Appunti algebra lineare

Matrici reali.

Diremo A una matrice reale n × m :

A ∈ M_n×m(ℝ)

A appartiene all'insieme di matrici di dimensioni n × m con righe e colonne.

n righe e m colonne.

A = ( a₁₁ a₁₂ … a_1m a₂₁ a₂₂ … a_2m a_n1 a_n2 … a_nm

se n ≠ m la matrice è rettangolare.

In generale gli elementi di A si indichano con a_ij:

i è l'indice di riga;

j è l'indice di colonna.

n × m è detto ordine della matrice.

2 matrici per essere uguali devono avere le stesse entrate.

se n = m la matrice è quadrata

se la matrice quadrata si può individuare la diagonale principale formata dagli elementi a_ii

A = ( a₁₁ a₁₂ ... a_1m a₂₁ a₂₂ ... a_2m ... a_n1 a_n2 ... a_nm )

Vettori:

da matrice 1 x m è detta vettore riga:

A = ( a₁₁ a₁₂ ... a_1m )

da matrice n x 1 è detta vettore colonna.

A = ( a₁₁ a₂₁ a₃₁ a_n1 )

Matrice simmetrica:

Una matrice si dice simmetrica se:

• è quadrata
• a_ij = a_ji , ∀ i ≠ j , 1 ≤ i, j ≤ n .

A ∈ M^n×q (R) B ∈ M^q×m (R)

C = A • B ∈ M^n×m (R)

c_ij = (a_i1 a_i2 ... a_iq)

= a_i1b_1j + a_i2b_2j + ... + a_iqb_qj

2 × 3

⇒ C ∈ M^2×2

((1 2 -1)(3 -1 0))

C₁₁ ⇒ 1^a r^a A • 1^a colonna B

((1 0 -1)(-1 6 1))

=((0 6)(3 -6))

Matrice triangolare

A = (a₁₁ a₁₂ ... a_1n)

     (0 a₂₂ ... a_2n)

     (0 0 ... a_nn)

triangolare superiore:

diagonale al di sotto della diagonale principale ha tutti 0.

Sottomatrice:

A ∈ M^{n × m} (ℝ), 1 ≤ h ≤ n , 1 ≤ k ≤ m posso estrarre una matrice che si chiama sottomatrice.

Matrice a scalini:

A ∈ M^{n × m} (ℝ) a scalini s se e solo se:

1. se una riga è nulla tutte le successive sono nulle;
2. il primo elemento non nullo di una riga è più a sinistra del primo elemento non nullo delle righe successive.

Il i-esimo elemento non nullo, nella matrice a scalini, su ogni riga, si chiama pivot