e non limitato

Un insieme A ⊆ R² si dice limitato se è contenuto in un intorno I_δ(0) di centro l’origine O = (0,0). Si dice non limitato se ciò non accade.

Definizione 8: Insieme aperto e chiuso

Un insieme A ⊆ R² si dice aperto se ∅A = A e cioè se ogni punto di A è un punto interno ad A; si dice chiuso se il suo complementare rispetto a R² e cioè l’unione R² – A è aperto.

Osservazione 2
Si noti che un insieme aperto non contiene punti frontiera, mentre un insieme chiuso contiene tutti i punti frontiera. Si noti ancora che un insieme A ⊆ R² che non sia aperto non è tenuto ad essere chiuso. Ad esempio l’insieme:

A = {(x, y) : x ∈ [1,2[ e y ∈ [2,3[}

Non è né aperto né chiuso.

Definizione 9: Chiusura di un insieme

Sia A ⊆ R². Si chiama chiusura di A e si denota con &overline;A, &overline;A = A ∪ ΔA l’insieme unione di A e della sua frontiera. La chiusura di A è un insieme chiuso perché contiene tutti i punti frontiera.

Definizione 10: Dominio

Si chiama dominio ogni sottoinsieme di R² che risulti essere la chiusura di un insieme aperto, e cioè anche l’unione di un insieme aperto e della sua frontiera. Ad esempio un cerchio chiuso, un angolo chiuso sono domini. L’insieme ottenuto come unione di un cerchio chiuso e di un segmento non è un dominio.

La definizione di limite

La definizione di limite, già nota per le funzioni di una variabile, si estende facilmente alla funzione di due variabili. Sia f(x, y) una funzione reale definita nell’insieme A ⊆ R² e P₀ = (x₀, y₀) un punto di accumulazione per A. Si dice che f ha limite l ∈ R in P₀ e si scrive:

lim_{(x,y) → (x0, y0)} [f(x, y) = l] oppure anche lim_{P → P0} [f(P) = l]

quando vale la seguente proprietà detta definizione di limite. Per ogni J_ε(l) ∃ I_δ(P₀) : P ∈ A I_δ(P₀) – {P₀} f(P) ∈ J_ε(l) la quale essendo J_ε(l) un intervallo aperto di centro l e raggio ε e cioè J_ε(l) = ] l – ε, l + ε [ e I_δ(P₀) un cerchio aperto di centro P₀ e raggio δ e cioè:

I_δ(P₀) = { (x, y) ∈ R² : ( (x - x₀)² + (y - y₀)²) < δ² }

si esprime in maniera equivalente:

∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : ∀ (x, y) ∈ A e 0 < ( (x - x₀)² + (y - y₀)²) < δ² ⇒ |f(x, y) – l| < ε.

I due casi l = +∞ e l = -∞ si trattano in maniera analoga. Ad esempio:

Lim_{P → P0} [f(P)] = +∞
Significa dire che: ∀ M > 0 ∃ I_δ(P₀) : x ∈ A I_δ(P₀) – {P₀} f(P) > M

e cioè: J(+∞) = ]M, +∞[ con M > 0.

∀ M > 0 ∃ δ > 0 : ∀ (x, y) ∈ A e 0 < ( (x - x₀)² + (y - y₀)²) < δ² ⇒ f(x, y) > M.

Definizione di funzione continua

Sia f : A ⊆ R² → R e P₀ = (x₀, y₀) ∈ A. Si dice che f è continua in P₀ quando risulta:

lim_{(x,y) → (x0, y0)} [f(x, y) = f(x₀, y₀)] oppure anche lim_{P → P0} [f(P) = f(P₀)].

Si dice che f è continua nell’insieme A quando è continua in ogni punto di A.

Teorema di Weierstrass

Se f(x, y) è una funzione continua in un insieme A chiuso e limitato (cioè compatto), allora f assume in A il minimo e il massimo e cioè esistono in A due punti (x, y) tali che:

f(x, y) ≤ f(x, y) ≤ f(x, y) ∀ (x, y) ∈ A.

Derivate parziali

Sia f(x, y) una funzione reale definita in un insieme A e P₀ = (x₀, y₀) un punto interno ad A. In tali ipotesi esiste un intorno I_r(P₀) di centro P₀ e raggio r tutto contenuto in A ed ha senso considerare la funzione della sola variabile x:

f(x, y₀) – f(x₀, y₀)

con x ∈ ]x₀ – r, x₀ + r[ – {x₀}

Si chiama derivata parziale di f rispetto a x nel punto P₀ e si denota con uno dei simboli f_x(P₀), δf/δx(P₀), il limite in x della funzione precedente solo se tale limite esiste ed è finito. Riassumendo:

f_x(P₀) = δf/δx(x₀, y₀) = lim_{x → x0} (f(x, y₀) – f(x₀, y₀))/(x - x₀)

Analogamente si chiama derivata parziale di f rispetto a y nel punto P₀ e si denota con uno dei simboli f_y(P₀), δf/δy(P₀), il limite in y della funzione:

f(x₀, y) – f(x₀, y₀)

con y ∈ ]y₀ – r, y₀ + r[ – {y₀}

Quando tale limite esiste ed è finito. In simboli:

f_y(P₀) = δf/δy(x₀, y₀) = lim_{y → y0} (f(x₀, y) – f(x₀, y₀))/(y - y₀)

Si dice che f(x, y) è derivabile nel punto P₀ =(x₀, y₀) quando esistono finite in P₀ entrambe le derivate parziali. Se A = Å e cioè se A è un aperto e se f(x, y) è derivabile in ogni punto di A si dice che f è derivabile nell’insieme A.

Osservazione notevole sulla continuità

Ricordando che per le funzioni di una variabile la derivabilità implica la continuità, risulta che:

se una funzione f(x, y) è derivabile parzialmente rispetto a x nel punto P = (x₀, y₀) allora tale funzione è continua rispetto a x nel punto P₀.

Analogamente, se una funzione f(x, y) è derivabile parzialmente rispetto a y nel punto P = (x₀, y₀) allora tale funzione è continua rispetto a y nel punto P₀.

Tuttavia la continuità della funzione f rispetto a x e rispetto a y nel punto P₀ non implica la continuità di f in P₀ e cioè:

lim_{x → x0} f(x, y₀) = f(x₀, y₀) e lim_{y → y0} f(x₀, y) = f(x₀, y₀)

Non significa che:

lim_{(x,y) → (x0, y0)} f(x, y) = f(x₀, y₀)

Si prenda ad esempio la funzione:

ƒ(x, y) = {xy/(x² + y²) se (x, y) ≠ (0, 0), 0 se (x, y) = (0, 0)}

Tale funzione non risulta essere continua in (0, 0) perché lungo la retta y = x si ha:

lim_{x → 0} f(x, x) = 1/2 ≠ f(0, 0)

Tuttavia è continua in (0, 0) sia rispetto a x sia rispetto a y. Infatti essendo f(x, 0) = 0 e f(0, y) = 0 per ogni x ∈ R – {0} e y ∈ R – {0}, risulta:

lim_{x → 0} f(x, 0) = 0 = f(0, 0) e lim_{y → 0} f(0, y) = 0 = f(0, 0)

In conclusione: f derivabile in P non implica f continua in P.

Derivate parziali di ordine superiore

Sia f(P) = f(x, y) una funzione di due variabili definita in un aperto A. Supponiamo che f sia derivabile in A e cioè che f sia derivabile parzialmente rispetto a x e y in ogni punto P = (x, y) ∈ A. Ha senso allora considerare le seguenti due funzioni:

• (x, y) ∈ A → f_x(x, y);
• (x, y) ∈ A → f_y(x, y).

Tali funzioni si chiamano rispettivamente la (funzione) derivata parziale prima di f rispetto a x in A e la (funzione) derivata parziale prima di f rispetto a y in A e si denotano con uno dei seguenti simboli:

• δf/δx(x, y); δf/δy(x, y);
• f_x(x, y); f_y(x, y).

Definizione

Se le funzioni derivate prime f_x e f_y sono a loro volta derivabili in ogni punto dell'aperto A, le quattro funzioni:

• δ²f/δx²(x, y); δ²f/δxδy(x, y);
• δ²f/δyδx(x, y); δ²f/δy²(x, y)

si chiamano le derivate (parziali) seconde di f in A e si denotano con i simboli:

• f_xx(x, y); f_xy(x, y);
• f_yx(x, y); f_yy(x, y).

Teorema di Schwarz (di inversione dell’ordine di derivazione)

Sia f(x, y) una funzione reale due volte derivabile in un aperto A. Vale la seguente implicazione: se f_xy(x₀, y₀) = f_yx(x₀, y₀) (f_xy, f_yx continue in (x₀, y₀) ∈ A) allora le derivate seconde miste di una funzione di due variabili sono uguali nei punti in cui risultano continue.

Osservazione
Il teorema di Schwarz consente di calcolare le derivate seconde miste senza preoccuparsi dell’ordine delle derivazioni successive nei punti in cui le derivate seconde sono continue.

La nozione di differenziabilità

Abbiamo visto che contrariamente a quanto accade per le funzioni di una variabile, le funzioni di due variabili che sono derivabili non sono necessariamente continue. Vedremo subito che la nozione equivalente alla derivabilità delle funzioni di una variabile è per le funzioni di più variabili la differenziabilità.

Definizione

Sia f(x, y) una funzione definita in un aperto A e P = (x, y) ∈ A. Indicati con Δx e Δy due numeri reali qualsiasi poniamo ΔP = (Δx, Δy) e P + ΔP = (x + Δx, y + Δy) (cioè chiamiamo il punto di coordinate ΔP e P + ΔP il punto di coordinate x + Δx, y + Δy). Se il punto P + ΔP ∈ A è lecito considerare la differenza (detta incremento di f relativo ai punti P e P + ΔP) tra i valori di f nei punti P e P + ΔP:

Δf = f(P + ΔP) – f(P) = f(x + Δx, y + Δy) – f(x, y)

e l'espressione:

df = f_x(P)Δx + f_y(P)Δy = f_x(x, y)Δx + f_y(x, y)Δy

che si suole chiamare (in analogia al caso della funzione di una variabile) differenziale della funzione f. Si dice che la funzione f è differenziabile nel punto P = (x, y) quando risulta:

lim_{(Δx, Δy) → (0, 0)} (Δf – df) / √(Δx² + Δy²) = 0

o anche, in maniera equivalente pensando ΔP = (Δx, Δy) come il vettore di componenti Δx, Δy e |ΔP| = √(Δx² + Δy²) come il modulo di ΔP, quando risulti:

lim_{ΔP → 0} (Δf – df) / |ΔP| = 0.

Osservazione notevole
Si noti che:

Δf – df / |ΔP| → 0 ⇔ f differenziabile in P ⇒ f continua in P.

Infatti affinché il rapporto sia infinitesimo per |ΔP| → 0 è necessario che Δf – df sia infinitesimo per |ΔP| → 0 e poiché ciò sarà vero quando:

Δf / |ΔP| → 0 ⇔ f continua in P

Da ciò si deduce allora l’implicazione:

f differenziabile in P ⇒ f continua in P.

Teorema del valore medio

Sia f(x, y) una funzione derivabile in un aperto A. Per ogni coppia P = (x, y), P + ΔP = (x + Δx, y + Δy) di punti di A esiste un punto (ξ, η) tale che:

Δf = f_x(ξ, y + Δy)Δx + f_y(x, η)Δy

dove ξ e η sono tali che x < ξ < x + Δx; y < η < y + Δy.

Il che significa che (ξ, η) è “intorno” al segmento di estremi P e P + ΔP.

Teorema condizione sufficiente di differenziabilità

Sia f(x, y) una funzione derivabile in un aperto A e P = (x, y) ∈ A. Allora:

f derivabile in P ⇒ f differenziabile in P ⇒ f continua in P

in ogni punto di A nel quale le derivate sono continue.