Appunti Analisi 1, parte 4 - Funzioni 2 Infiniti e infinitesimi Derivata

ott

23 2020

Proprietà Globale delle continue

Funzioni

le funzioni

interessanti I

coinvolgono intervallo

continue

proprietà più su un

f f

I EI continua

continua

e- e-

su ✗

< ✗

in o

o ,

apple.JO#oS-qq

Ma degli

Teo Esistenza ZERI

,

mea

Rena li

f [ R

] le

che soddisfi ipotesi

a

sia -

-

: , f [

) li

]

i su a

continua ;

,

) fla flb

)

ii ) o

<

. b)

( f (c)

Ice 0

allora a

tesi =

:

: , )

( [ ] lo

b

f strettamente

monotona E-

allora e

se su unico

è zero

a ,

^ DIMOSTRAZIONE

costruiamo che

successione

una

)

fla 0

> f

tende di

;

-

- - ad zero

uno

l le )

soddisfa ( volta

Intervallo

112

metodo ogni

Dicotomia

1 ipotesi

2 ]

&

↳

f AI

fla )

) f- ' I

0 ↳ =

> y

- - -

- 2

,

, µ e.

sega , aaaaa è

. zero

=

( aici

a cercato

considerato

v non fla fla

) )

perché 1

questo o

<

-

-

-

/

i

lo

perdeva )

zero gg * o

ge , 1- )

! fla

)

fla 2

O

flb ) >

- .

o

> - -

-

-

-

- |

1 Si a

ai

pone =

bri ci

= [9/4]

→

/

2 intervallo

Si C

pone ai = nuovo

di pari

ampiezza

,

↳ = alla dell'

metà ampiezza

di li

[ ]

a , li

f soddisfa

Ma [

) su

I Zytle an ,

ca = del

ipotesi

alle teorema

f (g) lo

allora E cercato

se Cz

0 zero

=

sefkd.xotflad.fi a) 1

o

<

1- )

fla

flat 2

O

>

- .

}

1 Si an

a

pone =

,

b. C2

⇐ ]

bn

→

/

2 Si C2

pone az =

=3

↳ , del tipo

abbiamo trovare

consente di

che

procedimento incapsulati

intervalli :

un li la [

[ [ ]

] ]

la

[ ]

bn

E c-

= an

az

a oy ,

, .

, .

.

. . .

,

1

OSS Anth

E

am

. ttn

bn bn

= ,

+ tra

la aeaneb.fm

ed

crescente

è è limitata

an

successione

la tra aebneb.fm

bm ed

è Decrescente è limitata

successione

(

bn )

intervallo

2

Oss ampiezza

an

. - G¥

bn ha del

intervallo metà precedente

an ampiezza

= ogni

- f

) (

flan bn

) ttn

intervalli

Oss gli

3 0

costruiti

si <

come sono

per

. - ,

{

l' } { monotone

Per bn

1 } limitate

se ammettono

an

Oss limite

sono finito

e e

. ( teorema

vedi sui

funzioni

di

limiti )

monotone

cioè : bin bn

lui la

la ^

an - =

- mito

tuo

n >

-

bn

l' legge

Per allora

2

Oss an

se =

-

. }

GE

( )

)

Ibm

lui lui -0

an = -

- la le

to

+a n

n -

-

→ o

=

- =L ☒

la

la e

)

(

hm

hm -

bn

him

la

la bn _

am an

=

-

= -

- to sto

M

n +

n

→ a

→

- f' (e)

fila

) )

l' flln

flbn

flan

) )

Per lui

calcola

Oss se

} =p -

-

. sta

M - la

essendo )

( di

f sostituzione

teorema

continua

0 IO

cioè <

: ftl )

)

hm film

flan ) =

sto

n - il

) film

flan ) O del

di

essendo < permanenza

per segno

teorema

(C)

f' rovesciato

allora EO

f' (C) O quadrato

è

perchè

essendo e

un

= la

(e)

f' svolta

considerazione

EO per appena

fll l

) O cui

>

e-

>

- = lei lo

quindi cercato

zee

9ffGG--Aogq

Ma

Teo Weierstrass

MEL

Rema li

[ ]

Q chiuso e

:

ta ,

☒ ☐

li ☒

]

f :[ limitato

sia a - BENE

-

, [

) f ]

al

continua

e-

i su

[ ]

7×1 b

allora a.

e :

: × ,

, flx l

[ ]

) [

the

) f li

]

flxn di

di

M a

> su a

xp Max

=p

= , ,

.

,

flx

) [

)

( f

ti li

f ]

]

b di

[ di

E su

✗ a

a ✗

x2 =p min

m a

= , ,

.

,

CONTRO ^

¥

> Eseuipò )

(

flx

) 0,1

su

×

- q

)

)

/ =/ !

f )

Ion 0,1 ammette

non

né mai ,

né 1

nun ^

)

(

I

{ an

c-

✗

flx

) , ✗ ✗

0 =p

;

=

2- , ↳

annate nè

non nè

ma, una

NON ) -10,1

) f

la è

non

continua )

( al teorema di degli

11 esistenza

CORONARIO zeri

RT I ^

R

:( b)

f e 1

[

c-

con a

sia a → ,

, I

"

"

& "

" s

• • "

=

"

" " " I

ÌÙ E

lui li

=L

)

) flx I

c-

ii e

,

-

at

✗ → I

È TE

bui =L >

la

flx ) C-

e '

, b

e i

b-

✗ → i

fiammelle )

tal

allora su

zero

uno )

( ( )

fè b

che monotona

Strett

è su

se a.

unico . (

)

PG ☒ a)

+5×4+3×712

'

✗ Su no

es +

=

= - ,

. ) lui

Plx

buu )

Plx +

ao a

;

= =

- ta

✗ a ✗

→ →

_ )

Plxo

esiste O

xo : -

-

1 (0,1-00)

( a)

f.

)

flx almeno

esiste

è c-

o

su c

+ un :

-

_ , f (c) 0

=

line )

hm fcx

flx

)

è

✗ sta

→ × - )

( al teorema di degli

esistenza

corollario zeri

]

f "

funzioni "

due

siano :

g

e -

fla

)

:[ ☒

f b)

:[ b) R .

- -

a.

g

a ;

→ →

, I

) li

f ]

[

i continue su

sono a

g ,

, I

(a)

flb

) )

fla )

) !

gll ^

ii < g

> _ . !

!

b) tale

( che

esiste c-

Tesi a

c

: ,

flc (c)

) g.

-

_

DIM flx )

) glx

hlx

funzione )

la differenza

considero

se -

= b)

(

#

il teorema degli

di

soddisfa esistenza su

essa a

zeri , .

. .

h (c)

fa flc

) )

b glc

)

esiste o

ce : -

= -

, ( )

) ( gla

)

)

hla hlb flb

gla

) ) )

fla

) 0

<

* -

= -

. di

Variante al Weir

teorema strass ^

f ,

f ☒

:B continua

sia una

→ II

lui fa )

)

i . -

-

±

✗ a

→ ,

{ massimo

f

allora assoluto

ammette minimo

un ,

✗ m

TE

di

di

assioma completezza

Q

varrebbe

non per

%FE-ETE-ma. it )

(

INTERMEDI

VALORI ☒

li

dei [ ] ambiente

c-

a.

mea

Rena seux

y

^ =

fa

f R

[ ]

b [ ]

qit

a

sia -

: -

, li

[ ]

f

)

i su a 1

continua , - ! .

[ ] [ flxo )

] =L

] l

M

te

allora c- a

✗ :

m ,

•

, ,

minflx )

) M maxflx

dove m = e = ^

et

Tela

Fa e

]

✗ c- ,

, il

M - - - -1

DIMOSTRAZIONE [ ]

flxt-m-M.tt b i

m

M -

1- -

- ;

1) ,

c-

✗ a.

m = .

f

Xz Xp

( figura

alla

corrispondente

× )

xp < non

, fly

M )

tale

2) f- che

siano × e

m

✗

m e =

a

, fai M

=

l' [ f

]

intervallo

scelgo certamente

sul quale è

✗ ×

" ,

continua .

funzione

la : ( )

I

flx

)

egli ) -1 essendo M

c- m

- ,

fly km -7

)

)

glu 0

<

- -

- fly I I

) M

)

glu 0

>

- - = -

- ( ) teorema

allora di

il

applicare degli

può esistenza

su X2

Xi zeri

si

, ( a)

glx

funzione )

alla : continua

) Xi ✗

in

i è

g ,

)

glxa

)

glu

) 0

<

ii flxo 1=0

) f( xD -1

)

glxo

allora esiste O

xo >

> =

=

: = - CVD

a) li ]

( [

c-

OE

✗ ✗

× a

, , ,

COROLLARIO )

( [

f

f [ ]

li ] M

allora

se a nn

e- continua = ,

,

f trasforma intervalli intervalli

Oss continua

una in

. [ b ] Em ]

M

a fa

, ,

-

- [ ] [

la funzione )

il

vale 0,1

0,2 →

mantissa

viceversa :

:

non intervallo

trasforma intervallo è

non continua

ma

in un

un

9qTg§--fS-qo

Mammà

Eeta R

f I

I intervallo

-

-

: ,

f I

) continua su

e-

i )

f ( I intervallo di

è

allora estremi

un

inff supf

I

I ✗

✗ c-

c- FLI

) finiti

gli di

ta

a estremi

☐ possono no

: essere o ,

( )

f

F- E

☒

☐ I

appartenere

possono o a

no FII

) !

lo

limitato

se anche

I allora

chiuso è

è e

ZFETEE-MI.com/nuiTa-elMVlRTlBlUta

1Ma

Rema definita

f I

intervallo

continua

sia su un

e

allora : f

f I

Strett monotona

vita <

inietti di su

= > .

nota

già

< era

= ^

funzione b) P

(

F-

iniettiva su a ,

è 1

monotona

non

ma )

( I

perchè 1

è continua

non ' l

• ! >

COROLLARIO intervalli

I degli

j

siamo ,

f

) I

invertibile

continua

i e su

? )

FII

f-

allora I f-

f- continua

e- su

- ]

[

J perchè

è

-1,1

y su

arcsinx

es continua

= =

. funzione

È

I I

[ invertibile

È è

] continua

sinx

y su su

e

= = ,

idem y arccosx

= rctgx

>

y =

funzione f

sul dominio può

una ammettere inversa

e

invertibile una ?

continua

continua

non )

flx

0=+4

{ n

×

)

flx

es = 3 ;

1 E -

1

×

+ Ez

✗ I

2 q

- I

ci

) [ ]

[

f U

]

:[ Y 0,1 2,3

0,2 -

- 1

-

- |

- I

? I

1 >

f- ]

[

la y

se 0,2

scrivo → 2

1 ^

f-

{ ^

<

O' ✗

×

? ^

-

g- 3-

2

-1

✗ E E 3

✗ 2- ;

la funzione )

flx sul dominio

continua suo

era

non

( )

"

discontinuità '

1 specie ✗ 0=1

in 1 q

o -

-

-

?

f- ]

[ Y 1

✗ e- continua

mentre 0,2 su

→ ,

Ì

i ' >

2

1

nel

di dei

VARIABILE

CONSIDERAZIONI CAMBIO

ULTERIORI SUL limiti

calcolo

" "

estensione teorema

f funzioni Èt"[

le

due quali è

siano g per

, la condizione

guarda

la f. RT

composta

poazconedif.ge

✗

✗ C-

g per → o di coni

È

)

bm to

) glx C-

=

✗ Xo

→ ☒

) le

)

7hm flt

ii =

t.to

)

) glx to di

iii =/ intorno ✗

in un o

allora )

fighi

lui lui flt

)

= C-

✗ ✗

→ ✗

o → o ot

{ ✗

o

+ se →

¥

line

es e = ó

O se ✗ →

±

✗ o

→ t

{ +

+ •

•

È -

¥ et -

f. t ±

±

✗ •

→

per =

e

→ per → t

o

, O

→

/ ( c)

SIMBOLI

CONFRONTO LOCALE LANDAU

di ✗ → °

base alla

delle

classificare →

funzioni velocità

i comportamenti locali in con un ± a

→ e

→

indico simboli

dei ✗

seguenti

c

con :

uno o

è

✗

✗

ó

+ o

o

-

f { }

c) \

Il

definite

siano c

su

g

,

) )

glx =/

i =/

O ✗ e

per flx

) ( )

finito infinito

7 Lui =L

supponiamo o

✗ c

→

l Olglx )

flx

) )

che

dice

DI se è si

Finito per ✗ c

: = → c)

( f

questo da

diciamo che è g ✗

caso

in controllata per →

Dp

sotto casa : l

l finito f

=/ dello

dice che

0

è e-

e

* si

se di

di

stesso Grandezza ✗

ordine e

g per →

f §

Y

scrive

si : ✗

per e

→

l

l finito f

dice

1 che

è è

* e

se equivalente

si

= gper

a

fig

scrive

si : ✗

per e

→

l

l finito f

0 dice che

* è è TRASCURABILE

e

se si

= ÷

rispetto per

g

a

f- <

(g)

scrive

si : ✗

a- per e

→

1

F.

leur . lui

sive E lui

es sif.fi

¥

= = o

= =

'

Ò VI è ot

0 ✗

✗ ✗

→ → → t

i °

1

rivediamo simboli di Landau

coi ot

C =

lui Ff O

=

è

✗ → I )

( Tx è

0

sin per ✗

✗ = →

fini 1-

Lui

s' MX sin 0

× . =

=

☒ t

to

✗ →

a

+

✗ t

→ i

Infinitesima

Limitata

rivediamo simboli di Landau

coi +00

c-

Lui sinx O

=

#

a

+

✗ → I )

( Tx

0

sin +

per ✗ a

✗ = → è 0

+ × a

prossimo

confonde

sinx si con

+ ×

leur Snf

es 1

=

O

✗ → I O

e-

SIMXNX o

per ✗ →

È

leur "

es = O

per ✗ →

o

✗ → {

equivalente '

È è ×

1- a

cosi

un 2

1- O

✗

✗ per

cosx →

live

il ( )

termini di N

scrivere

come in

posso a- ,

)

( {

line 2

1-y.GS?--- 1- O

1 Gsx ✗

per

✗

~ →

O

✗ → fng )

FG

leur

Oss se per c ^

<

. ✗ → =

gg

e

× ,

>

.

}

:{ 1¥ link

¥ i

-

, c

✗ →

nn

dei limiti

ALGEBRA

per

{ } )

)

flx glx

) olglx

) e

✗

per

=

- →

)

olglxl fng

fa ) )

glx + c

✗ <

per

= → per c

✗ →

)

( 2)

/

{ f-

f-

2 '

1-

1- O

Cosi

~ O

cosi ✗

per

per o ✗

✗ →

+

✗ - ✗

⇐

→ =

usando di

tutti limiti simboli LANDAU

riscrivi notevoli

i

CONSIDERAZIONI Importanti

1 )

3=01×2

ossi risulta 0

✗ ✗

per →

him 3 Lui

infatti ✗ o

: ✗

= =

I 0

✗ →

✗ o

→ )

(

risulta }

2=0

che ×

invece ✗

✗ o

+

per →

Lui È lui

infatti 1=0

: =

} ×

× + a

✗

✗ →

+

→ • )

In olx

? "

risulta

generale che se

× ✗ O

n

>

m

: →

(F)

" se

✗ ✗

o + o

→

=

f- (1) f

2

OSS <

scrivere è

-

o per

infinitesima

✗ e = ✗ e

per → →

. )

0/1

f- line =L

3

Oss scrivere Finito

< >

per e =

. ✗ → 1

✗ c

→

/ Ì

/ ) K

flx limitatezza

E C-

✗ di

simboli Landau

locale

, in

^

4 lui f

(f)

oss °

1=0

scrivere ✗ - è

c. infinita

⇐

. per = × e

per

→ f- >

.

e

× >

.

f( )

5 lui )

/

Oss ) flxo

(

allora

se

. continua Xo

✗

× ×

per → -

×