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SIMBOLOGIA PRINCIPALE DEL CORSO

  • ∀ PER OGNI
  • ∃ ESISTE
  • ∃! ESISTE ED È UNICO
  • ∄ NON ESISTE
  • ⇒ IMPLICA
  • ⇔ SE E SOLO SE
  • ∈ APPARTIENE
  • ∉ NON APPARTIENE
  • : TALE CHE
  • ⋃ UNIONE TRA DUE INSIEMI
  • ⋂ INTERSEZIONE TRA DUE INSIEMI
  • ∨ OPPURE
  • ∧ E CONGIUNZIONE
  • ϕ PHI-GRECO
  • ⊂ SOTTOINSIEME
  • Ø INSIEME VUOTO
  • ⋃ UNIONE DISGIUNTA
  • (-a) a = a
  • -a > b a ≤ b
  • (-a)b = -ab
  • (-a)(-b) = ab

PRINCIPALI INSIEMI NUMERICI

1. NUMERI NATURALI

N := {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}

2. INTERI RELATIVI

Z := {..., -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, ...}

3. NUMERI RAZIONALI

Q := {m/n : m ∈ Z ∧ n ∈ Z ∧ n ≠ 0}

4. NUMERI REALI

R := Q + ELEMENTI NON RAZIONALI = √2, π, √3

5. NUMERI PARI

Np := {m ∈ N : ∃k ∈ N : m = 2k}

6. NUMERI DISPARI

Nd := {m ∈ N : ∃k ∈ N : m = 2k - 1}

Np ∩ Nd = ∅ NON ESISTE UN NUMERO SIA PARI CHE DISPARI

N = Np ∪ Nd

ES 2 DISEGUAGLIANZA DI BERNOULLI

∀m ∈ N

∀x > –1

(1 + x)m > 1 + mx

  • (i) m = 1
  • 1 + x > 1 + x

VERA

(ii) IPOTESI (1 + x)m > 1 + mx

TESI (1 + x)m+1 > 1 + (m + 1)x

(1 + x)m+1

= (1 + x)m(1 + x) > [1 + mx](1 + x)

1 + x + mx + mx2

1 + (m + 1)x + mx2

DATO CHE x > –1

QUANTITÀ POSITIVA

ES 3 PROGRESSIONE GEOMETRICA

∀x ∈ R – {1} { |x| < 1 }

1 – xm+1

___

1 – x = 1 – x + x2 + ... + xm

  • (i) m = 1
  • 1 + x = 1 – x2

1 – x

(ii) IPOTESI 1 + x + x2 + ... + xm = 1 – xm+1

TESI: 1 + x + x2 + ... + xm+1 = 1 – xm+2

1 – x

1 + x + x2 + ... + xm+1

= 1 – xm+1 1 – x + 1

1 – x

= 1 – xm+1 1 – xm+2

1 – x

Pm+1 è vera AMEN

Rappresentazione grafica

Piano cartesiano

In un piano cartesiano l'insieme di tutte le coppie di coordinate si chiamano:

R2 = R × R = {(x,y): x ∈ R, y ∈ R}

Prodotto cartesiano di R per R

Sia f: A → R, A ⊂ R

Grafico di f: Gf = {(x,y) ∈ R2: x ∈ A, y = f(x)}

EQUAZIONI

I GRADO

2x+1=0

2x=-1

x=-1/2 SOLUZIONE

4x+8=0

4x=-8

x=-2 SOLUZIONE

II GRADO

ax2+bx+c=0

FORMULA RISOLUTIVA

x=/2a

DELTA: Δ=b2-4ac

  1. Δ>0: 2 soluzioni
  2. Δ=0: 1 radice
  3. x=-b/2a
  4. Δ 1
  5. Strettamente decrescente in ℝ se 0 < 2 < 1
  6. Suriettiva su (0,+∞) cioè ∀y ∈ (0,+∞) ∃x ∈ ℝ: 2x = y

    7. Ciò comporta che la funzione è Biunivoca Invertibile

    FUNZIONE TANGENTE e ARCO TANGENTE

    LA TANGENTE È L'ORDINATA DEL PUNTO P OTTENUTA DALLA TANGENZA DEL PROLUNGAMENTO DEL ... ANGOLO E LA TANGENTE GEOMETRICA.

    • DEFINIZIONE ANALITICA:

    OP⊄OA ⊄ OB

    ⊄ AP⊄OB⊄BT

    COSX : SINX = 1 ; TGX => 1.SINX/COSX

    • CAMPO DI ESISTENZA:

    tg: R - π/2 + Kπ ; K∈Z

    PROPRIETÀ

    1. PERIODICA IN T=π
    2. DISPARI: TAN(-X)=-TANX
    3. SURIETTIVA IN R
    4. STRETTAMENTE CRESCENTE IN R SU [0,+∞)

    ⇒ È POSSIBILE APPLICARE LA RESTRIZIONE ALLA FUNZIONE TANGENTE NELL'INTERVALLO (-π/2 + Kπ ; +π/2) RENDENDO LA FUNZIONE BIUNIVOCA INVERTIBILE

    tg: x ∈ (-π/2 , π/2) → tg x ∈ R

    f⁻¹ : tg x ∈ R → ARCTG x ∈ (-π/2, π/2)

    TABELLA ANGOLI NOTI

    • RAD: 0, π/6, π/4, π/3, π/2, 2π/3, 3π/4, 5π/6, π, 7π/6, 5π/4, 4π/3, 3π/2, 5π/3, 7π/4, 11π/6, 2π
    • GRAD: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°
    • SENO: 0, 1/2, √2/2, √3/2, 1, √3/2, √2/2, 1/2, 0, -1/2, -√2/2, -√3/2, -1, -√3/2, -√2/2, -1/2, 0
    • COSENO: 1, √3/2, √2/2, 1/2, 0, -1/2, -√2/2, -√3/2, -1, -√3/2, -√2/2, -1/2, 0, 1/2, √2/2, √3/2, 1
    • TANGENTE: 0, √3/3, 1, √3, ∞, -√3, -1, -√3/3, 0, √3/3, 1, √3, ∞, -√3, -1, -√3/3, 0
    • COTANGENTE: ∞, √3, 1, √3/3, 0, -√3/3, -1, -√3, ∞, √3, 1, √3/3, 0, -√3/3, -1, -√3, ∞

    Teorema di caratterizzazione

    Lemma

    {am} è limitata ↔ ∃L>0 : |am| ≤ L ∀m∈N

    Si dimostra prima → e poi ←

    Dimostrazione

    - Ipotesi {am} è limitata

    - Tesi ∃L>0 : |am| ≤ L ∀m∈N

    Dalla (ipotesi) : ∃m∈R : m≤|am| : m<am<M

    |am| ≤ max{|m|, |M|} ∀m∈N

    Scegliamo L := max{|m|, |M|}

    ⇒ |am| ≤ L Tesi Vera

    - Ipotesi ∃L>0 ; |am| ≤ L ∀n∈N

    - Tesi {am} è limitata

    |am| ≤ L ⇒ -L < am ≤ L

    Scelgo m := L

    m < am < M

    Def. Limitata Tesi Vera

    COROLLARIO

    Siano am, bm tali che am ≥ bm ∀ m ∈ N e supponiamo che siano entrambi numeri convergentiovvero che esista sia lim am = a ∈ Rm → ∞m → ∞

    se come affermato la successione am è maggiore della successiva bm allora anche i valori cui converrò rispettano questa disuguaglianza:

    a ≥ b

    DIMOSTRAZIONE

    Prendiamo un'altra successione: Cm := am - bmCm ≥ 0 ∀ m ∈ N

    Applico il corollario della permanenza delsegno

    lim Cm = a - b ≥ 0

    m → ∞

    => a ≥ b □

Dettagli
Publisher
nicoalbe55
A.A. 2021-2022
127 pagine
SSD Scienze matematiche e informatiche MAT/05 Analisi matematica
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher nicoalbe55 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Analisi matematica I e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Università degli studi di Napoli Federico II o del prof Zecca Gabriella.