Algebra lineare - Appunti

• THM FONDAMENTALE DELL’ALGEBRA

  Tutti gli N > 1 sono scomponibili nel prodotto di numeri primi → Fattorizzazione unica.

• EUCLIDE

  Dato uno lista di numeri primi se ne può trovare 1 che non appare nella lista.

  p₁, p₂, p₃, …, p_n → p₁…p_n + 1. Nuovo numero primo è quello che divide questa somma.

• INDUZIONE

  P(0) = Vera

  P(m) → P(m+1) = Vera

  Ipotesi Aggiuntiva: P(n) vera → P(n+1) è anche vera.

• d = mcd(a, b)

  1. (d|a) ∧ (d|b)
  2. ∀c.. (c|a ∧ c|b) → c|d
• 1. Se (a > b) ∧ (3 mcd (a, b))
  2. mcd (a, b) = mcd (b, a)
  3. (b >0), (a=bq+r) ∧ (r > 0) ∧ (3 mcd (b, r))
  4. mcd (a,b) = mcd(b,r) = bcd(a,b)

  5. ALGORITMO EUCLIDE

  6. a > b > 0, v₀ = b
  7. v₁ = a | v₀, v_n+1 = vn fin …?
  8. a = v_n |v₀ = v₀ × s_n

  9. THM BÉZOUT

  10. a, b ∈ N ∴ ∃d, b ∈ Z (Mcd × a + βb =) mcd(a,b))
  11. [ mcd (a, b) = 1 → a ⊥ b ]

RELAZIONE D'ORDINE

p = ℘ ({α, β} ∈ ℕ^n) α ≤ β ⇔ ordine lessicografico

• RIFLESSIVA: ∀x ∈ X xPx
• ANTISIMMETRICA: ∀x,y ∈ X xPy e yPx ⇒ x = y
• TRANSITIVA: ∀x,y,z ∈ X xPy e yPz ⇒ xPz

TOTALE: ∀ x, y ∈ X xPy ∨ yPx

MAGGIORANTE: x ∈ X, α ≤ x ∀ α ∈ A

MASSIMO: x ∈ A, α ≤ x ∀ α ∈ A

MASSIMALE: ∀ α ∈ A, α ≠ x ⇒ x ≰ α

MINIMO: x ∈ A, x ≤ α ∀ α ∈ A

MINIMANTE: x ≤ α ∀ α ∈ A

MINIMALE: ∀ α ∈ A, α ≠ x ⇒ α ≰ x

z.g.s.t.r. INFERIORE: Minimo dei minoranti.

z.g.s.t.r. SUPERIORE: Minimo dei maggioranti.

Superamento Singolarità:

Un insieme è privo se ha almeno 1 maggiorante ⇒ Ne esiste un minimo in P(X, ≤, A)

PRINCIPIO DEL BUON ORDINAMENTO

Un insieme parzialmente ordinato si dice bene ordinato se ogni sottoinsieme non vuoto ha minimo.

X_α ≤ ben ordinato ⇒ X_α totalmente ordinato

ORDINE LARGO

Norme definite su ℝ ≤

ORDINE STRETTO

Caratterizzazione <

ℕ

PERMUTAZIONI

Insieme di tutte le applicazioni

biiettive da X in X

X ↔ S_m

X = {1, ..., m} ↔ S_m permutazioni in m oggetti

_m

_m!

NB: Decomposizione di perm. in cicli disgiunti (1 2) (4 5 3)

Ogni permutazione di S_m ammette1 decomposizione in cicli disgiunti unica a menodell'ordine dei cicli

• PROPOSIZIONE: Cicli disgiunti sono permutabili
• TRASPOSIZIONI: cicli di dimensione 2: (a b)
• PROPOSIZIONE: Ogni permutazione è composizione di trasposizioni

(a₁ a₂ ... a_k) = (a₁ a_k) (a₁ a_k-1) ... (a₁ a₂)

• PARITÀ trasposizioni

S_m

J: Fⁿ : (a₀ a₁ ... a_m)...

^-n

f^s(s) = s f^-s

S_n

σ ∈ S_m, segno σ = (-1)^h

_n Y omomorfismo di X in Y

∀a,b ∈ X

f(ab) = f(a)f(b)

f(1)_X = 1 _Y

dove 1 = e.

Proposizione 1:

f: X -> Y e Y -> Z è omomorfism. Then semigrupp. Allora anche g◦f lo è.

Proposizione 2:

Se X semigruppo e x ∈ X, dom ∀m,n ∈ N

m m=n

1. GLI INTERI

X = (N x N) /~ ∈ Z

CONGRUENZE MODULO m

• a ≡ b (mod n)
• a - b = kn
• ∀a ∈ Z (r + b)

TEOREMA

SE X₁ sem anmuff. f di c.

IN

Relazione ordine su Z: z₁ ≤ z₂ se z₂ = (z₁ + z₁) ∈ N

SOTTOGRUPPO

X ⊆ G

1. 1 ∈ X
2. ∀ a ∈ X, a^-1 ∈ X
3. ∀ a, b ∈ X ab ∈ X

Teorema 1

G gruppo X ⊆ G, X è sottogruppo di G se e solo se

1. X ≠ ∅
2. ∀ a, b ∈ X ⇒ ab^-1 ∈ X

Teorema 2: G è finito

G gruppo X ⊆ G, X è sottogruppo di G se e solo se

1. X ≠ ∅
2. ∀ a, b ∈ X ⇒ ab ∈ X

OMOMORFISMO E SOTTGRUPPI

NUCLEO di f: omomorfismo

• ker f è sottogruppo di G
• im f è sottogruppo di G¹

Teorema di Lagrange

Sia G un gruppo finito e H un suo sottogruppo. Allora: |G| = |H| [G:H]

In particolare l'ordine di H divide l'ordine di G.

Quindi:

• G : |A| numero di classi di equivalenza (che sono disgiunte) in cui si decompone G in H
• Indice di H in G

N.B.: se il |G| non è dato esiste un sottogruppo tale che G in H = G.

N.B.2.: il teorema A.: se G ha ordine pari c'è un sottogruppo di indice 2 e che ha m/2 elementi.

Relazioni di equivalenza

H⋍ ⇒ x ∈ G ∀ x ∈ H

Eq th = { x ∈ G| ∀ x x _H } = { x ∈ G | x _H }

• Clones (aH) h ∈ H

Teorema

Se G è finito il numero di classi laterali sinistre coincide con il numero di classi laterali destre.

Gruppo Abeliano

Un gruppo G si dice Abeliano se in qualsiasi suo G e Q ∀ a, b ∈ G

Rispetta: a . b = b . a

N.B.: noteremo che ce ne sono da xtante relazioni.

Teoremi di omomorfismo

<G/ker f>

1) Ogni omomorfismo f è la relazione di equivalenza relaz. omomorfismo π<G→G>

2) La relazione di equivalenza rif. omotico. omomorfismo f:G→G/G

il omocontruente il nucleo ker f = {x ∈ G | f(x) = eG}

• Th. 1 omomorfismo x gruppi:

Sia f: G→G' un omomorfismo di gruppi. Allora, indicando con π: G→G/im f la proiezione, esiste uno ed un solo omomorfismo f̃: G/ker f →G' tale che

f = f̃ ο π

• F̃ è iniettivo se f è omomorfismo, f è omomorfismo se e solo se f è omomorfismo
• im f̃ = im f

Proposizione 1

G' è un quoziente di G se e solo se H è un sottogruppo normale di G tale che G/H

Proposizione 2

Sia f: G→G' un omomorfismo di gruppi e siano H,H' sottogruppi di G,G'.

• f(H) ⊆ G'

Thm

G,H non banali.

G×H ciclici s.se G e H sono gruppi ciclici finiti e mcd(|G|,|H|)=1.

(g,h)∈G×H è un gener. ⇔ G=<g> e H=<h>

G × H

↔

G

⟷ ↔

H

mcd(|H|,|G|)=1

< (g,h) >

⟷

<g> <h>

Funzione di Eulero φ:ℕ→ℕ

∀n ∈ℕ il numero di interi k, 0≤k<n tali che

mcd(k,n)=1.

φ(0)=0

φ(1)=0

φ(2)=1

φ(3)=2

φ(4)=2

Proposizione:

Se p^k primo e m∈ℕ Allora φ(p^m)= p^m - p^(m-1)

Coprimi

∀m,n ∈ℕ coprimi ⇒ φ(mn) = φ(m) φ(n)

m ∤ n ⇒ φ(m) = numero di elementi Z/mZ che non generano

Corollario

Sia m ∈ℕ m>1 e siano p₁ ... p_k i fattori primi distinti che dividono m

Allora

φ(m) = m ( 1 - ^1/_p1) ... ( 1 - ^1/_pk)

Teoremi sui Gruppi Ciclici

Thm di Cauchy

Sia p un numero primo divisore dell'ordine di un gruppo G

Allora esiste un sottogruppo H di G t.q. |H| = p.

Thm

Se m ∈ℕ m>0 ed n ∈ℕ un divisore di n. Allora ad ogni ed univoc.

esist un sottogrupo H di Z/nZ di ordine m, H è puramente g.c. ciclico