Applicazioni lineari

Definizioni di base sull'applicazione lineare

L'applicazione lineare è una funzione che preserva le operazioni di somma e moltiplicazione per uno scalare tra spazi vettoriali.

Nucleo: dato un'applicazione lineare, il nucleo è l'insieme dei vettori nel dominio il cui immagine è il vettore nullo nel codominio.

Immagine: dato un'applicazione lineare, l'immagine è l'insieme dei vettori nel codominio la cui immagine è un vettore nel codominio stesso.

Isomorfismo: un'applicazione lineare è un isomorfismo se è invertibile, ovvero se è sia suriettiva che iniettiva. Due spazi vettoriali si dicono isomorfi se esiste un isomorfismo tra di loro.

Esempi di spazi vettoriali isomorfi: Applicazioni lineari tra spazi vettoriali di dimensione 1, spazio vettoriale delle matrici di dimensione m x n, spazio vettoriale delle matrici quadrate di dimensione d x d, spazio vettoriale degli endomorfismi (o operatori) su uno spazio vettoriale.

lineare): un'applicazione lineare è definita un endomorfismo o un operatore lineare se mappa uno spazio vettoriale all'interno di sé stesso. Proposizioni IMPORTANTE: un'applicazione lineare è completamente determinata dalle immagini dei vettori di una qualsiasi base del dominio dell'applicazione (questi vettori possono essere facilmente raccolti successivamente in una matrice) R R→. Esempio: per conoscere completamente un'applicazione del tipo , è necessario conoscere solo il valore dell'applicazione in un punto diverso da zero: infatti, nello spazio vettoriale , ogni numero purché diverso da zero è una base di quest'ultimo spazio vettoriale (ogni numero reale può essere espresso come multiplo del numero noto). Ad ogni applicazione lineare è associata una e una sola matrice (e viceversa), una volta fissate le basi canoniche nel dominio e nel codominio; le colonne della matrice sono le immagini dei vettori.della base canonica del dominio.= {v , … , } =Siano e due spazi vettoriali, una base di eV W v v V w1 n{w , … , } un insieme di vettori di (non necessariamente distinti). Alloraw n W1 n : → ) =esiste ed è unica un’applicazione lineare tale cheL V W L(v1, … , ) = .w L(v w1 n nIl nucleo di un’applicazione lineare è un sottospazio vettoriale del dominiodell’applicazione lineare.L’immagine di un’applicazione lineare è un sottospazio vettoriale del codominiodell’applicazione lineare. : →Data un’applicazione lineare , l’immagine è il sottospazioL V W Im(L){v , … , } {v , … , }generato dall’immagine di una qualsiasi base ; se sonov v1 1n k{L(v ), … , )}generatori di , allora sono generatori di .V L(v Im(L)1 k: →Un’applicazione lineare è iniettiva se e solo se il suo nucleo èL A B = {0 }composto solo dall’insieme vuoto, ovvero se

Ker(L) VApplicazioni lineari 2: →Un’applicazione lineare è suriettiva se e solo se la sua immagineL A B =coincide col codominio dell’applicazione stessa, ovvero se Im(L) BLe applicazioni lineari iniettive conservano la lineare indipendenza; ciò significa che: →data un’applicazione lineare iniettiva e un insieme di vettoriL V W{v , … , } {L(v ), … , )}linearmente indipendente in , avremo che èv V L(v1 1n nun insieme di vettori linearmente indipendenti, : →Siano due spazi vettoriali e un’applicazione lineare .V W L V W= 0 = )Se è iniettiva, allora eL dim(Ker(L)) dim(Im(L)) dim(V= =Se L è suriettiva, allora e di conseguenzaIm(L) W dim(Im(L))).dim(WCorollario: ) > )Se , allora non esistono applicazioni lineari iniettive dadim(V dim(Wa .V W ) < )Se , allora non esistono applicazioni lineari suriettivedim(W dim(Vda a .V W ,Due spazi vettoriali sono isomorfi se e solo se hanno la stessa dimensione.V

W → ,Data un’applicazione lineare , se due spazi vettoriali sonoL V W V W{v , … , } ∈isomorfi, allora i vettori sono linearmente indipendente se e solov V1 k{L(v ), … , )}se anche i vettori lo sono.L(v1 kFormula di Grassmann+ ) = + ) − ∩ )dim(U W dim(U) dim(W dim(U WTeorema della dimensione: →Data un’applicazione lineare , allora si ha che:L V W) = +dim(V dim(Ker(L)) dim(Im(L))Calcolo del nucleo e dell’immagine di un’applicazione lineare: →m nIl nucleo di un’applicazione lineare può essere calcolato risolvendo ilL R R= 0sistema omogeneo , dove è la matrice associata all’applicazione (conA x AL LApplicazioni lineari 3