Appunti analisi 2

ORIENTAMENTO DI UNA CURVA SEMPLICE

Γ

Sia una curva semplice Є

P = P(t), t [a, b]

e una sua rappresentazione parametrica semplice. Tale rappresentazione parametrica

Γ

induce su un orientamento, che viene detto il verso delle t crescenti della

rappresentazione parametrica considerata, per il quale

⇒

(t’ < t’’) (il punto P’ = P(t’) precede il punto P’’ = P(t’’))

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Il verso opposto si chiama verso delle t decrescenti della rappresentazione

Γ

parametrica considerata. Si dice che è una curva orientata, quando si sceglie in

modo arbitrario uno dei versi anzidetti e il verso prescelto si chiama verso positivo.

Γ

Se scegliamo il verso delle t crescenti diremo che è orientata nel verso delle t

crescenti della rappresentazione parametrica.

Γ,

È possibile orientare prescindendo dalle rappresentazioni parametriche, nella

maniera seguente.

Γ Γ

1. Se non è una curva chiusa ( in tal caso si suole dire che è una curva aperta)

Γ

considerati su due punti distinti (che

≠ P’’

possono essere anche gli estremi) P’

Γ

restano individuati su due possibili versi di

percorrenza. Il verso che va da P’ a P’’ e il

Γ

verso opposto. Diremo che è una curva

orientata quando si sceglie , ad arbitrio, uno di questi due versi e tale verso

Γ.

prescelto si chiama verso positivo di

Γ

2. Se è una curva chiusa denotiamo con D il dominio

Γ.

limitato avente per frontiera la curva Restano allora

individuati due versi di percorrenza: il verso che

lascia alla sinistra i punti interni a D e il verso

Γ

opposto. Diciamo che è una curva orientata quando

scegliamo, ad arbitrio, una di queste due possibili

versi e il verso prescelto si chiamerà verso positivo di

Γ. Γ

Naturalmente quando la curva semplice è orientata intrinsecamente e si

Γ

considera una sua rappresentazione parametrica semplice il verso ridotto su da

tale rappresentazione parametrica cioè il verso delle t crescenti può essere

Γ.

concorde o discorde col verso positivo prefissato intrinsecamente su

RETTA TANGENTE

Γ Є

Sia una curva regolare, P = P(t), t [a,b] una

Γ.

rappresentazione parametrica regolare di Posto

P(t) = ( x(t) , y(t)) consideriamo la retta detta

secante, passante per i punti P = (x , y ) = (x(t ),

0 0 0 0

∆t) ∆t),

y(t ) ) = P (t ) e P = P (t + = ( x(t +

0 0 1 0 0

y(t +∆t)). Tale retta ha equazione

0 − −

x x y y

=

0 0

+ ∆ − + ∆ −

x ( t t ) x (

t ) y (

t t ) t (

t )

0 0 0 0

e cioè ∆t)

( y(t +∆t) – y(t ) ) ( x-x ) – ( x(t + – x(t )) (y – y ) = 0.

0 0 0 0 0 0

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∆t ∆t →

Dividendo questa espressione per e passando al limite per 0, in forza

Γ,

dell'ipotesi di regolarità di si ottiene la retta di equazione:

y’(t ) ( x –x ) – x’(t ) (y-y ) = 0,

0 0 0 0

Definizione 1 Γ

la quale prende il nome di retta tangente a nel punto P = (x , y ).

0 0 0

Osservazione 1 ≠ ∀

0 t € ]a,b[ garantisce l’esistenza

La condizione di regolarità P’(t ) = (x’(t ), y’(t ))

0 0 0

Γ

della tangente a in ogni punto interno. La curva è perciò una curva liscia e cioè

priva di punti angolari nei punti interni.

Definizione 2 (di vettore tangente e versore tangente)

Γ Γ

Nelle ipotesi poste su il vettore P’(t ) = (x’(t ), y’(t )) si chiama vettore tangente a

0 0 0

nel punto P = P(t ) = (x , y ).

0 0 0 0 Γ

Tale vettore è parallelo alla tangente a nel punto P = (x , y ) ed è orientato nel

0 0 0

Γ

verso indotto su dalla rappresentazione parametrica considerata.

Il vettore di modulo unitario  

 

' ( ) ' ( ) ' ( )

P t x t y t

= =

τ 0

0 0

( ) ,

t  

0 + +

' ( )

P t 2 ' 2

2 2

' ( ) ' ( ) ' ( ) ( )

x t y t x t y t

 

0 0 0

0 0

Γè

Si chiama versore tangente a una curva orientata nel punto P = (x , y ) = (x(t ),

0 0 0 0

Γ

y(t )). Se la curva è una curva orientata nel verso delle t crescenti della

0 τ(t

rappresentazione parametrica considerata, il versore ) si chiama versore tangente

0

Γ.

positivo relativo alla rappresentazione parametrica di

Osservazione 2 (1)

Γ

Se è il diagramma di equazione cartesiana y = ƒ(x) con ƒ di classe C

Γ

nell’intervallo [a,b], sappiamo che è una curva regolare e che una rappresentazione

Γ

parametrica regolare di è =

 x t ∈

 ; t [ a , b ]

=

 y f (

t )

Considerato il punto P = (x , y ) = (t , ƒ(t )) = (x , ƒ(x )), essendo x’= 1 e y’= ƒ’(t)=

0 0 0 0 0 0 0

Γ

∀ ∈

ƒ’(x) x [a,b], l’equazione della tangente a in P è

0

ƒ’(x ) (x - x ) - (y –ƒ(x )) = 0

0 0 0

e cioè y = ƒ(x ) + ƒ’(x ) (x - x )

0 0 0

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LUNGHEZZA DI UNA CURVA

Poligonale inscritta in una curva

Γ

Sia una curva semplice di estremi P’ e P’’ e consideriamo n+1 punti distinti P = P’,

0

Γ

P , P , …, P = P’’ di scelti in modo che P precede P , P precede P … ,P

1 2 n 0 1 1 2 n-1

precede P in uno dei due possibili

n Γ. π

orientamenti di La poligonale di vertici i

punti P , P , …P si chiama curva poligonale

0 1 n Γ.

inscritta sulla curva È evidente che di

Γ

poligonali inscritte in ne esistono infinite

per cui se denotiamo con l(π) la lunghezza

π,

della poligonale l’insieme {l(П)} delle

Γ

lunghezze delle poligonali inscritte in è un

insieme infinito.

Ciò posto si ha la seguente definizione. Γ)

Definizione 1( Curva rettificabile e lunghezza della curva

Γ

Si dice che la curva semplice è rettificabile se l’insieme {l(П)} delle lunghezze

delle poligonali inscritte è limitato superiormente. In tale ipotesi l'estremo superiore

Γ

l( ) = sup { l(π)} delle lunghezze delle poligonali inscritte si chiama lunghezza della

Γ.

curva

Si denota il seguente

Teorema di rettificabilità

Γ Є

Sia una curva semplice e P = P(t), t [a,b] una sua rappresentazione parametrica

(1)

semplice. Se la funzione vettoriale P(t) = ( x(t), y(t) ) è di classe C in [a,b], la curva

Γ è rettificabile e risulta ∫ ∫

b b

∗ Γ = = +

2 2

( ) l ( ) P ' (

t ) dt x ' (

t ) y ' (

t ) dt

a a

Osservazione Γ Є

Evidentemente se è una curva semplice e regolare e se P = P(t), t [a,b] è una sua

Γ

rappresentazione parametrica semplice e regolare allora è rettificabile e la sua

(∗

)

lunghezza è data dall’integrale

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CURVE REGOLARI A TRATTI

Definizione 1

Γ Γ

Una curva si dice regolare a tratti se risulta essere l'unione di un numero finito ,

1

Γ , …Γ di curve semplici e regolari, ognuna delle quali si salda alla successiva in un

2 n Є

punto. Ciò significa che esistono una rappresentazione parametrica P = P (t), t [a,b]

e una partizione {t = a, t , …, t = b}

0 1 n

dell’intervallo [a,b] tali che in ciascuno

degli intervalli [t , t ], [t , t ], …, [t , t ] la

0 1 1 2 n-1 n

P = P(t) è una rappresentazione

parametrica semplice e regolare.

Una tale rappresentazione parametrica si

Γ

dice una rappresentazione parametrica di

regolare a tratti.

Osservazione 1 Γ

In base alla definizione una curva regolare a tratti può essere pensata come somma

Γ Γ

di un numero finito di curve , , …Γ semplici e regolari. Se nessuno tra gli archi

1 2 n

Γ Γ Γ

, , …Γ incontra i rimanenti, è anch’essa una curva semplice. Può benissimo

1 2 n Γ

però accadere che uno degli archi incontri uno o più altri archi perché la condizione

i Γ Γ Γ

di semplicità vale per i singoli archi , , …Γ . In tal caso la curva è intrecciata e

1 2 n

presenta i cosiddetti punti multipli. Si noti ancora che nei punti P = P(t ) (i =

i i

Γ

0,1,2…n) le tangenti agli archi (i = 0,1,2…n) hanno, in generale, direzioni diverse

i Γ.

e cioè, come si suol dire, i punti P sono in generale punti angolari della curva

i

Γ)

Definizione 2 ( Lunghezza di

Γ Γ Γ

Sia una curva regolare a tratti unione delle n curve , , …Γ semplici e regolari.

1 2 n

Si pone per definizione l (Γ) = l (Γ ) + l (Γ ) + …+ l (Γ )

1 2 n

Γ

e cioè si chiama lunghezza di la somma delle lunghezze degli archi semplici e

Γ Γ Γ.

regolari , , …Γ che costituiscono

1 2 n

Osservazione 2 (notevole)

Γ

Sia una curva regolare a tratti e Є

P = P (t), t [a,b] Γ

una rappresentazione parametrica regolare a tratti di allora esiste una partizione

{ }

= = < < < dell’intervallo base [a,b] tale che gli n archi

t a , t ,......., t b con t 1 ...... t

0 1 n 0 n

Γ

in cui risulta suddivisa

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{ }

{ }

{ } Γ = = ∈

Γ = = ∈

Γ = = ∈ P P ( t ); t [

t , t ] ;

P P (

t