Appunti Analisi 1

Studio di Funzione

1. Insieme di Definizione

   • Rapporti - Denominatore ≠ da zero (ricadono qui le funzioni tangenti cosθ e cotangente cosθ/sinθ, secante 1/cosθ, cosecante 1/sinθ)
   • Logaritmi - l’argomento deve essere maggiore di zero.
   • Radici con indice pari - Radicando ≥ a zero.
   • Arcoseno/Arcocoseno - Argomento compreso tra -1 e 1
   Una volta trovate le condizioni di esistenza dobbiamo definire l’insieme.

2. Studio di Parità o Disparità

   • Pari: se una f è pari ha il grafico simmetrico rispetto l’asse delle y → f(n) = f(-n)
   • Dispari: se una f è dispari ha il grafico simmetrico rispetto all’origine → f(-n) = -f(n)
   In questi due casi anche il dominio dovrà essere simmetrico.

3. Intersezioni con gli Assi

   • Asse y → f(0) p(0, f(0))
   • Asse x → f(n) = 0 p(n, 0)

4. Studio del Segno

   f(n) > 0 in Dom(f)

5. Asintoti

   • Asintoti Orizzontali lim_n→∞ f(n)
   • Asintoti Verticali lim_n→n0 f(n) = ±∞ lim_n→n0 f(n) = ±∞
   • Asintoti Obliqui m: lim_n→±∞ ^f(n)/_n q: lim_n→±∞ [f(n) - mn]

Studio di Funzione

1. Insieme di Definizione

   • Rapporti -> denominatore ≠ da zero (altrimenti le funzioni tangenti _senx/_cosx, secante ₁/_cosx, cosecante ₁/_senx)
   • Logaritmi -> l’argomento deve essere maggiore di zero.
   • Radici con indice pari -> radicando ≥ a zero.
   • Arcoseno / Arcocoseno -> argomento compreso tra -1 e 1.
   Una volta trovate le condizioni di esistenza dobbiamo definire l’insieme.

2. Studio di Parità o Disparità

   • Pari: se una f è pari ha il grafico simmetrico rispetto l’asse delle y -> f(n) = f(-n).
   • Dispari: se una f è dispari ha il grafico simmetrico rispetto all’origine -> f(-n) = -f(n).
   In questi due casi anche il dominio dovrà essere simmetrico.

3. Intersezioni con gli Assi

   • Asse y -> f(0)   P(0,f(0))
   • Asse x -> f(n) = 0   P(n,0)

4. Studio del Segno

   f(n) > 0 in Dom(f)

5. Asintoti

   • Asintoti Orizzontali _limn→±∞ f(n)
   • Asintoti Verticali _limn→n0 f(n) = ±∞
   • Asintoti Obliqui: m = _{limn→±∞ f(n)}/_n   q = _limn→±∞ [f(n) - mn]

Studio della derivata prima

• Dominio della derivata
• Monotonia, massimi e minimi → f'(x) ≥ 0

I punti in cui la derivata si annulla sono candidati punti di max o min di f che possono essere punti di max relativo, min relativo o punti di flesso a tangente orizzontale quando non c'è variazione di segno. Poi confronto i minimi e massimi tra loro per vedere quali siano gli assoluti.

Studio derivata seconda

• Dominio della derivata
• Concavità e convessità → f''(x) > 0

Se la derivata passa da negativa a positiva è un punto di flesso ascendente; se passa da positiva a negativa è un punto di flesso discendente.

Punti di non derivabilità

Punto angoloso:

lim_x→x0^- f'(x) = c₁ ε ℝ   lim_x→x0⁺ f'(x) = c₂ ε ℝ   c₁ ≠ c₂

Cuspide:

lim_x→x0^- f'(x) = +∞   lim_x→x0⁺ f'(x) = -∞

oppure

lim_x→x0^- f'(x) = -∞   lim_x→x0⁺ f'(x) = +∞

Flesso a tangente verticale:

lim_x→x0^- f'(x) = ±∞   lim_x→x0⁺ f'(x) = ±∞

oppure

lim_x→x0^- f'(x) = −∞   lim_x→x0⁺ f'(x) = −∞

PUNTI DI DISCONTINUITÀ

• - PRIMA SPECIE O DISCONTINUITÀ DI SALTO LIMITE DX E SX ESISTONO FINITI MA NON SONO UGUALI

  lim_n->n0^- f(n) = C₁ lim_n->n0⁺