Appunti Algebra lineare

INTRODUZIONE: VETTORI e MATRICI

R₁: insieme dei numeri reali

R₂: insieme delle coppie di numeri reali

R₃: insieme delle terne di numeri reali

R^m: insieme delle m-uple di numeri reali

PUNTI DELLO SPAZIO EUCLIDEO

• In R^m possiamo sommare gli elementi

Non è definita la somma di elementi con numero di coordinate diverse

VETTORE = elemento di R^m

• In R^m possiamo moltiplicare gli elementi di R con R^m

MATRICI

Prendiamo 2 interi m e m (>1), una matrice a m righe e m colonne a coefficienti in R è una tabella:

MATRICE n x m

1 0 2 √2 - 0

è una matrice a 2 righe e 3 colonne

L'insieme delle matrici n x m ⇒ M_n,m(R) Mat_n,m(R)

• Anche in M_n,m(R) si può sommare (come R^m)

1 0 2 + 0 -1 0 1 3 2 3

m e m DEVONO essere uguali per le due MATRICI

• e si può fare il prodotto con un elemento di R

2 (1 0 2) = (2 0 4) (0 1 3) (0 2 6)

NON DEFINITA

Note: R^m può essere:

A seconda se i vettori li scrivo in riga o in colonna:

PRODOTTO TRA MATRICI:

Prendo 3 numeri naturali:

Prendo 2 matrici:

Il risultato è una matrice m x r

1^a riga 1^a colonna = x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 + 5x5 + 6x6 = 91

2^a riga 3^a colonna = 6x5 + 5x6 + 4x1 + 3x2 + 2x3 + 1x4 = 80

PRIMA M, SECONDA M.

Domanda

A matrice a m x m righe, n colonne

Quando ha senso A • A? Solo quando n = m

→ devono essere uguali per moltiplic.

SOMMA TRA MATRICI:

METODO DI RISOLUZIONE DI GAUSS

Due sistemi lineari \(Ax = b\) e \(A'x = b'\) si dicono EQUIVALENTI se hanno le stesse soluzioni.

es.

• \[ \begin{cases} x_1 + x_2 = 3 \\ x_1 - x_2 = 5 \end{cases} \] EQUIVALENTI
• \[ \begin{cases} x_1 + x_2 = 5 \\ x_1 - x_2 = 3 \end{cases} \] NON EQUIVALENTI

Dato un sistema lineare \(Ax = b\) questo è EQUIVALENTE ad un sistema \(A'x = b'\) con \(A'\) a scala.

→ Serve un algoritmo per passare da un sistema qualsiasi al suo equivalente con matrice a scala.

È utile perché posso risolvere più facilmente quello equivalente a scala.

Come passo da un sistema al suo equivalente in scala?

→ 3 OPERAZIONI ELEMENTARI

1. SCAMBIO DI LINEE
2. MOLTIPLICAZIONE DI UNA RIGA PER UN NUMERO ≠ 0
3. SE A EQUAZIONE IN RIGA I SOSTITUISCO EQUAZIONE IN RIGA J + UN MULTIPLO DELL'EQUAZIONE IN RIGA I (I≠J)

es.

• \[ \begin{cases} x_1 + x_2 = 3 \\ x_1 - x_2 = 5 \end{cases} \]
• \[ \begin{cases} x_1 + x_2 = 3 \\ x_1 - x_2 + 2(x_1 + x_2) = 5 + 2\cdot 3 \end{cases} \]

\(x_1 = x_2 = \frac{5 + x_2}{3 - x_2}\)

\(x_2 = -1\)

\(x_1 = 4\)

∞ soluzioni

• \[ \begin{pmatrix} 3 - x_2 \\ x_2 \end{pmatrix} \]

SISTEMI OMOGENEI

Un sistema lineare di n equazioni in m incognite si dice omogeneo se è in questa forma \(Ax = 0\)

• \[ \begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1m}x_m = 0 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2m}x_m = 0 \\ \vdots \\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \ldots + a_{nm}x_m = 0 \end{cases} \]

\(\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}\)

Le soluzioni formano un SOTTOSPAZIO di \(R^m\) di \(Ax = 0\).

SOMMA

Sia V uno spazio vettoriale e W₁, W₂ sottospazi di V.

• Allora W₁ + W₂ = {w₁ + w₂ | w_i ∈ W_i}
• È un sottospazio

Esempio V = Rⁿ, W₁ = {

• (^x₀)
• x ∈ R

W₂ = {(⁰_y) | y ∈ R}

W₁ + W₂ = {((^x_y)) | x ∈ R, y ∈ R} = ((^x_y)) x ∈ R, y ∈ R = R²

COMBINAZIONI LINEARI

Definizione

Sia V uno spazio vettoriale, siano V₁, V₂, ..., V_n elementi di V e x₁, x₂, ..., x_n numeri reali.

La scrittura x₁V₁ + x₂V₂ + ... + x_nV_n si dice combinazione lineare di V₁, V₂, ..., V_n con coefficienti x₁, x₂, ..., x_n.

Esempio V = R², V₁ = (¹₀), V₂ = (⁰₁)

Il vettore 2(.¹₀) + 3(.⁰₁) è una combinazione lineare di V₁ e V₂.

• (³₂) è una combinazione lineare di V₁ e V₂ se e solo se della forma x₁V₁ + x₂V₂

Quindi: se esistono x_e, e_x con x₁, V₁, + x₂, V₂ = (³₂)

• ⁽₎
• ⁽₎
• Σ x_i = 1
• Σ x₁ = 3
• Σ x₂ = 2

x₁ + 0 = 3

x₂ + 0 = 2

Sistema lineare in 3 incognite x_e, e_x con 2 equazioni

• x_e = 3
• x₂ = -2

Ci serve risolvere sistemi lineari, per capire le combinazioni lineari.

DIPENDENZA

Sia V uno spazio vettoriale e V₁, V₂, ..., V_n, vettori di V.

I vettori V₁, V₂, ... V_n si dicono linearmente dipendenti se almeno uno di questi è combinazione lineare dei rimanenti.

Es. V = R³, V₁ = (¹₂), V₂ = (²₃), V₄ = (^-3_-3)

V₄ = ?

Sono linearmente dipendenti?

V₄ = x₁V₁ + x₂V₂ + x₃V₃ per quali x₁, x₂, x₃?

PROPOSIZIONE (4)

Siano v₁, v₂, ..., v_m vettori di uno spazio vettoriale V, ed un vettore di V che è loro combinazione lineare: u = β₁v₁ + β₂v₂ + ... + β_mv_m

Allora: span{v₁, v₂, ..., v_m} = span{v₁, v₂, ..., v_m, u}

dimostrazione

span{v₁, ..., v_m} ⊆ span{v₁, ..., v_m, u} u vettore di span{v₁, v₂, ..., v_m, u} ∃ u = x₁v₁ + x₂v₂ + ... + x_mv_m + x_m+1u

Allora: u = x₁v₁ + ... + x_mv_m + x_m+1(β₁v₁ + ... + β_mv_m) = (x₁ + x_m+1β₁)v₁ + ... + (x_m + x_m+1β_m)v_m

cioè u ∈ span{v₁, v₂, ..., v_m}

⇨ se v₁, v₂, ..., v_m, u generano V = span{v₁, v₂, ..., v_m, u} e u = combinazione lineare di v₁, v₂, ..., v_m allora anche v₁, v₂, ..., v_m generano V

BASE:

Sia V uno spazio vettoriale su ℝ. I vettori v₁, ..., v_m di V formano una base di V se:

• span{v₁, v₂, ..., v_m} = V
• i vettori v₁, v₂, ..., v_m sono UNICAMENTE INDIPENDENTI

DIMENSIONE DI UN SOTTOSPAZIO

Se W ∈ ℝ è un sottospazio dello spazio vettoriale V sappiamo che W è uno spazio vettoriale rispetto alle stesse operazioni di V. Possiamo allora riportare PER UN SOTTOSPAZIO la nozione di base.

BASE (sottospazio):

Siano V uno spazio vettoriale su ℝ e W un sottospazio di V. I vettori w₁, w₂, ..., w_r di W formano una base di W se:

• span{w₁, w₂, ..., w_r} = W
• i vettori w₁, w₂, ..., w_r sono UNICAMENTE INDIPENDENTI