Algebra lineare - Appunti

D → Annullamento

E → Identità

F → Sottrazione

A → Associativa

B → Commutativa

C → Distributiva

A)

• (a+b)+c = a+(b+c)
• (ab)c = a(bc)

B)

• a+b = b+a
• ab = ba

C)

• a(b+c) = ab+ac

D)

• ab = ac ⇒ (a=0) ∨ (b=c)

E)

• (a < b) ∧ (c ≠ 0) ⇒ a+c < b+c
• ac < bc

F)

• a ≤ b ⇔ ∃c (a+c = b)
• c = b-a

P. MINIMO

Se esistono numeri multipli che soddisfano certe proprietà, c’è il UNICO m.m. che le soddisfa.

DIVISIONE

• N
• a - bq + r
• N
• ∃q ∃r
• a = bq + r
• Unici: 0 ≤ r < b
• r < b

DIVISIONE ESATTA

• a | b ⇔ ∃ c (ac = b)

PRIMI

(p | ab → p | a ∨ p | b)

plab = pla ∨ plb

eden:

pl prima

THM FONDAMENTALE ALGEBRA

Tutti gli N > 1 sono scomponibili nel prodotto di numeri primi ⇒ FATTORIZZAZIONE unica.

EUCLIDE

Data una lista di numeri primi se ne può trovare 1 che non appartiene alla lista.

p₁, p₂, p₃... p_m ⇒ p₁... p_m + 1. Nuovo numero primo è quello che divide questo valore.

INDUZIONE

P(0) = Vera

P(m) ⇒ P(m+1) = Vera

Se P(n) = Vera

Potessi Aggiuntiva P(n) Vera ⇒ Verifichi che P(m+1) sia vera.

M.C.D

• d = mcd(a, b) se
  1. (d | a) ∧ (d | b)
  2. ∀c.. (c | a ∧ c | b) ⇒ c | d
• Se (a ≥ b) ∧ ∃r(mcd(a, b)) ⇒ mcd(a, b) = mcd(a - b, b)
• (b ≠ 0) ∧ (a = bq + r) ∧ ∃mcd(b, r) ⇒ mcd(a, b) = mcd(b, r)
• Algoritmo Euclide
• a ≥ b > 0, ∀ a, b = b
• r₁ = a | r₀ r₀ ≠ 0 ⇒ Una cal longr₁ di a e b
• Tr. Bézout
• a, b ∈ N ⇒ ∃λ, β ∈ Z (Ma. de R¹) = mcd(a, b)) ⇒ (mcd(a, b) = 1 de R¹)

RELAZIONI di EQUIVALENZA: ~

1) RIFLESSIVA ∀x∈X xPx

2) SIMMETRICA ∀x,y∈X, if xPy then yPx

3) TRANSITIVA ∀x,y,z∈X, if xPy ∧ yPz then xPz

CONGRUENZA MODULO N

a≡b _se ∃k (a,b) = x(b,m) Non Vis.

CLASSE di EQUIVALENZA

a₀∈X [a₀]= {x∈X | a~x}

1) a₀ ∈ [a₀]

2) [a₀]=[b_n] se a∼b

3) if [a₀] ≠ [b_n] then [a_n] ∩ [b_n] = ∅

PARTIZIONE (di X)

P(X)

• ⊄≠∅
• ∪P=X
• A,B∈P ∃B A∩B ⇨ A∩B= Ø

INSIEME QUOZIENTE di X (modulo ∼)

X/∼ : Partizione data da ~ su X

P: Sottoinsiemi di P(X)

INSIEMI FINITI e INFINITI

0

1

2

3

4

Ø

m4 = m ∪ ∈3

m in BLU indica l'insieme di generosi

Se m un numero naturale e io X ∈ ⊆ m

Se esiste la biiezione trivoltiva f: M → X allionque X = m

m

Non esiste biiezione tra m e una

insieme proprio:

(m turi ∈ N intero ...)

INSIEME INFINITO

1. A)

   A - ...- é finito.

2. Ø≠ Se m ∈ N allora m è finito

3. Se X ⊆ l'ae... e c'è una biiezione X → m per un m ∈ N,

   allora X è finito.

TEOREMA 1: Finitura

Se X è finito → allora m ∈ N e la biiezione

il numero "de lun. de X"

TEOREMA 2: X ∈ g

Se non X e g intero: f:X→g una biiezione

conc. m ∈ N.

Se X è finito, ondé Y ê ∈ ≠

→ si coincidente don I de Ω.

TEOREMA 3:

X: ?, X:...,∈... ....

biiezione

→

Allora X indistingu. = 10 (finito difto...

Corollario Con giunto

X→ (diagram) THEN ⇒ congruenza

Inversa $l$ omomorfismo (diagram) IF $\beta$ biek​ϝ) -​> $\beta$^{-1}: U → X è omomorfismo

ISOMORFISMO:

...omomorfismo biekettivo vedi 1.2 gruppi hanno le stesse propeietà?

SOTTO SEMI GRUPPI

SOTTO SEMIGRUPPO de X $\cdot$ 1+A $\cdot$ $\forall$a, b$\epsilon$A, ab$\epsilon$A

(figure, as shown) (a,b) -ϟa*b.. $\cdot$ ha proprieta (se ab $\epsilon$ A, X diviene Y)...

Ogni monumorfismo

Intersezione Sottogruppi H, K di G

H ∩ K = { x ∈ G | x ∈ K, ∀k ∈ ℚ (a/b)} H ∩ K = H (b/a)

• x ∈ H
• x ∈ K

∃ k ∈ ℚ → a = b*k ⇒ a*b^-1 ∈ K, a ∈ K, ∀k ∈ ℚ

G ⊆ {H,K}

Intersezione della famiglia di sottogruppi delle convenzione

∧ H,k h ∧ U K, K ⊆ {H,K}

Se H ⊆ K sono sottogruppi di G

{H,K}=ε H^k_h,..h_nk_h^2,k ∈ K = y

sottogruppo

Sottogruppi e Rela_Zioni di Equivalenza

G gruppo, H sottogruppo

→ a R b ∈ EQUIVALENZA ↔ a * b ^-1 ∈ H

→ (a * b ^-1)^-1 ∈ H

Classi di Equivalenza

[x]_H = { x ∈ G | x R x = x R x}_-1 ∈ H

[1]_H = { x ∈ G | x H a-1 = xx^-1 ∈ H

1 H = H

∀ x ∈ H

√Classe laterale destra di α rispetto ad H

(12)_H = 1 H α = {1 h | h ∈ H}

• Le classi di equivalenza rispetto α non sono
• Tutte le somme coincidono alle sottogruppi H, e 1 a tutte classi di equivalenza.

SOTTO GRUPPI

di Z_n

• gruppo rispetto ad addizione Z_n
• m ∈ N, l'insieme mZ dei multipli di m ∈ sottogruppo di Z_n
• 1. 0 = m0
• 2. x ∈ mZ ⇒ x + (-y) ∈ mZ (x-y)
• ∀m ∈ N, mZ = nZ se m = n

Teorema

Teorema congruenze

Gruppo

Se G = add(Z, U(≡ t)) ⇒ A ≡ B: ∃! a ∈ A, b ∈ B

Minimo Comune Multiplo

• m > 0, e m b|m
• ∀n ∈ Z, o ln b|m

Proiezione

Gruppo - Sotto gruppo

• THENAB = BA if and only if are sottogruppo di G, sub sono AB & B {z ∈ G: ≡ } AB = BA

• AB = BA se A and B are end G aG ⋀G abelico