Applicazioni lineari

In particolare, (a₁ + ... + a_k)F() = a₁F(₁) + ... + a_kF(_k).

Applicazione lineare inversa: si dice applicazione lineare inversa di un’applicazione lineare L: W → V, quell’applicazione lineare tale che L ∘ L^′ = id_W e L^′ ∘ L = id_V.

Nucleo: data un’applicazione lineare L: V → W, si dice nucleo dell’applicazione l’insieme dei vettori del dominio la cui immagine è il vettore nullo del codominio.

Ker(L) = { ∈ V ∣ L() = 0_W}

Immagine: data un’applicazione lineare L: V → W, si dice immagine dell’applicazione l’insieme dei vettori del codominio tali che la loro immagine è un vettore del codominio stesso.

Im(L) = { ∈ W ∣ ∃ ∈ V → L() = }

Isomorfismo: un’applicazione lineare è detto isomorfismo se è invertibile, o, equivalentemente se è sia suriettiva che iniettiva; due spazi vettoriali V e W si dicono isomorfi se esiste un isomorfismo L: V → W.

Esempi di spazi vettoriali isomorfi

Applicazioni lineari: [x]_d+1 ≅ R, M_m,n(R) ≅ R^mn, Endomorfismo (o operatore lineare): un’applicazione lineare è definita un endomorfismo o un operatore lineare se mappa uno spazio vettoriale all’interno di se stesso.

Proposizioni

Importante: Un’applicazione lineare è completamente determinata dalle immagini dei vettori di una qualsiasi base del dominio dell’applicazione (questi vettori possono essere facilmente raccolti successivamente in una matrice).

Esempio: Per conoscere completamente un’applicazione del tipo ℝ → ℝ, è necessario conoscere solo il valore dell’applicazione in un punto diverso da zero: infatti, nello spazio vettoriale ℝ, ogni numero purché diverso da zero è una base di quest’ultimo spazio vettoriale (ogni numero reale può essere espresso come multiplo del numero noto).

Ad ogni applicazione lineare è associata una e una sola matrice (e viceversa), una volta fissate le basi canoniche nel dominio e nel codominio; le colonne della matrice sono le immagini dei vettori di base.