Analisi Matematica 1 - appunti (parte 2)

Limite intorno di un punto

La distanza fra due punti è definita come:

d((x, y), (x₀, y₀)) = √((x₁ - x₂)² + (y₁ - y₂)²)

d(a, b) = |√((x - y)²)| = |x - y|

d(a(∞), 0) = |x|

Intorno

Un insieme di punti da (p, A) è definito come:

• V_p(ℙ) : { x ∈ ℝ | d (x, p) }

Definizioni di Cauchy

1. f : A (⊆ ℝ) ➝ ℝ a ∈ A lim x➝ a g(x) = L ∀ ε ≥ 0 ∃ Δ > 0 | (x - x₀) 0 di raggio Δ ≤_Δ(x₀) implica |g(x) - L| ε(L)

lim x➝3 (x - 1) = 2 |x - x₀| 0) L = 2 g(x) = x - 12 - ε ε

2. g : A ⊆ ℝ ➝ ℝ X₀ ∈ ℝ lim x ➝ x₀ g(x) = +∞ lim x ➝ x₀(x) = -∞

∀ ε > 0 ∃ Δ > 0 | (x - x₀)

Limite intorno ad un punto

La distanza tra due punti è definita come:

d((x,y), (x₁,y₁)) = sqrt((x-x₁)² + (y-y₁)²)

d(a,b) = |(a-b)| = sqrt((x-y)²) = |x-y|

d(x,o) = |x|

P ∈ ℜ

Intorno

∃ (p, A) intorno U^o (p) insiemi di punti d((p,A) < r) x ∈ ℜ d(x,p) < r x ∈ ℜ -r < x-p < r x ∈ ℜ p-r < x < p+r x ∈ ℜ (p-r ρ → p → r →

lim_x→xo f(x) = &ell; V^ε(ε) &uparrow &ell; < ε x_o - Δ x_o x_o + Δ o U^Δ(x_o)

lim_x→3 (x-1) = 2 |x-x_o| < Δ → |y(x) - &ell;| < ε |y(x) - &ell;| < ε

Prova in intervallo → -ε < y(x) - &ell; < ε &ell; - ε < y(x) ^< ε < &ell; + ε &ell; - 2 < x - 1 < ε + 2 1+1 < x < ε + 2 +1-3 + ε 3 < x < ε + 3 x ∈ U^ε(3)

Definizioni di Cauchy

1. g: A ⊂ ℜ → ℜ x_o ∈ ℜ lim_x→xo g(x) = &ell; l ∈ ℜ

ε∀ ε > 0 ∃ Δ > 0 → |x-x_o| < Δ intorno in x_o di raggio Δ U_Δ(x_o) intorno sull'immagine U_ε(&ell;)∃ε |g(x) - ε < ε implica

2. g ⊂ ℜ f → ℜ x_o ∈ ℜ lim_x→xo g(x) = +∞ lim_x→xo g(x) = -∞

ε∀ h > 0 ∃Δ > 0 ≡ |x-x_o| < Δ → ∃ &o+; M-∞ y(x)∃ MU(∞) mlim_x→−1 ¹/(x+1)² = +∞ ∀m > 0(π+m) < (π+1)² − ¹/√m < x + 1 < ¹/√m − 1 − ¹/√m < x < −1 + ¹/√m U₁ = ¹/_√m(−1)

g: ∆⊆R→R lim_x→+∞ g(x) = ℓ ⟹ lim_x→0 g(x) = ℓ ∀ε>0, ∃N>0 ∀x>N ⟹ |g(x)−ℓ|<ε lim_x→+∞ ¹/(1+x²) = 1 |g(x)−ε| < ε ⟹ ℓ−ε < g(x) < ℓ+ε ∆−ε < A ^1+2x/_∆+2 < ∆ + ε ¹/_∆+ε < Z^x < ¹/_∆−ε −1 + ¹/_1+ε < Z^x < −1 + ¹/_∆−ε

A ⊂ R → β ⊂ R lim x → +∞ ∀ M ∃ N > 0 ∀ x > N β(x) > M lim (x + 1) x → +∞ β(x) > M x + 1 > M lim x → x₀⁺ β(x) = L ∀ε > 0, ∃ S > 0 lim sin x x → +∞ sin x cos x