Appunti Algebra Lineare e Geometria

Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria

Lezione 1

• N: numeri naturali; {0, 1, 2, 3, ...}
• Z: numeri interi; {0, ±1, ±2, ±3, ...}
• Q: numeri razionali; ^m/_n m, n ∈ Z, n ≠ 0

N ⊆ Z ⊆ Q

Definizione

Data un'insieme A, un'operazione (*) è un'applicazione che associa ad ogni coppia ordinata di elementi di A un terzo elemento detto risultato dell'operazione tra i primi due

*: A × A → A

(a, b) → a * b

Definizione

Data un'operazione * si dice che u è elemento neutro per * se

a * u = u * a = a ∀a ∈ A

Esempio

Elemento neutro per la somma in N: O → (a + u = u + a = a)

Elemento neutro per la moltiplicazione in N: 1 → (a * u = u * a = a)

Si indica con:

• (N, +) l'elemento O
• (N, ⋅) l'elemento 1
• Analogo con (Z, +), (Q, +)
• (Z, ⋅), (Q, ⋅)

NB

Gli elementi di N, Z, Q sono invertibili?

• (Q, +) ogni elemento è 0 è invertibile → a + (-a) = 0
• (N, ⋅) 1 è l'unico elemento invertibile
• (Z, ⋅) ±1 sono gli unici elementi invertibili

Si definisce un ulteriore insieme

• R: numeri reali; t.c. N ⊆ Z ⊆ Q ⊂ R
• (R, +) l'elemento = 0
• (R, ⋅) l'elemento = 1

Definizione

Un campo è una terna \((K,+,\cdot)\) dove \(K\) è un insieme dotato di due operazioni:

• +\((K \to K)\) detta somma
• \(\cdot(K \to K)\) detto prodotto

1. \(+,\cdot\) sono commutative e associative
2. \(\cdot\) distributiva rispetto a +: \(a\cdot (b+c) = a\cdot b + a\cdot c\)
3. \(K\) contiene l’el. neutro rispetto a \(+\colon \exists e_K\in K \mid a+e_K = a\)
4. Ogni elemento ha l’opposto: \(\forall a\in K\ \exists a’\in K \mid a+a’=0\)
5. Ogni elemento \(\ne 0\) ha l’inverso: \(\forall a\in K,\ a\ne 0\ \exists a^{-1}\in K \mid a \cdot a^{-1}=1\)

NB: solo \(\mathbb{Q}\ e\ \mathbb{R}\) sono campi. \(\mathbb{N}\ e\ \mathbb{Z}\ non\ hanno\ inverso\)

Il campo dei numeri complessi

\(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}\)

Permette ad esempio di risolvere \(x^2+1=0\)

Unità immaginaria \(i \Rightarrow i^2=-1;\ i\notin\mathbb{R}\)

Definizione

\(\mathbb{C}=\{a+ib\ \text{t.c.}\ a,b\in\mathbb{R}\}\)

Un elemento \(z\in\mathbb{C}\) è detto numero complesso

NB: \(\mathbb{R}\subset \mathbb{C}\Rightarrow\) ogni numero reale è un numero complesso

\(a\in\mathbb{R}\Rightarrow a=a+i0\)

\(i=0+i1\)

Definizione

Dato un numero complesso \(z=a+ib\)

• \(a=\) parte reale di \(z\ \Rightarrow a=\Re(z)\)
• \(b=\) parte immaginaria di \(z\ \Rightarrow b=\Im(z)\)

Se \(\Re(z)=0\quad z\) si dice immaginario puro

Rapp. grafica nel piano complesso.

\(z=a+ib\in \mathbb{C} \Leftrightarrow (a,b)\ \text{coppia ordinata di numeri reali con a,b}\in\mathbb{R}\)

z = 1 ∙ 1 (cos 0 + i sen 0)

z = 1 ∙ 1 (cos ^π/₂ + i sen ^π/₂)

NB:

a = ρ cos θ

b = ρ sen θ

z = a + ib, ρ cos θ + i ρ sen θ = ρ (cos θ + i sen θ)

FORMA TRIGONOMETRICA

z = ρ (cos θ + i sen θ)

NB:

- Due numeri complessi coincidono ↔ il loro modulo coincide

- il loro argomento differisce di 2kπ

- Dato u complesso z = A+ib con a ρθ

• a = ρ cos θ
• b = ρ sen θ

tg θ = ^b/_a

Esercizi

1. Calcolare la forma trigonometrica di: z₁ = i; z₂ = -1∷

ρ₁ = |z₁| = √a² + b² = √1 = 1

{ a_z1 = ρ₁ cos θ₁ = 1 = 1 cos θ₁

{ b_z1 = ρ₁ sen θ₁ = 0 = 1 sen θ₁

z₁ = 1 (cos ^π/₂ + i sen ^π/₂)

ρ₁ = |z₁| = √(i)² = 1

{ a_z2 = ρ₂ cos θ₂ = -1 = √2 cos θ₂

{ b_z2 = ρ₂ sen θ₂ = -1 = √2 sen θ₂

tg θ₂ = 1 (=> θ₂ = ^5π/₄ + 2kπ

[z₂ = √2 (cos ^5π/₄ + i sen ^5π/₄)]

NB z ∈ R(x) ∪ S

z = a + ib ↔ (a,b) ↔ F ALG ↔ F CART ↔ (ρ, θ) = ρ (cos θ + i sen θ)

z = 0 ↔ 0 + j0 ↔ (0,0) ↔ 0

∃̀ indeterminato

3)

Calcolare le radici cubiche di ... e disegnare

z = i : z = 1(cos(^2π/₃)+i sen(^2π/₃))

• w₀ = 1(cos(^2kπ/₃)+i sen(^2kπ/₃))
• S = {1, -1, i}
• w₀ = 1 : w₁ = 1(cos(^2π/₃)+i sen(^2π/₃)) : w₂ = 1(cos(^4π/₃)+i sen(^4π/₃))
• w₀ = 1 : w₁ = -¹√₂+i^√3/₂ : w₂ = -¹√₂-i^√3/₂

4)

Determinare le radici n-sime di 1

avvero z_g = (cos θ + i sen θ) tale che z_gⁿ = 1

pⁿ = 1

θ = ^0+2kπ/_n k∈Z

• z_g = 1(cos(^2kπ/_n)+i sen(^2kπ/_n)) con k=0,...,n-1
• z₀, z₁, ..., z_n-1 sono i vertici di un poligono regolare di n lati iscritto nella circonferenza di raggio 1 e centrato sull'origine con θ = 0

5)

Determinare le radici terze di 1

z = ρ(cos θ + i sen θ) con z³=1

p = 1

θ = ^0+2kπ/₃ k=0,1,2

z₀ = 1 : z₁ = -¹√₁/₂+i^√3/₂ : z₂ = -¹√₁/₂-i^√3/₂

Definizione

Sia z un numero complesso non nullo espresso in forma trigonometrica, z=ρ(cos θ + i sen θ)

• La sua rappresentazione esponenziale è z = ρe^iθ dove ρ = ||z|| e θ è un argomento.

OSS

La sua forma esponenziale è conseguenza della formula di Eulero

e^iθ = cos θ + i sen θ

e^-iθ = cos θ - i sen θ

NB

z₁, z₂ = ρe^iθ, z₂ = ρe^-iθ

z₁•z₂ = ρ²[e^(iθ-iθ)=ρ²

OSS: Sia IK = R e sia V uno spazio vettoriale su R.

Allora certamente O_v ∈ R.

Quindi V ha un solo elemento

oppure β_V ∉ v ∈ v O_R ovvero a_v ∈ v V ∀a ∈ R.

Aβ ∉ O_R ↔ (-λβ) ∉ O_R ⇔ λ ≠ β

Se V ∩ O_v ∉ O_R allora V ha infiniti elementi.

In generale, se IK ha un numero infinito di elementi, uno spazio vettoriale su IK può essere lo spazio vettoriale banale oppure uno spazio vettoriale con un numero infinito di vettori.

1) SPAZIO VETTORIALE DI Rⁿ

V = Rⁿ ⇔ ((R × R × R... × R) => (Rⁿ, +)) spazio vettoriale su R

• + : Rⁿ × Rⁿ ↦ Rⁿ
• • (a₁, a₂, a_n)^T + (b₁, b₂, b_n)^T
  • -------- (a₁+b₁, a₂+b₂, a_n+b_n)^T
• • : R × Rⁿ ↦ Rⁿ
• • (λ, (a₁, a₂, a_n)^T)
  • -------- (λa₁, λa₂, λa_n)^T

• La somma e il prodotto godono delle proprietà associativa e commutativa
• ∃ il vettore nullo in Rⁿ O_Rⁿ = (0, 0^T)
• ∃ il vettore opposto in Rⁿ -V ∈ Rⁿ ➔ -S = (-a₁, -a₂) ∈ Rⁿ
• Si può verificare che le proprietà di compatibilità sono verificate.
• In particolare (a₁, a₂, a_n) = (a₁, a₂, a_n)

NB: In particolare Rⁿ è R-spazio vettoriale (spazio vettoriale di se stesso).

16