Appunti Algebra lineare

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Revisionato il 22/05/2026

di aina.belloni

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Appunti completi del corso di Algebra lineare basati su appunti personali del publisher presi alle lezioni del prof. Spiga dell’università degli Studi di Milano Bicocca - Unimib, …

Esame Algebra lineare

Facoltà Scienze statistiche

Dal corso del Prof. Spiga Pablo

Università Università degli Studi di Milano - Bicocca

A.A. 2018-2019

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Estratto del documento

INTRODUZIONE: VETTORI e MATRICI

^R₁ insieme dei numeri reali

^R₂ insieme delle coppie di numeri reali

^R₃ insieme delle terne di numeri reali

^Rⁿ insieme delle n-uple di numeri reali

PUNTI DELLO SPAZIO EUCLIDEO

In ^Rⁿ possiamo sommare gli elementi.

(x₁, x₂, x₃, ..., x_n) + (y₁, y₂, y₃, ..., y_n) = (x₁ + y₁, x₂ + y₂, ..., x_n + y_n)

Non è definita la somma di elementi con numero di coordinate diverse.

VETTORE = elemento di ^Rⁿ

In ^Rⁿ possiamo moltiplicare gli elementi di ^R con ^Rⁿ

C(x₁, x₂, x₃, ..., x_n) = (Cx₁, Cx₂, Cx₃, ..., Cx_n)

MATRICI

Prendiamo 2 interi: m e nm > 1. Una matrice a m righe e n colonne a coefficienti in ^R è una tabella:

a₁₁, a₁₂, a₁₃, ..., a_1m
a₂₁, a₂₂, a₂₃, ..., a_2m
...
a_m1, a_m2, a_m3, ..., a_mm

²&[sqrt;² & 0]

L'insieme delle matrici m x m

a² ^a ^a ^b
a ^e ^f ^h

In ^{R^m}(^R) si può sommare (come ^{R^m})

1 0 2

0 1 3

^|':

Non definita

INTRODUZIONE: VETTORI e MATRICI

^R -> insieme dei numeri reali (0, -1, ¹/₂, √2, e, π...)

^R₂ -> insieme delle coppie di numeri reali ^{(x, y)}, x, y numeri reali

^R₃ -> insieme delle terne di numeri reali

PUNTI DELLO SPAZIO EUCLIDEO

^R_n -> insieme delle n-uple di numeri reali

In ^R_n possiamo sommare gli elementi

(x₁, x₂, x₃, ..., x_m) + (y₁, y₂, y₃, ...) = (x₁ + y₁, x₂ + y₂, ..., x_m + y_m)

Non è definita la somma di elementi con numero di coordinate diverse

VETTORE = elemento di ^R_n

In ^R_n possiamo moltiplicare gli elementi di ^R con ^R_n

c(x₁, x₂, x₃, ..., x_m) = (cx₁, cx₂, cx₃, ..., cx_m)

MATRICI

Prendiamo 2 interi m e m ( > 1), una matrice a m righe e m colonne a coefficienti in ^R è una tabella:

a₁₁, a₁₂, a₁₃, ..., a_1ma₂₁, a₂₂, a₂₃, ..., a_2m...a_m1, a_m2, a_m3, ..., a_mm

^{1 0 2} è una matrice a 2 righe e 3 colonne

√2 -1 0

L'insieme delle matrici m x m

Anche in m, m, m (^R), si può sommare (come ^R_m)

^{1 0 2} + ^{0 1 -1} = ^{1 1 1}

^{0 1 3} ^{2 3 5} ^{1 4 8}

m e m devono essere uguali per le due matrici.

e.s. per fare il prodotto con un elemento di ^R

2(^{1 0 2}) = ^{2 0 4}

^{0 1 3} ^{0 2 6}

^M_2,3(^R) ^M_2,4(^R)

a b c ^| a b c f

d e f ^| d e f i

NON DEFINITA

Note: R^m può essere:

M_1,m(R) → (x₁, x₂, x₃, ... x_m)
M_m,1(R) → x₁ x₂ x₃ ... x_m

A seconda se i vettori li scrivo in riga o in colonna.

PRODOTTO TRA MATRICI:

Prendo 3 numeri naturali: (2, 6, 5)

M_{m, m, n}

Prendo 2 matrici: m × m (2 × 6) m × n (6 × 5)

Il risultato è una matrice m × n (2 × 5)

1^a riga 1^a colonna = 1×1 + 2×2 + 3×3 + 4×4 + 5×5 + 6×6 = 91

2^a riga 3^a colonna = 6×5 + 5×6 + 4×1 + 3×2 + 2×3 + 1×4 = 80

PRIMA M. SECONDA M.

Domanda

A matrice a M×M righe m colonne

Quando ha senso A·A ? Solo quando n = m

m×_M (n)^M×m

SOMMA TRA MATRICI:

SISTEMI LINEARI

a x =

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