Appunti Analisi 1

Analisi matematica 28.09.2020 insiemi

µ insieme oggetti interessare degli ci che= possono# llinsieme Di scelti= da elementi# B stessi dagli sono quando composti elementi=A B A= → B quando di di gli anche elementi elementi sono tutti}A EB 1- =DBeaA. B insiemi# Bn Gli entrambi insiemi in intersezione elementi stanno che=UBA differenza A insietcistica Bl A B in elementi di stanno che non Al BIAB #In generale ⑥ insieme insieme voto ✓ elemento da composto nessun# ABB¢ A Di B appartiene sottoinsieme Di A elemento almeno non =UNµ #( A tutti di ll elementi gli appartengono non che ADA)CUI MA = (# A)Ll #\ µA Di fanno parte elementi di che non di complementare= = ? differenza sirr-ctri.CA# (B) ) ( )( )BIA ADBAUB' Brai BIAu e uguale a = BA ?A 'iè =uguale a •BIAAi B UBA )()⇐ UB BraiATIB #Bi=

Teoremi

Teoremi [ ipotesi L' tesi replicazione tra e la( )se ipotesi tesi Ipotesi tesi allora assiomi verità Dimostrabili non=Teoremi dimostrazioni hanno le→Pe Pa proposizioni identiche sono due insiemi ↳ µSottoinsiemi di µ<A- Bcn B* È" €" in in punti contemporaneamente """che " "°) (( BcAcm AUB=})( 'BlAln UBA leggi di='c) De' ng Morgan A( UBA = B)(# Bce eAUn ={ }A B :b) BEBAla× €: a= ,ProstataRIETTiVA@Esojoinsiejeaee.roroSU car tesiano car tesiano}{ (R )() aabs babe)( asQzan= , ,, ,, ;A Birritativa bz93eeaxb'F- BXAE⑦ ⑦R (bA B b) ERè eese funzione a a.una :←→

Quantificatori e funzioni

Quantificatori F A BE funzione× fb b):(7F creaEB Fè surziettiva a.se eHai (Fè )EA )B (ba Fbe be iniettava Eba farean 02e§ :se 02sicuro di,, , ,,b) F be ba#(( bi) #Ean daar con ai,, ,efb) b-⑥ Fca)(F () # 2)F # aldi ogni volta an a che ED uno uno solo→!]F :(/ fb AEB Fca) =Db)Bieaivalbiaeaivaè EFBiunivoca aese a :,[ A A ( )e relazione interno stesso all' insieme di× uno {4 faa)① AER Reazione proprietà di riflessiva e,② b) ( a)( ERR proprietà equivalenza bE simmetrica a , ,③ C)( b) b( c)R ER ( ER proprietà possiede E transitiva LEsea a, ,,, proprietà3A/R insieme quoziente 29 202009 ..I-m.net/N( ) Muto}near mamn ,? ":c "!" :)? :p:S: ..A# binaria operazione# A A AX ci associa Di elemento altro del elemento un prodotto car tesiano prendo uneAA atbb)(* t →= a.= ab(* b) →a.= ,fa Ab *E to •=,1) b b# # Proprietàa a commutativa=§ ( (c)b b) ## # Proprietà# associativaa a c=3) A} # dell'*€E e: a e esistenza a neutro a= elemento=4) fa A 7 " '' esistenzadewinreasoQ@lb.tca-a *a- ee : *a a= =Ì÷÷;z) ab relazioni presenti ac due qui diverse sono=se unici neutri esistono questi gli elementi sono, dimostrazione astratto in -( Dimostrazione supponiamo ④③proprietà assurdo le perche valgano e supponiamo sl' tesi" """"e ←e'i l" " " a- "non " "' Èè# L'l L'l tesi se èe ipotesi neutro elemento unico falsa non la anche= = saràLO-⑧ →0L relativi E interi numeri ( a) inverso di all' rispetto somma Q-operazione0L inverso della -- -di inverso a a-④ inversi unicità numeri degli razionali ( b) b dell' sottrazione inverso t da somma - -==↳ E somma correttiva corre la non ④la ④1€ ala Aec di legge a= . =, - -T annullamento b} ¢} b prodotto del ↳Qi uno è dei elementi due zero uguale= A

Proprietà d'ordine

Proprietà ordine di ↳( f)A D' ordine relazione,✓ .be/toaEb bb ben •se ne ea =↳ sao[ ]proprietà tutti insiemi questa gli godono Di non { }aab aedi oab 0da c a >seabLa 0> alse{ }Q 32 DEI 2,9nell' intervallo de numeri: a razionali,R { } IaibAER ]AEBa.>a: ={ } ](AERI atr 2,9a>a: =,{( }) aere2,9 casa a:= ,{ } )(aere usa a. to: ={ )} [AER dj072 to mai parentesi ci quadra non da: va= perché L' infinito è non con un numero { }AEQ mab)[a.ora: a -, bbar Ebc EL0a. Eas c > acCosta?cibo 3Cao [•11aab bas> - -baaab boa casa, relativo intero ② ④→ ~€ ¢µnnNen N 7 ! pi?pi poi "E di ma numeri neme primi a . ... .suctc-cssio.vemeaf-II. = 2m" ne(2) = MK( {un n'sì[ Numero faccia razionale uguaglianza che { chetepfi ?Teatrale[ Z multiplo0 della del quadrato diagonale# nessun nem n, , loro? multiplo( congruente è ad2If del un=teDir Nm.me: supposizione abbiamo non M fattori corrieri primi,m2 2mL= pari non A@2K 22k2 ' 2È g)2Nrnn mMpari . == .= Divido z per"22" 2 @✓ =. e pari è essendo Corini pari primi fattori hanno sia numeri me M che MmQuindi iniziale supposizione si€ Lava contro assioma RuA. ERB① AUB R=② 0ANB = ts③ Fae ttbebA. acb "A "Un R BDi classi seziones sono numero : ,,Itaca fb BSebE• e,è separatore classi A delle detto B,BA#- la le rappresenta BAcoppia approssimazioni di numero un,tifa# # 0A A fa EAZME # limitato EM C'è non superiormente a ENTRAse : ,,, i nitriti CONZNE Pd fa #AIN inferiormente/ e:se ,fabar EAb) chiama maggioranza ogni sia Pd ammette L' in superiore estremo 05.10 2020.%::M Aè il massimo di è ,Definizione ttae M{ }A ri a <,M fa AMsAè di maggioranza a ese ,M M AA ilè piccolo dei di maggiorenti estremo di più superiore= se ① Fae MAM è > a maggioranza :un ② 7XE EA M Ecaeso de : -Definizione M ME fa AAè minoranza di easeM M AA inferiore minorati grande ilè dei di estremo di più= se ① Fae MEAM è a maggioranza :un ② ZFE EA M Eo de ←:> > E-Mi Mz R¥Ao 7 faRI MaA Me Rl A Malimitare MeE Eè Eaeese :,{ }Hat #Re× xe × >: a, = Auxz× , =}{ I AXz R 0xinxaat× sa×e ::= = pt)( di' sezione X2X i e una,Mi E÷A0L'estremo Aèc' 0tsupn on superiore =. Ma→AoL' Ainfinferiore estremo èc' nonon = -.{ × >× °se -511×1 I I5 xrl è= --= = -I If- 5) 5× Ose ×- ⇐ =-1×2 I X2=Ixls ×, ( è )triangolo il terzo loro sempre di un IX/ / / Disuguaglianza1tl① triangolare4 Ext 4 degli della altri due minore somma-14111② ININ -141>TE 1×1=ÈA =D IMERA limitatoe. seFae talA taskEM M--1,2 3,4 ~.. ., { !)!! In2-1- 3.4 -1n n nn -. - ==. .. !1 -1! !2 -2=21= !! 633 2 .= =

Dimostrazione per induzione

Dimostrazione induzione per 1) ( ) KENn{ ( )K struttura dimostrazione vera della µn)ppm veraPln) Pinti) veraverase1+21-3 t .t n. .tfnMtln 1) 2) tit-- . . .nftp.EK-n/nti )K » -2Pli) !!!1--7=1 vera:Supponiamo è nh (D ).ie : n2Mostriamo che ÌÉK Intelvi Pinti)= :2 (nti)(n2Ilmktlnth.nl#tCnti@k=1È{ ktfnIl1MtE K #1K = provare pDisuguaglianza FAREABernoullidi dimostra dell' ES]xefi.to Lav-n.cn/AxJzi 132."" libro sul Pli Vera !) itxsitx)Pln ( )Supponiamo " 1= tnxtx tÉ}( ( )")tetti)Pinti (ttx ttxMostriamo >=1txtnxtnH=1t(nt1)xtz1t/n70"" )Pinti) tinti)tx x :1>Calcolo combinatorio mettere in fila oggetti da in ! )In 1-1n n .= .. .. .

Numeri complessi

Numeri complessi per Il 2alzi l'( cicatib b)aeri Reb a.e -=, ( ?) )(-1lala 0,1 reali numeri 0 parte reale parte immaginaria sia sia =sono , ti' =)1 X× ==Definizioni di operazioni( b) ( d) )+ ( btda. c. a tc= , )( d)( ( tbcb) adbdaca. c. -= ,:o)( elemento alla neutro rispetto è somma o( ) elemento al neutro è1 rispetto0 prodotto; b) b)( f-alla elemento rispetto somma inverso a. a -= , (a) )( (b) b)elemento( jpgrispetto al #a. prodotto inverso 0,0a ,,murerei insieme ^cor ressi④atib£ e= ;I il dizconio è:[÷ b tb' 'il al bai= _ = - •- £seIzl ==pEz .^µ ¢Rde Z( b) E✓ o=• ,,Ivtlbl )( () LZ ab2,0 an= , ←← ,( a. →*+ + +•=)fa← o, INIZIlazllui tal ==" :Izl caso D= Zorg ))( Rappresentazione/ (IzIZI tirinoIZI 0 0 polare cosa sinti cos= complessi dei numeri^ "IZI72- )( "Otisino÷ cos=:÷ in÷:Formula de di Maira 06 2020lo ..lznl ( )( )zn no )no(t i sincos=posati ))no (( ti nosino sincos=htt ))) ( () (( )"( molti ) lotitirino ( ( 0tirino cosousati sino nocosa sincos= sincos= )) )( ))(( (Oti 0no (Ot0 no no no sinsincos sin coscos cossin= =-) )( )0 0i ti)enticos sin= + 2-3=1"2- 1 =3n= 12-4=111 lzl' 1=⑥ ( )argomento z= ••§-)( 30)(30 ti 1cos sin =ÌÌ l'equazione soddisfano ¢Z )( tirinocosoze =p"l' 2- b)LZ ( sinticosa di definizione esponenziale complesso=(2)f) tTeorema fondamentale dell'algebra#AjfRZn -Znt Q tAn dot1= n - ...inj 0= -- ., Pcomplessa di radice2- sia una ⑤ Pdi è radice! immaginaria di invertendo ottiene parte segno la si il Gatoco èatib ibZ allora a-se = =#Èfcodopiriniio dif BA →: t fDominio dif ER aA →: ¥ È inpiù? cuiIII. a- to r n a t aarane{ senso f ( ) biunivoca funzione X la3 +×= Yl o lo1- esiste3 Y inverso XX un= -= 3-f QQ l' invertibile →: ININfa → invertibile è non:

Restrizione e funzioni

Restrizione origine funzione funzione riduce dominio Di dando ad una nuova una si il: ^}{ # tB "(f) 9hgrafico Kid "€ := -^{ × of- se4) = 0 E 0×se÷ .siè : 2 { ° ' Xofa uguale è= 2XEO× se-}{(A)f- yeflxi7-B x.caye : := f A:p (A) A invertibile c →→ :g ?f- Agof AA C→ →: TFKDf- t'(( )#AH )fin lgs yg. g -= -f A B invece →: .if- :B A→@ identica →fof → =' 11Af- of = '-:-#a f =pglx) ( ) costante× 1- x po.me . f#p =p,× go---f Risp:! )Iof .toR →{ "! °" ftp.h/fkD=lhoa)ix)ftlx) = Ifcxilflxaltrimenti ) e-2{ f ) +40k seftcx - ftp.ftlxi-ftxi) = altrimentiOE Rf. R f Xxi (xDf f(→ )ER Xeè E crescente monotona xe xiaxa:: ,se ÌSO ④Xxi (e)f f( )ER XexXe :Stretto ain ,crescente stretto decrescente in non senso non