Appunti Analisi 1: Serie numeriche e Sommabilità

N.B.: Nei due esempi non è possibile etichettare il dominio normale.

Serie numeriche

Assegnata una successione _an {_an} serie numerica {S_n}, non è altro che la successione delle somme parziali di {_an}.

Cioè: _Sn = _∑ⁿ_{k=1 ak} = 0_n=1 S_n = a₁+₂+₃+...+_n.

Termine generale di una serie numerica

Il termine generale di una serie numerica non è altro che la successione di cui la serie deriva.

Ad esempio: _an il termine generale.

Carattere di una serie numerica {0,1}

Si definisce carattere di una serie le proprietà di quest'ultima ed esse:

• Convergente, cioè se lim S_n = lim _∑^∞_{n ak} = l ∈ R
• Divergente positivamente o negativamente, se lim S_n = ±∞
• Indeterminato, o oscillante se ∄ lim S_n

Serie geometrica

∑^∞_n=0 (hⁿ) = 1 + h + h²... h ∈ R

Il numero h si dice ragione della serie geometrica.

Il carattere della serie geometrica dipende da h, infatti: lim S_n = ¹⁄_1-h se |h|<1

lim S_{n n} → ¹⁄_1-h sogg = ¹⁄_1-h polich = ¹⁄_1-h polich = ¹⁄_1-h polich = ¹⁄_1-h polich → ¹⁄_1-h

Oscilla se h=1

Per x<1 la somma parziale di S_n sono: 1 - hⁿ⁺¹ ⁄ 1 - hper |x|<1 e per x<1 ¹⁄_{1-h ∀} lim S_n →

NB.: Nei due esempi non è possibile ribaltare il dominio normale.

Serie numeriche

Assegnata una successione numerica una serie numerica non è altro che la successione delle somme parziali di cioè:

_n=1Σ^∞ = e S_n = _k=1Σⁿ = + + +...+.

Termine generale di una serie numerica

Il termine generale di una serie numerica non è altro che la successione da cui la serie deriva.

Ad esempio: a _n = il termine generale.

Somme di una serie numerica

Si definisce carattere di una serie la proprietà di quest’ultima ed esso è:

• Convergente, cioè se lim S_n, lim _n=1Σ^∞ l ∈
• Divergente positivamente o negativamente, se lim S_n ±∞
• Indeterminata o oscillante se non ∃ lim

Serie geometrica

_n=0Σ^∞ (h)ⁿ = 1+h+h²... h ∈

Il numero h si dice ragione della serie geometrica.

Il carattere della serie geometrica dipende da h, difatti:

Se |h| Se h = 1

Per || 0 si è dimostrato il criterio.

Criterio di sommabilità (Criterio degli infiniti)

Data una funzione f continua in [c, b[, ∀x₀ con x₀ ∈ [c, b] allora per il criterio di sommabilità si studia il risultato del seguente limite:

lim_x->x0 |x - x₀|^d f(x) = L > 0

Ora se d < 1 se f è sommabile; d ≥ 1 se f non è sommabile.

NB: Quando un f è sommabile l'integrale si dice convergente.

Criterio integrale per le serie

Data una funzione f, maggiore di 0, continua e decrescente in un intervallo [c, b] e sia data una successione a_n tale che: a_n = ∫f(n) ∀n∈N, allora per il criterio integrale per la serie abbiamo che:

∑₁^∞a_n è convergente (⇒) ∫f è sommabile in [c, b].

HpTha: 0, decrescente continua in [c, b] ∑_n=1^∞ a_n converge ⇒ f è sommabile a_n = ∫(n), ∀n ∈ N