Appunti Algebra Lineare e Geometria

Fondamenti di algebra lineare

Lezione 1

Insiemi di numeri

• N: numeri naturali; {0, 1, 2, 3, ...}
• Z: numeri interi; {..., -1, 0, +1, +2, +3, ...}
• Q: numeri razionali; \[ \frac{m}{n} \mid m,n \in Z, \ n \neq 0 \]

N ⊆ Z ⊆ Q

Definizione

Dato un insieme A, un'operazione (*) è un'applicazione che associa ad ogni coppia ordinata di elementi di A, un terzo elemento detto risultato dell'operazione tra i primi due.

A × A → A

(a, b) → a * b

Definizione

Data un’operazione * si dice che u è elemento neutro per * ⇔ a * u = u * a = a ∀ a ∈ A.

Esempio: l’elemento per la somma in N: 0 (0 + u = u + 0 = u).

L’elemento per la moltiplicazione in N: 1 (1 * u = u * 1 = u).

Si indica con:

• (N, +) l’elemento 0 (analogous to (Z, +), (Q, +))
• (N, .) l’elemento 1 (analogous to (Z, .), (Q, .))

NB: gli elementi di N, Z, Q sono invertibili?

• (Q, *) ogni elemento ≠ 0 è invertibile ⇔
• (N, -) 1 è l’unico elemento invertibile (inverso degli altri ∉ N)
• (Z, -) ±1 sono gli unici elementi invertibili

Si definisce un ulteriore insieme.

R: {numeri reali} t.c. N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R

• (R, +) l’elemento = 0
• (R, .) l’elemento = 1

Fondamenti di algebra lineare

Lezione 1

Insiemi di numeri

• N: numeri naturali; {0, 1, 2, 3, ...}
• Z: numeri interi; {0, ±1, ±2, ±3, ...}
• Q: numeri razionali; {m/n m,n ∈ Z, n≠0}

N ⊂ Z ⊂ Q

Definizione

Dato un insieme A, un'operazione (*) è un'applicazione che associa ad ogni coppia ordinata di elementi di A, un terzo elemento detto risultato dell'operazione tra i primi due.

A × A → A

(a, b) → a * b

Definizione

Data un'operazione *, si dice che u è elemento neutro per * se a * u = u * a = a ∀ a ∈ A.

Esempio: l'elemento neutro per la somma in N: 0 (∀u ∈ N: u + 0 = u).

L'elemento neutro per la moltiplicazione in N: 1 (∀u ∈ N: u * 1 = u).

Si indica con:

• (N, +) l'elemento neutro 0
• (N, ·) l'elemento neutro 1

NB: gli elementi di N, Z, Q sono invertibili?

• (Q, ·) ogni elemento x ≠ 0 è invertibile → a * a^-1 = 1
• (N, ·) 1 è l'unico elemento invertibile (l'inverso degli altri ∉ N)
• (Z, ·) ±1 sono gli unici elementi invertibili

Si definisce un ulteriore insieme.

R: {numeri reali} t.c. N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

• (R, +) il neutro = 0
• (R, ·) il neutro = 1

Definizione

Un campo è una terna (|K|, +_K, *_K) dove |K| è un insieme dotato di due operazioni +_K e *_K dette "somma" e "prodotto" t.c.

• +_K e *_K sono commutative e associative
• *_K è distributiva rispetto a +_K
• |K| contiene l'ele. neutro rispetto a +_K, (|K|, +_K) t.c. a ∈ |K| ∃! 0_K a+0_K=a
• Ogni elemento ha opposto ∀a ∈ |K| ∃ a^-1 t.c. a*a^-1 = 1
• Ogni elemento ≠ 0 ha inverso ∀a ∈ |K| a≠0 a*^-1 ∈ |K|

NB: solo |Q| e |R| sono campi.

|N| e |Z| non hanno inverso.

Il campo dei numeri complessi

|N| ⊂ |Z| ⊂ |Q| ⊂ |R| ⊂ |C|

Permette ad esempio di risolvere x² + 1 = 0.

Unità immaginaria i: i² = -1, i ∉ |R|.

Definizione

|C| = {a+ib t.c. a,b ∈ |R|}

Un elemento z ∈ |C| è detto numero complesso.

NB: |R| ⊂ |C| → ogni numero reale è un numero complesso.

a ∈ |R| → a + i0

i = 0 + i1

Definizione

Dato un numero complesso z = a + ib:

• a: parte reale di z a = Re(z)
• b: parte immaginaria di z b = Im(z)

Se Re(z) = 0 → z si dice immaginario puro.

Rapp. grafica nel piano complesso.

(a,b) → coppia ordinata di numeri reali con a,b ∈ |R|.

Operazioni con i numeri complessi

Siano z₁, z₂ ∈ ℂ.

z₁ = a₁ + i b₁

z₂ = a₂ + i b₂

con a₁, b₁, a₂, b₂ ∈ ℝ.

Somma

z₁ + z₂ = (a₁ + a₂) + i (b₁ + b₂)

• Valgono le proprietà associativa e commutativa
• È l'elemento neutro
• ∀ z ∃ l'elemento opposto di z = a + i b → z = a