Appunti sulle Serie numeriche

Lezione 10 2/11/20

Serie Numeriche

Una serie è un tipo particolare di successione continua come segue:

Data _∑n una successione _∑n, chiamiamo serie il termine generico di la successione _Sn

Il termine _Sn, si chiama somma parziale della serie, e diremo che la serie _{∑ an} converge oppure è divergente.

Se _Sn converge, chiamiamo _S limite della serie, il limite S_n = S e lo denotiamo _{∑ an}

Oss:

1. Una serie è la biotta in sostentisimab e dinire _{∑ an} in an un collo un nome (mnome è ridizione _{∑ an}) Am produttore le tutta derive converge o non aculoy o nomey

Esempio:

a_n= 1/n

S_n = a₀0+a₁+a₂+a₃+... +a_m

S_m+1_a=...

a_n=(--_n²⁰) m20

Eomega (in eren hombre unické me incompro!) devono suoner. Sote _Sn

Esempi:

1. a_n = 1/n
2. S_n = _{∑ no} a_n
3. S_n = _{∑ an}

S_o = 1

S₁ = 1+ _∑ = ... =...

Conteamento induce:

Quando S_n+2 = S_n+')

Serie geometrica

Chiamiamo serie geometrica di ragione q (¹/_q) la serie _Σn=0 qⁿ

Esempio

• q = ¹/₃
• _Σn=0 ¹/_3ⁿ = ¹ + ¹/₃ + ¹/₉ + ¹/₂₇ + ...

Proposizione: la _Σn=0 ^qn-qn+m/_1-q = ^q/_1-q se q ≠ 1, ∞ se q = 1

Dim:

• Per q =1 otteniamo
• Per q ≠ 1

da cui S_n = ^1-qn+1/_1-q che sfalda in ^1-qn+m/_1-q (aggi alla m in sommazione finita) _Σn=0 = ^q/_1-q

Teorema (convergenza serie geometriche)

Sia q ∈ R e consideriamo la serie geometrica di ragione q _yn=0 qⁿ

1. Si se |q| < 1 la serie converge a ^q/_1-q
2. F se |q| > 1 la serie diverge
3. Si se |q| = 1 e ^q = 1ⁿ la serie diverge
4. Si se |q| = 1 e ^q ≠ 1, la serie è irregolare, non limitata

Dim: si utilizza la proposizione precedente

S_n = ^qn+1-qn/_1-q se q ≠ 1 e si valuta la stella della successione geometrica q¹⁰

• |q| < 1 allora → 0 quando ↑ 0 e il q¹ è limitato quando → 0 lo q→ limitato
• |q| = 1 allora ↑ 1 quando ↑∞ non limitato
• |q| > 1 allora ↑ ∞ quando > 1

altro modo di scrivere la rappresentazione se convergente e limitato quando ¹/_∞ con limite m _∫t e (-1)ⁿ