Analisi matematica 1, appunti

ANALISI MATEMATICA 1

¹⁵CREDITI

_29/09

• lunedì/martedì: teoria
• giovedì: pratica ed esercizi

1h 30 min x giorno

libri di testo

• Tapponi, Analisi matematica 1
• + 2 capitoli di Analisi Matematica 2 (Apogeo)
• 1) Equazioni differenziali
• 2) Successioni e serie di funzioni

Rich. Proff Bredile

lunedì/mart. h13.00-14

Assioma di continuità dei numeri reali

A = {a,b,c,d}

a ∈ A

("appartiene")

F ⊆ A

• N = {0,1,2,3,...}
• Z = {0; ±1; ±2; ±3...}
• Q = {^m/_n m,n ∈ Z n ≠ 0}

^R

A ∩ B

("intersezione")

A ∪ B

("unione")

A \ B = {a ∈ A | a ∉ B}

("differenza")

FUNZIONE

f: A → B

dominio codominio

ad ogni elemento di un insieme di partenza associa uno ed un solo elemento dell'insieme di arrivo

Analisi Matematica 1

¹⁵ crediti

Lunedì/Martedì: teorioGiovedì: pratica ed esercizi

1 h 30 min x giorno

• Libri di testo
• Tapponi, Analisi matematica 1
• + 2 capitoli di analisi matematica 2 (Apogeo)
1. Equazioni differenziali
2. Successioni e serie di funzioni

Assioma di continuità dei numeri reali

A = {a, b, c, d}a ∈ A(appartiene)F ∉ A

N = {0, 1, 2, 3, ...}Z = {0; ±1, ±2; ±3...}Q = {^m/_n m, n ∈ Zn ≠ 0}

^R

• A ∩ B
• A ∪ B
• A \ B = {a ∈ A | a ∉ B}

Funzionef: A → B

ad ogni elemento di un insieme di partenza associa uno ed un solo elemento dell'insieme d'arrivo

Nei momenti in cui non succede

INIETTIVA

Nei momenti in cui succede che tutti gli elementi di B sono unione ai elementi di A

SURIETTIVA

_a1 ≠ _a2

(a₁, a₂ ∈ A)

⇒ f(a₁) ≠ f(a₂)

f suriettiva se per ogni b ∈ B esiste a ∈ A | b = f(a)

f suriettiva + iniettiva = BIETTIVA

f(A) = {f(a) | a ∈ A} ⊆ B

sottoinsieme

funzione inversa

f^-1 : B → A

b → a se e solo se f(a) = b

se f suriettiva succede sempre che ogni elemento di B viene mandato ad A

se f è iniettiva allora ad un solo elemento viene mandato ad A

(se si usa più di un elemento a succedere che non è funzione a_a B→A ma deve prima restringere dominio)

Composizione di funzioni

F(x) = cos(x² + 1)

f: A → B

g: C → D

a ∈ A ⇒ g(f(a))

• Ho necessità che nel dominio di g ci siano tutti i risultati di f
• f: A → B
• g: B → C
• Il dominio di g corrisponde al codominio di f per cui io posso farlo

g(f(a)) = g o f

f(g(a)) = f o g

f: R → R

x ↦ x² + 1

g: R → R

x ↦ cos(x)

questa operazione NON è commutativa

f o g = g(f(x)) = cos(x² + 1)

g o f = g(f(x)) = cos(x² + 1)

f^-1(f(b)) = b

f^-1 o f: A → A

a ↦ a

f o f^-1: B → B

b ↦ b

• A e B (Λ) = sono entrambe
• A o B (V) = A oppure B oppure entrambi
• A => B

L'unico caso in cui è falso allora A è vero e B è falso.

Se A è falso o B è vero allora con Λ negato l'affermazione.

Quantificatori:

• ∀x P(x) => per ogni x
• ∃x P(x) => esiste almeno un x

x negato ∃x non P(x)

negata ∀x non P(x)

Dimostrazione:

A => B

1. x assurdo: B è falsa => allora anche A è falsa ma ciò non è vero perché allora se A è vera, B è vera

R² = {(x,y) | x,y ∈ R}

coppie cartesiane

[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b} chiuso e limitato

(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}

[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}

(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}

[a,+∞) = {x ∈ R | x ≥ a}

(a,+∞) = {x ∈ R | x > a}

(-∞,b) = {x ∈ R | x < b}

(-∞,a] = {x ∈ R | x ≤ a}

• [a,b]
• (a,b)
• [a,b)
• (a,b]
• [a,+∞)
• (a,+∞)
• (-∞,b)
• (-∞,a]

aperti e uniti

illimitati

1) DIMOSTRAZIONE √2 ∉ Q

• numeri pari = 2n con n ∈ IN
• il quadrato dei numeri dispari è dispari

TEOREMA

√2 ∈ Q

DIMOSTRAZIONE PER ASSURDO

∃ m, n ∈ N tali che 2 = (m/n)^2 = m²/n²

• posso supporre che m e n non siano entrambi pari (perché se così posso ancora semplificare