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Analisi Matematica 1
15 crediti
1h 30 min × giorno
Lunedì/Martedì: teoriaGiovedì: pratica ed esercizi
Libri di testo
Trappini, Analisi matematica 1
+ 2 capitoli di analisi matematica 2 (Appoggio)
- Equazioni differenziali
- Successioni e serie di funzioni
Assioma di continuità dei numeri reali
A = {a, b, c, d}a ∈ A∉ A
ℕ = {0, 1, 2, 3...}ℤ = {0; ±1; ±2; ±3...}ℚ = {m/n| m, n ∈ ℤ, n ≠ 0}
ℝ
Funzione
f: A → B
A = dominioB = codominio
Ad ogni elemento di un insieme di partenza associa uno ed un solo elemento dell'insieme di arrivo.
A ∩ B → intersezioneA ∪ B → unioneA \ B = {a ∈ A | a ∉ B} → differenza
Nel momento in cui non succede → INIETTIVA
Nel momento in cui succede che tutti gli elementi di B sono immagine di elementi su A → SURJETTIVA
INIETTIVA
a1 ≠ a2, (a1, a2 ∈ A) ⇒ f(a1) ≠ f(a2)
* suriettiva se per ogni b ∈ B esiste a ∈ A | b = f(a)
f suriettiva + iniettiva = BIETTIVA
f(A) = {f(a) | a ∈ A} ⊆ B
FUNZIONE INVERSA
f-1 : B → A
b → a se e solo se f(a) = b
1) iniettiva
2) suriettiva
3) biiettiva
Dimostrazione
max = estremo superiore
ACR A≠ø m=max A ∃ m ∈ A
- m ≥ a ∀ a ∈ A
- M ∈ MA (maggioranti)
- ∀ y ∈ MA y ≥ a ∀ a ∈ A
- > y ≥ m
A=[0,1[ MA ≠ ø
- 1 ∈ MA (tutti i punti dell'intervallo sono ≤ 1)
- y ∈ MA
- => y ≥ x ∀ x ∈ A=[0,1[
y Allora ∃ un intorno bucato I0(x0,δ) tale che f è limitata in I0(x0,δ) ∩ A. Se x0 ∈ A e se x0 ∈ A e f è continua in A allora f è limitata in I0(x0,δ) ∩ A
(non lo dimostriamo)
Teorema di permanenza del segno
f: A → R x0 è punto di accumulazione per A esiste limx→x0 f(x) = ℓ ≠ 0 ∃ δ > 0 tale che ∀ x ∈ I0(x0,δ) ∩ A f(x) ha lo stesso segno di ℓ.
Se x0 ∈ A e ℓ ≠ 0 intorno un x0 (I0(x0)=δ) f(x) ha lo stesso segno di f(x0).
Dimostrazione
NB: Il limite causa le disuguaglianze f(x) → ℓ ≠ > 0 => limx→x0 f(x) = ℓ (> 0)
Si conservano solo le disuguaglianze legale per degli stessi limiti.
- ESEMPI
- NB: Nel caso in cui s0 tutti i f(x) → valgono f(x)
- In alcuni casi può essere sviluppata positiva o negativa (per metà e metà)
- => La stessa cosa deve rimanere negli stessi quasi di f(x) >= 0 Allora posso dire che f(x) ha limite ℓ > 0 x^sostro se base
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