Appunti algebra lineare

Matrici reali

Diremo A una matrice reale n × m:

A ∈ M_n×m(ℝ)

A appartiene all'insieme di matrici di dimensioni n × m

con righe e colonne

n righe e m colonne

A = (a₁₁ a₁₂ ... a_1m)

   (a₂₁ a₂₂ ... a_2m)

   (... ... ... ... )

   (a_n1 a_n2 ... a_nm)

se n ≠ m la matrice è rettangolare

In generale gli elementi di A si indicano con a_ij:

i è l'indice di riga;

j è l'indice di colonna.

n × m è detto ordine della matrice

2 matrici per essere uguali devono avere le stesse entrate

Matrici reali

Daremo A una matrice reale n x m:

A ∈ M^{n x m}(R)

A appartiene all'insieme di matrici di dimensioni n x mcon righe e colonne

n righe e m colonne

A = (a₁₁   a₁₂   -   a_1ma₂₁   a₂₂   -   a_2ma_n1   a_n2   =   a_nm )

se n ≠ m la matrice è rettangolare

In generale gli elementi di A si indicano con a_ij

i è l’indice di riga

j è l’indice di colonna

n x m è detto ordine della matrice

2 matrici per essere uguali devono avere le stesse entrate

se n = m la matrice è quadrata

se la matrice è quadrata si può individuare

la diagonale principale formata dagli elementi a_ii:

A = (a₁₁ a₁₂ ... a_1m)     (a₂₁ a₂₂ ... a_2m)     (a_m1 a_m2 ... a_mm)

Vettori :

da matrice 1 x m è detta vettore riga:

A = (a₁₁ a₁₂ ... a_1m)

da matrice n x 1 è detta vettore colonna:

A = (a₁₁     a₂₁     a₃₁     a_n1)

Matrice simmetrica :

Una matrice si dice simmetrica se :

• è quadrata;
• a_ij = a_ji, ∀ i ≠ j, 1 ≤ i, j ≤ n.

Matrice trasposta:

A ∈ N^n×m (ℝ)

la sua trasposta ha ordine m×n

si indica con A^T, A^t, τA

B = A^T ∈ N^m×n (ℝ)

b_ij = a_ji

1 ≤ j ≤ n

1 ≤ i ≤ m

es.:

A = ( ₎ ^{1 0 2 -1 2 -4}

A^T = ( ₎ ^{1 -1 0 2 2 -4}

Somma tra matrici

Si fa una somma per componenti, quindi le matrici devono essere dello stesso ordine.

A, B ∈ M_n×m (ℝ)

C = A + B

A = (a_i,j), B = (b_i,j)

con 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m

C ∈ M_n×m (ℝ)

C_i,j = a_i,j + b_i,j

La somma è un'operazione interna perché sommando due matrici dello stesso ordine si ottiene una matrice dello stesso ordine.

Gode delle proprietà della somma: commutativa e associativa.

L'elemento neutro della somma è una matrice con tutti 0 (matrice nulla).

Prodotto per uno scalare:

A ∈ M^m×n(R), λ ∈ Rλ è uno scalareλA ∈ M^m×n(R)b_i,j = λa_i,j

Prodotto riga per colonna:

Prodotto fra vettore riga e vettore colonnaA ∈ M^1×n(R) B ∈ M^n×1(R)devono avere lo stesso n° di elementiil risultato è uno scalare

A = (a_i1 a_i2 ... a_in)B = (b_i1b_i2...b_in)

A · B è un prodotto componente per componenteA · B = a_i1b_i1 + a_i2b_i2 + ... + a_inb_in

Gode della proprietà commutativa

A ∈ M^n×l(ℝ), B ∈ M^l×m(ℝ)

C = A · B ∈ M^n×m(ℝ)

C_ij = (a_i1 a_i2 ... a_il)

= a_i1b_1j + a_i2b_2j + ... + a_ilb_lj

∃: 2×3 3×2

⇒ C ∈ M^2×2

= rⁿ r^iga A · cⁿ colonna B

= (1 + 0 = 1 -1 + 6 + 1) = (0 6)

= (3 + 0 + 0 -3 + 7 + 0) = (3 -6)

A·B

n° colonne di A = n° righe B

(AB)C = A(BC)

è associativo

Non è commutativo

AB ≠ BA

AB e BA sono ben definiti ⇔ A m×r e B r×n

Tra matrici quadrate il prodotto è un'operazione interna

Matrice identità:

Esiste solo per le matrici quadrate.

Matrice identità 2×2:

( 1   0 ) ( 0   1 )

deve avere sulla diagonale principale tutti 1 e sulle altre entrate 0

Determinante matrice quadrata :

A ∈ M _n×n (R)

a_ij minore complementare

A_ij ∈ M_(n-1)×(n-1) (R)

(sottomatrice di A)

ottenuta da A eliminando la i-esima riga

e j-esima colonna

A =

• 2 0 1
• 3 4 -1
• 1 1 1

la minore complementare di a₂₂ è :

A₂₂ =

• 2 1
• 1 1

Formula di Laplace :

A ∈ M_1x1 (R) ⇒ A = (a)

det A = a

fisso una riga i: (o la colonna)

det A = (-1)ⁱ⁺¹ a_i1 det A_i1 + ...

+ (-1)ⁱ⁺² a_i2 det A_i2 + (-1)ⁱⁿ a_in det A_in =

= Σ_j=1ⁿ (-1)^i+j a_ij det A_ij

A = | a b |

| c d | /fisso la i^a riga

det A = (-1)¹⁺¹ a₁ det d + (-1)¹⁺² b^c = ad - bc

fisso la i^a riga

det A = ad - bc

Matrice diagonali

come quella identità ma ha al posto di 1 dei valori.

A = ( a₁₁ 0 0

0 a₂₂ 0

0 0 a_nn )

Proprietà dei determinante

1. Il det di una matrice con una riga (o colonna) interamente nulla è 0.
2. det A = det A^T
3. det di una matrice diagonale (gli elementi sulla diagonale hanno esponente pari):det A = a₁₁ a₂₂ ... (-a_nn)
4. det di una matrice triangolare:det A = a₁₁ a₂₂ ... (-a_nn)
5. se scambio tra loro 2 righe (o colonne) una volta il determinante cambia di segno
6. se moltiplico una riga per ╬╗ δ in ╬ö allora il det di A:

det A = ╬╗ det A

Matrice triangolare

A = ( _{a11 a12 ... a1n} 0 _{a22 ... a2n} 0 0 ... a_nn )

Triangolare superiore:quindi al di sotto della diagonale principale ha tutti 0.

Sottomatrice

A ∈ M_n×m (ℝ) , 1 ≤ p ≤ n e q ≤ mposso estrarre una matrice che si chiama sottomatrice.

Matrice a scalini

A ∈ M_n×m (ℝ) a scalini ⇔ se:

1. Se una riga è nulla tutte le successive sono nulle;
2. Il primo elemento non nullo di una riga è più a sinistra del primo elemento non nullo delle righe successive.

Il 1° elemento non nullo, nella matrice a scalini, su ogni riga, si chiama pivot.

Teorema:

Ogni matrice A ∈ M_n×m(R) può essere ridotta a scalini mediante le seguenti operazioni:

1. scambio di righe: r_i ↔ r_j ;
2. sostituzione di una riga con un suo multiplo: r_i → b r_i, b ∈ R \ {0} ;
3. sostituzione di una riga con la stessa, a cui viene aggiunto il multiplo di un'altra riga: r_i → r_i + λ r_j , λ ∈ R \{0} , r_i ≠ r_j , j ≠ i

(vale anche per le colonne)

1. det A = det A' ;
2. A triangolare ⇒ det A = a₁₁ a₂₂ ... a_nn ;
3. uno scambio di righe inverte il segno ;
4. se moltiplico una riga per h, anche il determinante è moltiplicato per h ;
5. se aggiungo ad una riga una combinazione lineare delle altre, il determinante non cambia ;
6. se una riga è tutta nulla ⇒ det = 0 ;
7. se una riga è combinazione lineare delle altre il det = 0